新初一数学衔接讲义全等三角形概念与性质老师春季班.docx
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新初一数学衔接讲义全等三角形概念与性质老师春季班
学科教师辅导讲义
学员学校：
年级：
七年级课时数：
学员姓名：
辅导科目：
数学学科教师：
课题
全等三角形概念与性质
考点及考试要求
全等三角形概念与性质
知识梳理
要点一、全等形
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.
要点诠释：
一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.
要点二、全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
要点三、对应顶点，对应边，对应角
1.对应顶点，对应边，对应角定义
两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.
要点诠释：
在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.
2.找对应边、对应角的方法
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
（3）有公共边的，公共边是对应边；
（4）有公共角的，公共角是对应角；
（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；
（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.
要点四、全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等；
全等三角形的对应角相等；
要点诠释：
全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.
热身练习
1、下列说法中，正确的个数是（）
①全等三角形的周长相等②全等三角形的对应角相等
③全等三角形的面积相等④面积相等的两个三角形全等
A．4B．3C．2D．1
2、如果ΔABC≌ΔDEF，则AB的对应边是_____，AC的对应边是_____，∠C的对应角是_____，
∠DEF的对应角是_____．
3、
如图，△ABC≌△BAD，A和B、C和D是对应顶点，如果AB＝5，BD＝6，
AD＝4，那么BC等于（）
A．6B．5C．4D．无法确定
4、如图，△ABC≌ΔADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数
为（）
A．40°B．35°C．30°D．25°
5、能确定△ABC≌△DEF的条件是（）
A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠E
B．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠E
C．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠D
D．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E
6、如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（）
A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙
7、已知：
如图所示，Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°.以B为中心，将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD，求∠ADB的度数.
解：
∵Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°，
∴∠ECB＝________°.
∵将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD，
∴△________≌△_________.
∴∠ADB＝∠________＝________°.
【思路点拨】由旋转的定义，△ABD≌△EBC，∠ADB与∠ECB是对应角，通过计算得出结论.
【答案】55；ABD，EBC；ECB，55
【解析】旋转得到的图形是全等形，全等三角形对应边相等，对应角相等.
【总结升华】根据全等三角形的性质来解题.
8、如图，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到△
，
交AC于点D，则
°．
【思路点拨】由旋转的定义，
，
＝∠
，由平角的定义及三角形的内角和可知
旋转角度.
【答案】35°；
【解析】旋转得到的三角形和原三角形全等，所以
，
，所以，
180°－∠
－∠
＝180°－（∠ABC＋∠
）＝∠
＝35°．
【总结升华】旋转得到的三角形与原三角形全等，并且对应边的夹角等于旋转角度.这道题要注意隐含条件
，这是一对对应边．
9、如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在
位置，A点落在
位置，若
，则
的度数是____________.
【答案】70°；
提示：
＝∠
＝90°－20°＝70°.
解法导析
1、B.正确的为：
①②③
2、DE；DF；∠F；∠ABC。
由对应顶点写在对应位置，得出答案。
3、C.BC的对应线段为AD
4、B.∵∠B＝80°，∠C＝30°，由三角形内角和定理可知∠BAC=70°；由△ABC≌ΔADE，知∠DAE=
∠BAC=70°，∠EAC=∠DAE-∠DAC＝35°
5、D.判定三角形全等的方法有"S.A.S"、"A.S.A"、"A.A.S"、"S.S.S"
6、B.
名题精解
类型一、全等形和全等三角形的概念
1、请观察下图中的6组图案，其中是全等形的是__________.
【答案】
（1）（4）（5）（6）；
【解析】
（1）（5）是由其中一个图形旋转一定角度得到另一个图形的，（4）是将其中一个图形翻折后得到另一个图形的，（6）是将其中一个图形旋转180°再平移得到的，
（2）（3）形状相同，但大小不等.
【总结升华】是不是全等形，既要看形状是否相同，还要看大小是否相等.
举一反三：
【变式1】全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC和△A1B1C1是全等（合同）三角形，点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C→A，及A1→B1→C1→A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形（如图1），若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形（如图2），两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180°，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是（）
【答案】B；
提示：
抓住关键语句，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180°，B答案中的两个三角形经过翻转180°就可以重合，故选B；其它三个选项都需要通过平移或旋转使它们重合.
