数值分析复习题13doc.docx

数值分析复习题13doc.docx

《数值分析复习题13doc.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数值分析复习题13doc.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

数值分析复习题13doc

第一章

1.Pl2:

2,3,6,8

（1）,

（2）,9

1.数值计算屮，误差主要来源于模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差.

2.兀=3.141592653…，近似值x=3.1416与精确值龙比较，有（D）几位有效数字.

A.2位B.3位C.4位D.5位

3.1416=0.31416xl0_1,m=-l

详解:

3.1416-3.141592653=0.000007347<0.00005=0.5x10^

m-n=—4,m=-1,n=5

3.^=3.141592653-••的5位有效数字，它的绝对误差限是（B）

A.0.0005B.0.00005C.0.000005D.0.0000005

详解：

3.1416-3.141592653=0.0000074<0.00005（最后一位是5）

4.已知£=2.718281828•…,取近似值x=2.7182,那么兀具有的有效数字是（A）

A.4位B.5位C.6位D.7位

详解：

与第二题类似，省略。

5.为了减少舍入误差，应将将J硕硕改写为.（/

V2009+V2008

6.要使届的近似值的相对误差限小于0.001%,要取几位有效数字。

（P8）

=3•…，取a,=3,—'—xl0-n+1

12側+1）

—xio_/,+1

2x4

10一叫］0-5

n=6

7.1）经过四舍五入得出旺=1.1021,兀2=0.031,召=385.6,“=56.430。

问它们分别有几位有效数字?

2）求x,+x2+x4，的绝对误差限。

（P7）

第二章

1•加3；5；6

1.用二分法求方程在区间［1,3］内的根，进行一步肩根的所在区间为（1,2）,进行两步后根的所

在区间为（1.5,2）o（此题缺少条件，方程应为：

2x3-5x-1=0）

2.用牛顿法及弦截法求解方程/（x）=0的近似根时它们的的迭代公式分别为

牛顿法迭代公式：

n厂学仝,弦截法迭代公式：

£+2=f—、x.fg）八占）/匕+1）-/（兀”）

3.迭代过程x,+1=-xk+4收敛于x*=V3时，问其有几阶收敛速度。

3耳

2121|

3.解因为°（x）=—xH—,0（x）=—2—,©"（x）=6——

3JT3JTX

加）=0,心件詁。

故是二阶收敛。

（第一个不等于0的一阶导数阶数）

4.判断用下列两种迭代格式

兀i+i

=^2八0丄2,…=扣；—5）,"0,1,2,…

=导2林+5,k=0,1,2,…

求方程

『一2—5=0

在［2,3］内的根的收敛性。

4.解1）

2）

0（兀）=2兀：

5,0（兀）：

max\（p\x）l>1,发散2

—2（兀+5）

乃、—14—16

?

"⑵"瓦"⑶"方

=—X23,0

（2）=6>1,max\（p\x）\>1,所以发散。

22*3

3）

向量范数定义小范数定义』兀II]=1舛I+I兀2I+…+I£I2■范数定义：

11x112=Jx；+兀；+理…+兀；

8-范数定义:

llxll00=max（lx/1）

1

3

1

3.A=

1

0

3

则1141/

8

_3

4

-1

IIAll,=

矩阵范数定义：

行范数（无穷范数）：

每一行元索绝对值相加的最大值j=4

列范数（1范数）:

每一列元素绝对值和加的最大值声

2•范数:

AAr特征根最大值，再开根号

4.矩阵A的范数应满足卜-列四个条件：

非负性，齐次性，二角不等式，相容性

5.设^=（aiJ）nxn为对角占优阵，则矩阵A的元素应满足条件

6.用Doolittle.Crout分解法和平方根法求解下列线性方程组

「124

兀1

~4~

266

—

5

467

_6

7.试对下列线性方程组进行等价变换，确保雅克比迭代和高斯一赛徳尔迭代法收敛，并写出迭代格式。

5兀]+2x2+兀3=5

第五章

1.片78：

1；2；4；10；14

详解：

1•厶（沪汩入总八-（_1卄，"）=今31）

2.差分表

f（xt）一阶二解三阶

等距离向前插值多项式（f>0）

入―八八八g-0.040-0.150z（、0.029z…

=N、（-0.1+0.4/）=0.995+1+r（z-1）+t（t一1）（/一2）

1!

