不等式解法15种典型例题.docx

1、不等式解法15种典型例题不等式解法 15 种典型例题典型例题一例 1 解不等式：(1) 2x3 x2 15x 0；(2) (x 4)(x 5)2(2 x)3 0分析 ：如果多项式 f(x) 可分解为 n 个一次式的积，则一元高次不等式 f(x) 0(或 f(x) 0 ) 可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况解：(1)原不等式可化为 x(2x 5)(x 3) 0x5原不等式解集为x 4或 x 2说明 ：用“穿根法”解不等式时应注意：各一次项中 x 的系数必为正；对于偶次或奇次重 根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法” ，但注意“奇穿偶不穿” ，其法如图典型例题二例 2 解下列

2、分式不等式：2(1) x 32 1 x 22 ； (2) 3xx2 47xx 12 10) 时，要注意它的等价变形分析 ：当分式不等式化为 f (x) 0(或 g(x)1)解： 原不等式等价于3xx 2 x 23xx2x23(x 2) x(x 2)(x 2)(x 2)x2 5x 6 (x 2)(x 2)(x 6)(x 1) 0(x 2)(x 2) 0(x 6)(x(x 2)(x1)(x2)2)(x 2) 00用“穿根法”原不等式解集为 ( , 2)1,2 6,2)解法一：原不等式等价于2x2 3x3x2 7x(2x2 3x 1)(3x27x 2) 02x23x23x7x1 0 2x2 或22

3、0 3x23x7x102011x 或 x 1或x 2 ，原不等式解集为32解法二：原不等式等价于,13)2,1)(2,)。(32xx 11)(xx 12) 0 (2x 1)(x1)(3x 1) (x 2)用“穿根法”原不等式解集为 (11,13) (12,1) (2,例3解不等式 x2x2分析典型例题三：解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义a(a 0)a(a 0)；二是根据绝对值的性质：a x a, x.aa ，因此本题有如下两种解法解法一： 原不等式2x2x0或x2x22x222或 2xx22或 x 1 2 x 3或 12，故原不等式的解集为x13解法二

4、： 原不等式等价于(x 2) x24x2即x2x4x24 (x 2)2xx 1或 x3 2故1典型例题四例 4 解不等式 x 6x 52 012 4x x2分析： 这是一个分式不等式，其左边是两个关于 x 二次式的商，由商的符号法则，它等价于下列两解集的并集也可用数轴标根法求解说明： 解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集，再求两组的解的 并集，否则会产生误解解法二中， “定符号”是关键当每个因式 x 的系数为正值时，最右边区间 一定是正值，其他各区间正负相间；也可以先决定含的区间符号，其他各区间正负相间在解题 时要正确运用典型例题五例 5 解不等式 x 2x 22 x3

5、 2x x2分析： 不等式左右两边都是含有 x的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为 0 再解2解： 移项整理，将原不等式化为(x 2)(x2 x 1) 0(x 3)(x 1)解之，得原不等式的解集为 x 1 x 2或x 3 说明： 此题易出现去分母得 x2 2x 2 x(3 2x x2) 的错误解法避免误解的方法是移项使一边为再解另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式是否有解， 从而使求解过程科学合理典型例题六例 6 设m R，解关于 x的不等式 m2x2 2mx 3 0分析： 进行分类讨论求解解：当 m 0时，因 3 0一定成立，故原不等式的解集为 R当

6、m 0 时，原不等式化为 (mx 3)(mx1) 0 ；若 m 0 时，解得 3 x 1 ；若m0 时，1 解得 x3mmmm综上：当 m 0 时，原不等式的解集为x31 x；mm当 m 0 时，原不等式的解集为x1x3mm说明：解不等式时， 由于 m R ，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解 因为当 m 0时， 原不等式化为 3 0 ，此时不等式的解集为 R ，所以解题时应分 m 0与 m 0两种情况来讨论2 2 3 1 3 1在解出 m2x2 2mx 3 0 的两根为 x1 ， x2 后，认为 ，这也是易出现的错误之m m m m3 1 3 1处这时也应分情况来讨论：当 m 0 时，