类型二、全等三角形的对应边，对应角
2、如图，△ABD≌△CDB，若AB∥CD，则AB的对应边是（）
A．DBB.BCC.CDD.AD
【答案】C
【解析】因为AB∥CD，所以∠CDB＝∠ABD，这两个角为对应角，对应角所对的边为对应边，所以，BC和DA为对应边，所以AB的对应边为CD.
【总结升华】公共边是对应边，对应角所对的边是对应边.
类型三、全等三角形性质
3、如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF＝60°，那么∠DAE等于（）．
A.60°B.45°C.30°D.15°
【思路点拨】△AFE是由△ADE折叠形成的，由全等三角形的性质，∠FAE＝∠DAE，再由∠BAD＝90°，∠BAF＝60°可以计算出结果.
【答案】D；
【解析】因为△AFE是由△ADE折叠形成的，所以△AFE≌△ADE，所以∠FAE＝∠DAE，又因为∠BAF＝60°，所以∠FAE＝∠DAE＝
＝15°.
【总结升华】折叠所形成的三角形与原三角形是全等的关系，抓住全等三角形对应角相等来解题.
举一反三：
【变式】如图，在长方形ABCD中，将△BCD沿其对角线BD翻折得到△BED，若∠1＝35°，则∠2＝________.
【答案】35°；
提示：
将△BCD沿其对角线BD翻折得到△BED，所以∠2＝∠CBD，又因为AD∥BC，所以∠1＝∠CBD，所以∠2＝35°.
4、如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，∠α的度数是_________.
【思路点拨】
（1）由∠1，∠2，∠3之间的比例关系及利用三角形内角和可求出∠1，∠2，∠3的度数；
（2）由全等三角形的性质求∠EBC，∠BCD的度数；（3）运用外角求∠α的度数.
【答案】∠α＝80°
【解析】∵∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，设∠1＝28
，∠2＝5
，∠3＝3
，
∴28
＋5
＋3
＝36
＝180°，
＝5°
即∠1＝140°，∠2＝25°，∠3＝15°
∵△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的，
∴△ABE≌△ADC≌△ABC
∴∠2＝∠ABE，∠3＝∠ACD
∴∠α＝∠EBC＋∠BCD＝2∠2＋2∠3＝50°＋30°＝80°
【总结升华】此题涉及到了三角形内角和，外角和定理，并且要运用全等三角形对应角相等的性质来解决问题.见“比例”设未知数
是比较常用的解题思路.
举一反三：
【变式】如图，在△ABC中，∠A:
∠ABC:
∠BCA＝3:
5:
10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：
∠BCN等于（）
A．1:
2B．1:
3 C．2:
3 D．1:
4
【答案】D；
提示：
设∠A＝3
，∠ABC＝5
，∠BCA＝10
，则3
＋5
＋10
＝18
＝180°，
＝10°.又因为△MNC≌△ABC，所以∠N＝∠B＝50°，CN＝CB，所以∠N＝∠CBN＝50°，∠ACB＝∠MCN＝100°，∠BCN＝180°－50°－50°＝80°，所以∠BCM：
∠BCN＝20°：
80°＝1：
4.
巩固练习
一、选择题
1.如图，△ABC≌△ECD，AB和EC是对应边，C和D是对应顶点，则下列结论中错误的是（）
A.AB＝CEB.∠A＝∠EC.AC＝DED.∠B＝∠D
2.如图，△ABC≌△BAD，A和B，C和D分别是对应顶点，若AB＝6
，AC＝4
，BC＝5
，则AD的长为（ ）
A.4
B.5
C.6
D.以上都不对
3.下列说法中正确的有（）
①形状相同的两个图形是全等图形②对应角相等的两个三角形是全等三角形③全等三角形的面积相等④若△ABC≌△DEF，△DEF≌△MNP，△ABC≌△MNP.