!

3!

令一0」+0.4/二

3

=0.2,t=-

4

N.（0.2）=0.995+~（），04（）-+~°''50-+-0.981

1!

42!

443!

444

—0」

0.3

0.7

1.1

0.995

0.955

0.765

0.454

-0.040

-0.190

-0.311

—0」50

-0.021

0.029

等距离向后插值多项式（r<0）

N3（x）=7V（1.1+0.40

0.454+

1!

-0.021

2!

心+1）+

0.029

3!

l.l+0.4r=0.8,t=-~

4

M（0.8）=0.454+沁

（二）+沖

（二）丄+壘

（二）耳“.688

1!

42!

443!

444

4.

于（乞）

一阶

二解

三阶

四解

0

0

1

16

16

2

46

30

7

3

88

42

6

-1/3

4

0

-88

-65

-71/3

-35/6

^4（x）=0+16（x-0）+7x（x-l）--xU-l）U-2）-—x（x-l）（x-2）（x-3）36

R4（兀）=

5!

x（x一1）（%一2）（%一3）（%一4）

10.厶⑴1）°—2）_3（兀+1）（兀—2）+4（x+l）Cr-1）

・（-2）-（-3）2-（-1）3-1

尺2（X）=

（x+1）（兀—1）（兀—2）

14.7100=10,7121=11,7144=12

线性插值:

厶⑴=

x-121

100-121

x—100]]

121-100

皿⑸*囂;訓*阳細韦咲和=讪429

二次插值：

=（—121）（—144）I。

|（%-100）（%-144）11|（x-100）（—121）丄

―A-（100-121）（100-144）（121-100）（121-144）（144-100）（144-121）

（144-100）（144-121严

—（115—121）（115—144）“（115—100）（115—144）「（115-100）（115-121）

£,（115）=10+-11+

1（100-121）（100-144）（121-100）（121-144）

二凹旦10+些竺11+耳12七72276

21-4421・（—23）44-23

2.已知/（x）=8F+7p+2疋+9,则于[1,2,3,4,5,6,7,&9,10]=（D）

A.8

B.7

C.2

D.0

3.已^/（x）=6x4+5x2+2x+1,则兒4,5,6,7,8]=（A）

A.6

B.5

C.2

D.

利用性质/%吗心,…，心譽

4.设/

（1）=0,/⑵=4,/⑶=16,则/[1,2]=—,/[1,2,3]=

5.已知/（l）=1J

（2）=4J（3）=2,则f（x）的分段线性插值函数为/（l）=l,/

（2）=4,/（3）=2o

^•1+口4=3兀-2,xw（l,2）

1-22-1

X—3x—2

〔2-33-2

—4+——2=—2x+&xw（2,3）

第六章

1.巴22：

3,4,6,9,13,19,22编写相关算法的程序。

2.试用法方程方法求y=严在［0,1］上的一次最佳平方逼近多项式。

°（）—4—fcxdx—1

［答案：

法方程为：

］

2）,a.=0.873,a.=1.609,（p（x）=0.873+1.609x]

3•试用Legendre多项式构造/在［-1,1］上的二次最佳平方逼近多项式。

X

-2

-1

0

1

2

y

0

1

2

1

0

方程组

111

xq（）+Jxdxxd]+jx2Jxx6f2=^x4dx

-1-1・1

111

xdxxa｛）+J/dxxd]+^dxxa2=jxxx4Jx

-1-1-1

1

\dx

-1

-1

1）11

^x1dxxa（）+Jx3dxxax+^xAdxxtz2=jx2xxAdx、-1-i

3

35

Xd]+

-1

解得：

s；o）=》

3.已知函数表为

X2

试用y=C°+y+C2〒按最小二乘原理拟合两数.