7、3 1 ；当 m 0 时， 3 1 m m m m典型例题七例 7 解关于 x的不等式 2ax a2 1 x(a 0)分析： 先按无理不等式的解法化为两个不等式组，然后分类讨论求解22ax a2 0,解：2x a2 0, 原不等式 (1) 1 x 0, 或 (2) 2x a 0, 2 2 1 x 0. 2ax a2 (1 x)2;a由 a 0 ，得：由判别式x(1) x2x4(a 1)22,1,2 a8a(2)1 0;0，故不xx等式a2,1.2(a4(a21)x1)2 x22(a 1)x a21 0 的 解 是a 1 2a x a1 2a 当 0 a 2 时，aa12a1，a1 2a 1 ，

8、不等式组(1) 的解是 a 12a x 1，2不等式组 (2)的解是 x 1当 a 2时，不等式组 (1)无解， (2)的解是 x a2综上可知，当 0 a 2时，原不等式的解集是 a 1 2a, ；当 a 2时，原不等式的解集 是 a, 是 2, 说明： 本题分类讨论标准“ 0 a 2，a 2 ”是依据“已知 a 0及(1)中 x a，x 1 ，(2) a中 x ，x 1 ”确定的解含有参数的不等式是不等式问题中的难点， 也是近几年高考的热点 一2般地，分类讨论标准(解不等式)大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端 点”去确定本题易误把原不等式等价于不等式 2ax a2 (

9、1 x) 纠正错误的办法是熟练掌握无理 不等式基本类型的解法典型例题八例 8 解不等式 4x2 10x 3 3分析： 先去掉绝对值号，再找它的等价组并求各不等式的解，然后取它们的交集即可解答： 去掉绝对值号得 3 4x2 10x 33，原不等式等价于不等式组22x 0或 x 53 4x2 10x 34x10x02x(2x 5) 024x2 10x 3 34x210x602(x 3)(2x 1) 01 x 3.2原不等式的解集为x1x0或5x322说明： 解含绝对值的不等式，关键是要把它化为不含绝对值的不等式，然后把不等式等价转化为不等式组，变成求不等式组的解典型例题九例 9 解关于 x的不等式

10、 x2 (a a2)x a3 0 分析： 不等式中含有字母 a ，故需分类讨论但解题思路与一般的一元二次不等式的解法完全一样： 求出方程 x2 (a a2)x a3 0的根，然后写出不等式的解，但由于方程的根含有字母 a ，故需比较两根的大小，从而引出讨论解： 原不等式可化为 (x a)(x a2) 0(1)当 a a2(即 a 1或a 0 )时，不等式的解集为： x x a或 x a2 ； 22(2)当 a a2(即 0 a 1 )时，不等式的解集为： x x a2 或 x a ；(3)当 a a2(即 a 0 或 1)时，不等式的解集为： x x R且 x a 说明： 对参数进行的讨论，是

11、根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类、 讨论比如本题，为求不等式的解，需先求出方程的根 x1 a， x2 a2 ，因此不等式的解就是 x小于小根或 x大于大根但 a与a2两根的大小不能确定，因此需要讨论 a a2， a a2， a a2三种情况典型例题十22例 10 已知不等式 ax2 bx c 0 的解集是 x x ( 0) 求不等式 cx2 bx a 0 的解集分析： 按照一元二次不等式的一般解法，先确定系数 c 的正负，然后求出方程 cx 2 bx a 0 的两根即可解之解： (解法 1)由题可判断出， 是方程ax2bxc 0 的两根， b ，c 又 ax2bxc0的解