A.0个B.1个C.2个D.3个
4.如图,△ABE≌△ACD,∠B＝50°,∠AEC＝120°,则∠DAC的度数等于（）
A.120°B.70°C.60°D.50°
5.已知△ABC≌△DEF，BC＝EF＝6cm，△ABC的面积为18平方厘米，则EF边上的高是（ ）
A.6cm B.7cm C.8cm D.9cm
6.将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD分别为折痕，则∠CBD的度数为（ ）
A．60° B．75° C．90° D．95°
二、填空题
7.如图，在△ABC中，AC＞BC＞AB，且△ABC≌△DEF，则在△DEF中，______＜______＜_______（填边）.
8.如图，△ABC≌△AED，AB＝AE，∠1＝27°，则∠2＝___________.
9.已知△DEF≌△ABC，AB＝AC，且△ABC的周长为23
，BC＝4
，则△DEF的边中必有一条边等于______.
10.如图，如果将△ABC向右平移CF的长度，则与△DEF重合，那么图中相等的线段有__________；若∠A＝46°，则∠D＝________.
11.已知△ABC≌△
，若△ABC的面积为10
，则△
的面积为________
，若△
的周长为16
，则△ABC的周长为________
．
12.△ABC中，∠A∶∠C∶∠B＝4∶3∶2，且△ABC≌△DEF，则∠DEF＝______.
三、解答题
13.如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝30°，∠B＝50°，BF＝2，求∠DFE的度数与EC的长.
14.已知：
如图，△ABC≌△DEF，且B，E，C，F四点在一条直线上，∠A＝85°,∠B＝60°，AB＝8，EH＝2.
（1）求∠F的度数与DH的长；
（2）求证：
AB∥DE.
（1）解：
∵∠A＝85°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝180°－∠______－∠______＝______°.
∵△________≌△ABC，
∴_______＝AB（）
∠________＝∠ACB＝_____°（）
∵AB＝8，EH＝2，
∴DH＝DE－HE＝______－HE＝_______.
（2）证明：
∵△________≌△_________，
∴∠______＝∠______（）
∴_____∥_______（）
15.如图，E为线段BC上一点，AB⊥BC，△ABE≌△ECD.判断AE与DE的关系，并证明你的结论.
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】D；
2.【答案】B；
【解析】AD与BC是对应边，全等三角形对应边相等.
3.【答案】C；
【解析】③和④是正确的；
4.【答案】B；
【解析】由全等三角形的性质，易得∠BAD＝∠CAE＝10°，∠BAC＝80°，所以∠DAC＝70°.
5.【答案】A；
【解析】EF边上的高＝
；
6.【答案】C；
【解析】折叠所成的两个三角形全等，找到对应角可解.
二.填空题
7.【答案】DEEFDF；
8.【答案】27°；
9.【答案】4
或9.5
；
【解析】DE＝DF＝9.5
，EF＝4
；
10.【答案】AB＝DE、AC＝DF、BC＝EF、BE＝CF，46°；
11.【答案】10，16；
【解析】全等三角形面积相等，周长相等；
12.【答案】40°；
【解析】见“比例”设
，用三角形内角和为180°求解.
三.解答题
13.【解析】
解：
在△ABC中，
∠ACB＝180°－∠A－∠B，
又∠A＝30°，∠B＝50°，
所以∠ACB＝100°.
又因为△ABC≌△DEF，
所以∠ACB＝∠DFE，BC＝EF（全等三角形对应角相等，对应边相等）
所以∠DFE＝100°
EC＝EF－FC＝BC－FC＝BF＝2.
14.【解析】
（1）A，B，35；DEF；DE，全等三角形对应边相等；F，35，全等三角形的对应角相等；AB，6
（2）ABC，DEF；B，DEF，全等三角形的对应角相等；AB，DE，同位角相等，两直线平行.
15.【解析】AE＝DE,且AE⊥DE
证明：
∵△ABE≌△ECD，
∴∠B＝∠C，∠A＝∠DEC，∠AEB＝∠D，AE＝DE
又∵AB⊥BC
∴∠A＋∠AEB＝90°，即∠DEC＋∠AEB＝90°
∴AE⊥DE
∴AE与DE垂直且相等.
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