不等式解法15种典型例题.docx
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不等式解法15种典型例题
不等式解法15种典型例题
典型例题一
例1解不等式：
（1）2x3x215x0；
（2）（x4）（x5）2（2x）30．
分析：
如果多项式f（x）可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f（x）0（或f（x）0）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．
解：
（1）原不等式可化为x（2x5）（x3）0
x5
∴原不等式解集为
x4或x2
说明：
用“穿根法”解不等式时应注意：
①各一次项中x的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如图．
典型例题二
例2解下列分式不等式：
2
（1）x321x22；
（2）3xx247xx121
0）时，要注意它的等价变形
分析：
当分式不等式化为f（x）0（或g（x）
1）解：
原不等式等价于
3x
x2x2
3x
x2x2
3（x2）x（x2）
（x2）（x2）
x25x6（x2）（x2）
（x6）（x1）0
（x2）（x2）0
（x6）（x
（x2）（x
1）（x
2）
2）（x2）0
0
用“穿根法”
∴原不等式解集为（,2）
1,26,
2）解法一：
原不等式等价于
2x23x
3x27x
（2x23x1）（3x2
7x2）0
2x2
3x2
3x
7x
102x2或2
203x2
3x
7x
10
20
11
x或x1或x2，∴原不等式解集为
32
解法二：
原不等式等价于
13）
2,1）
（2,
）。
（（32xx11））（（xx12））0（2x1）（x
1）（3x1）（x2）
用“穿根法”∴原不等式解集为（
11
13）（12,1）（2,
例3
解不等式x2
x2
分析
典型例题三
：
解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：
一是根据绝对值的意义
a（a0）
a（a0）
；二是根据绝对值的性质：
axa,x.a
a，因此本
题有如下两种解法．
解法一：
原不等式
2
x
2
x
0或
x2
x2
2x
22
2或2
x
x2
2或x1
∴2x3或1
2，
故原不等式的解集为
x1
3．
解法二：
原不等式等价于
（x2）x2
4x
2
即x
2
x
4x2
4（x2）
2x
x1或x
32故1
典型例题四
例4解不等式x6x520．
124xx2
分析：
这是一个分式不等式，其左边是两个关于x二次式的商，由商的符号法则，它等价于下列两
解集的并集．也可用数轴标根法求解．
说明：
解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集，再求两组的解的并集，否则会产生误解．解法二中，“定符号”是关键．当每个因式x的系数为正值时，最右边区间一定是正值，其他各区间正负相间；也可以先决定含０的区间符号，其他各区间正负相间．在解题时要正确运用．
典型例题五
例5解不等式x2x22x．
32xx2
分析：
不等式左右两边都是含有x的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为0再解．
2
解：
移项整理，将原不等式化为
（x2）（x2x1）0
（x3）（x1）
解之，得原不等式的解集为{x1x2或x3}．
说明：
此题易出现去分母得x22x2x（32xx2）的错误解法．避免误解的方法是移项使一边
为０再解．另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理．
典型例题六
例6设mR，解关于x的不等式m2x22mx30．
分析：
进行分类讨论求解．
解：
当m0时，因30一定成立，故原不等式的解集为R．
当m0时，原不等式化为（mx3）（mx
1
）0；
若m0时，解得3x1；若
m
0时，
1解得x
3
mm
m
m
综上：
当m0时，原不等式的解集为
x
3
1x；
m
m
当m0时，原不等式的解集为
x
1
x
3．
m
m
说明：
解不等式时，由于mR，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解．因为当m0时，原不等式化为30，此时不等式的解集为R，所以解题时应分m0与m0两种情况来讨论．
223131
在解出m2x22mx30的两根为x1，x2后，认为，这也是易出现的错误之
mmmm
3131
处．这时也应分情况来讨论：
当m0时，31；当m0时，31．
mmmm
典型例题七
例7解关于x的不等式2axa21x（a0）．
分析：
先按无理不等式的解法化为两个不等式组，然后分类讨论求解．
2
2axa20,
解：
2xa20,原不等式
（1）1x0,或
（2）2xa0,221x0.2axa2（1x）2;
a
由a0，得：
由判别式
x
（1）x
2
x
4（a1）2
2,
1,
2a
8a
（2）
10;
0，故不
x
x
等式
a
2,
1.
2（a
4（a2
1）x
1）
2x
2
2（a1）xa2
10的解是
a12axa
12a．
当0a2时，
a
a1
2a
1，
a
12a1，
不等式组
（1）的解是a1
2ax1，
2
不等式组
（2）的解是x1．当a2时，不等式组
（1）无解，
（2）的解是xa．
2
综上可知，当0a2时，原不等式的解集是a12a,；当a2时，原不等式的解集是a,．
是2,．
说明：
本题分类讨论标准“0a2，a2”是依据“已知a0及
（1）中‘xa，x1'，
（2）a
中‘x，x1'”确定的．解含有参数的不等式是不等式问题中的难点，也是近几年高考的热点．一
2
般地，分类讨论标准（解不等式）大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去确定．本题易误把原不等式等价于不等式2axa2（1x）．纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式基本类型的解法．
典型例题八
例8解不等式4x210x33．
分析：
先去掉绝对值号，再找它的等价组并求各不等式的解，然后取它们的交集即可．
解答：
去掉绝对值号得34x210x3
3，
∴原不等式等价于不等式组
2
2
x0或x5
34x210x3
4x
10x
0
2x（2x5）0
2
4x210x33
4x2
10x
6
0
2（x3）（2x1）0
1x3.