12、集是 xx ，说明 a 0aa而 0 ， 00 c 0c0，cx2 bx a2 b a0 x x 0accbb11accc1 ( 1)(1),aa2 b a 2 1 1 1 1 1 1 x2 x 0，即 x2 ( )x ( )( ) 0， 即 (x )(x ) 0cc1 1 1 1 1 1又 0 ， 1 1 ， (x 1)(x 1) 0 的解集为 x 1 x 1 2(解法 2)由题意可判断出 ， 是方程 ax2 bx c 0 的两根，c2又 ax2 bx c 0 的解集是 x x ，说明 a 0 a而 0 ，00c0ac0对方程 cx2 bx a0两边同除以x2得a (1)2 bx(1) cx

13、0令 t 1x ， x该方程即为at2bt c0，它的两根为t1 ，t21x1， 1 x2 x11，x12，方程 cx2 bxa110 的两根为 ，0， 1，1 不等式2 cxbx a 0 的解集是x11x说明： (1) 万变不离其宗，解不等式的核心即是确定首项系数的正负，求出相应的方程的根； (2) 结合使用韦达定理， 本题中只有 ， 是已知量， 故所求不等式解集也用 ， 表示，不等式系数 a ，b， c 的关系也用 ， 表示出来； (3) 注意解法 2 中用“变换”的方法求方程的根典型例题十二例 12 若不等式 2x a 2x b 的解为 ( ，1) (1， )，求 a、b的值x2 x 1

14、 x2 x 1 3分析： 不等式本身比较复杂，要先对不等式进行同解变形，再根据解集列出关于 a、 b式子解：2 1 2 x2 x 1 (x ) 223 0 ， x24x 1 (x1 2 34 0 ，2ab05ab1，a原不等式化为 (2 ab)x2 (ab)xab0依题意22ab33abb422 a b 3说明： 解有关一元二次方程的不等式，要注意判断二次项系数的符号，结合韦达定理来解典型例题十三1 x 2 ，求 a 与 b 的值例 13 不等式的解集为 x满足条件 a 0， 0，ax2 bx 2 0的两根为 x1 1， x2 2解法一：设 ax2 bx 2 0 的两根为x1，x2 ，由韦达定

15、理得：bb12x1x2a 由题意：a2212x1x2aaa1，b 1 ，此时满足 a0，b2 4a ( 2) 0解法二： 构造解集为 x 1 x 2 的一元二次不等式： (x 1)(x 2) 0，即 x2 x 2 0 ，此不 a b 2等式与原不等式 ax2 bx 2 0应为同解不等式，故需满足： a 1，b 1112说明： 本题考查一元二次方程、一元二次不等式解集的关系，同时还考查逆向思维的能力对有关 字母抽象问题，同学往往掌握得不好典型例题十四例 14 解关于 x 的不等式 ax2 (a 1)x 1 0分析： 本题考查一元一次不等式与一元二次不等式解法，因为含有字母系数，所以还考查分类思想

16、 解： 分以下情况讨论 (1)当 a 0 时，原不等式变为： (2)当 a 0 时，原不等式变为：1 的解为 1 x 1 a说明： 解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类：a0a0a R 0 a 1a0a 0 a 1a1注意在讨论 a 0 时，解一元二次不等式 ax2 (a 1)x 1 0应首选做到将二次项系数变为正数再求 解典型例题十五例 15 解不等式 x2 3x 10 8 x 分析： 无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，f (x) g(x) f (x) 解： 原不等式等价于下面两个不等式组： 8x2xx03x108 x2x2x03x10由得所以原不等式的解集为3x10 x 8 由得74x138或 x(8x)285 或 x7413.，即为说明： 本题也可以转化为 f (x) g(x) 型的不等式求解，注意这里，设全集 U x x2 3x 10 0 xx 2或 x 5 ， A则所求不等式的解集为 A的补集 A ，由 x2 3x 10 8 x741374 x13f (x)8，g(x)x2 3x1082x2xx03x103x10(8f(x) g(x) f(x)x)200，2g(x)274x 2或 5 x 1743 ，原不等式的解集是