2
∴原不等式的解集为
x
1
x
0或
5
x3．
2
2
说明：
解含绝对值的不等式，关键是要把它化为不含绝对值的不等式，然后把不等式等价转化
为不等式组，变成求不等式组的解．
典型例题九
例9解关于x的不等式x2（aa2）xa30．分析：
不等式中含有字母a，故需分类讨论．但解题思路与一般的一元二次不等式的解法完全一样：
求出方程x2（aa2）xa30的根，然后写出不等式的解，但由于方程的根含有字母a，故需比
较两根的大小，从而引出讨论．
解：
原不等式可化为（xa）（xa2）0．
（1）当aa2（即a1或a0）时，不等式的解集为：
xxa或xa2；22
（2）当aa2（即0a1）时，不等式的解集为：
xxa2或xa；
（3）当aa2（即a0或1）时，不等式的解集为：
xxR且xa．
说明：
对参数进行的讨论，是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类、讨论．比如本题，为求不等式的解，需先求出方程的根x1a，x2a2，因此不等式的解就是x小
于小根或x大于大根．但a与a2两根的大小不能确定，因此需要讨论aa2，aa2，aa2三种
情况．
典型例题十
22
例10已知不等式ax2bxc0的解集是xx（0）．求不等式cx2bxa0的
解集．
分析：
按照一元二次不等式的一般解法，先确定系数c的正负，然后求出方程cx2bxa0的两
根即可解之．
解：
（解法1）由题可判断出
，是方程
ax2
bx
c0的两根，
∴b，
c．又ax2
bx
c0
的解集是x
x，说明a0
a
a
而0，0
0c0
c
0，∴
cx2bxa
2ba
0xx0
a
cc
b
b
1
1
a
c
c
c
1（1
）（
1）,
aa
2ba2111111
∴x2x0，即x2（）x（）（）0，即（x）（x）0．
cc
111111
又0，∴11，∴（x1）（x1）0的解集为x1x1．
2
（解法2）由题意可判断出，是方程ax2bxc0的两根，
c2
．又ax2bxc0的解集是xx，说明a0．a
而0，
0
0
c0
a
c
0．
对方程cx
2bxa
0两边同除以
x2得
a
（1）2b
x
（1）c
x
0．
令t1x，x
该方程即为
at2
btc
0，
它的两根为
t1，
t2
∴1
x1
，1．x2
∴x1
1
，x
1
2
，∴方程cx
2bx
a
11
0的两根为，
∵0
，∴1
，∴
1．∴
不等式
2cx
bxa0的解集是
x
11
x．
说明：
（1）万变不离其宗，解不等式的核心即是确定首项系数的正负，求出相应的方程的根；
（2）结合
使用韦达定理，本题中只有，是已知量，故所求不等式解集也用，表示，不等式系数a，b，c的关系也用，表示出来；（3）注意解法2中用“变换”的方法求方程的根．
典型例题十二
例12若不等式2xa2xb的解为（，1）（1，），求a、b的值．
x2x1x2x13
分析：
不等式本身比较复杂，要先对不等式进行同解变形，再根据解集列出关于a、b式子．
解：
212
∵x2x1（x）2
2
30，x2
4
x1（x
123
40，
2ab
0
5
ab
1
，∴
a
∴原不等式化为（2a
b）x2（a
b）x
ab
0
．依题意
2
2ab
3
3
ab
b
4
2
2ab3
说明：
解有关一元二次方程的不等式，要注意判断二次项系数的符号，结合韦达定理来解．
典型例题十三
1x2，求a与b的值．
例13不等式的解集为x
满足条件a0，0，ax2bx20的两根为x11，x22．
解法一：
设ax
2bx20的两根为
x1，
x2，由韦达定理得：
b
b
1
2
x1
x2
a由题意：
a
2
2
1
2
x1
x2
a
a
∴a
1，
b1，此时满足a
0，
b24a
（2）0
解法二：
构造解集为x1x2的一元二次不等式：
（x1）（x2）0，即x2x20，此不ab2
等式与原不等式ax2bx20应为同解不等式，故需满足：
∴a1，b1．
112
说明：
本题考查一元二次方程、一元二次不等式解集的关系，同时还考查逆向思维的能力．对有关字母抽象问题，同学往往掌握得不好．
典型例题十四
例14解关于x的不等式ax2（a1）x10．
分析：
本题考查一元一次不等式与一元二次不等式解法，因为含有字母系数，所以还考查分类思想．解：
分以下情况讨论
（1）当a0时，原不等式变为：
（2）当a0时，原不等式变为：
1的解为1x1．
a
说明：
解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类：
a0
a0
aR0a1
a0
a0a1
a1
注意在讨论a0时，解一元二次不等式ax2（a1）x10应首选做到将二次项系数变为正数再求解．
典型例题十五
例15解不等式x23x108x．
分析：
无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，
f（x）g（x）f（x）解：
原不等式等价于下面两个不等式组：
①8x2
x
x0
3x
10
8
②x2
x2
x0
3x
10
由①得
所以原不等式的解集为
3x
10
∴x8由②得∴
74
x
13
8或x
（8
x）2
8
5或x
74
13.
，即为
说明：
本题也可以转化为f（x）g（x）型的不等式求解，注意
这里，设全集U{xx23x100}{xx2或x5}，A
则所求不等式的解集为A的补集A，由x23x108x
74
13
74x
13
f（x）
8，
g（x）
x23x
10
8
2
x
2
x
x0
3x
10
3x
10
（8
f（x）g（x）f（x）
x）2
0
0，
2
[g（x）]2
74
x2或5x1743，∴原不等式的解集是
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