11111

，厂

y（）

yi

y2

儿

，以xA得到系数矩阵,

屮汀得到右边的矩阵

「5

0

10]网

r<

［答案：

法方程为：

0

10

0C]

=0,

10

0

34」h

|_2

4.求y=arctanx在10,1］上的一次最佳平方逼近多项式。

y

583

x

357

［答案:

正则方程为（］

1711f

ao+~a\=T_~ln2

1

—Cl（｝dCt｝

[2031

711…

4?

"/,a0=0.0429,a.=0.7918,（p（x）=0.0429+0.7918兀]

_711

~7~2

5.推导下列矩形求积公式:

将/（兀）在兀=仝辿处taylor展开，得

2

、£/d+b\a+b、1…xzci+b、2r7.

f（x）=f（丁）+/（〒）（x—-）+-/（7）U一一）■，“WS,6・

3

4

5

6

7

8

5

4

2

1

1

2

6.给出下而数据表

打⑴心（"/（罗）+八罗）弘-

=（b・Q）/（°严）+］厂

ci+b

2

）dx

求一多项式曲线,使其拟合给定的这组数据.（艾实就是最小1乘法的拟介）7•证明是实值函数||/（x）||=[ff\x）dxY是定义在C[a,b]上的范数。

证明思路：

非负性、齐次性、三角不等式

第七、八章

1.鬥56：

1,2,4,7,102.役5：

1,2

3・用二点公式和五点公式求心需在“Eg处的导数值，并估计误差"）的值由表给出.

X

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

y

0.2500

0.2668

0.2066

0.1890

0.1736

三点公式：

厂（兀°）=亠（-3/（兀°）+4/（西）-/也））

2/?

＜厂3禺（/（兀2）-他））

2h

fXx2）=^r（/（x0）-4/（x,）+3/（x2））

五点公式:

广（兀0）=丄（-25/（x0）+48/（x1）-36/（x2）+16/（x3）-3/（x4））

12/2

f©）=丄（-3/（%0）-10/（%,）+18/（x2）-6/（x3）+/（x4））

12/7

“厂也）・；（/（心）一巧3）+8/（兀2）+8/也）-/（兀））

12/?

•厂区）（-/Uo）+6/（x1）-18/（x2）+1O/（x3）+3/（x4））

12/?

/，

4•求积公式打（兀）必弓（*）+”

（1）的代数精度为多少？

/⑴=1,兀,0寸』/⑴dxQ扌/（*）+£/⑴精确成立WU）=x3时,f/（x）t/x«-/（-）+丄/⑴不精确成立，所以具冇2阶代数精度

』）'434

5•若f（兀）>0,证明用梯形公式计算积分f/（A-Wx所得到的数值计算结果比准确值大，并说明其几何意义。

解：

采用梯形公式计算积分时，余项为

Rr=_[丫）（b_d）3,〃w[a,b]

又f\x）>0^b>a

:

.Rr<0

乂•・*=/-T

:

.I

即计算值比准确值大。

6.设/（兀）在[a,b]二阶连续可导，使推导下面求积公式，

f/（X）d"譬[/（G）+/（b）]+l（ld）2[f（d）_f（b）]

儿24

并证明余项如下

R[f]=^b-a）3f^）^e（a9b）

O

/（x）在兀=。

点处用泰勒公式展开：

/（x）=/（«）+f⑷（兀-a）+f（巾）（兀-a）?

两边同时在［d,b］上积分

I1

j/（x）t/xu（b-a）f（a）+-f'（a）（b-«）2+-f"（q）（b-a）3

a

/（x）在x=b点处用泰勒公式展开：

/（x）=/（/?

）+/（/?

）（%-/?

）+f（〃2）（兀-"）2，两边同时在［d,b］上积分

”11

J7（X）d"（b—G）/的-亍f的@-0）2+&八仏）（b-0）3

a

HH

相加除以2,得|7⑴d“¥［/（d）+/e）］+扣一。

）"（。

）一/'的］+如一。

）％八"叮八"叫

跖2462

由于/⑴二阶导连续，所以余项为：

R［f］=y（b-a）3f^）^e（a,b）

6

第九章

1.出05：

1,2,3,6,10,12,14,15编写相关算法的程序。

2.用改进欧拉法求解处初值问题，要求取步长h二0.5,计算结果保留6位小数。

>;=l-^r,0

<1+八

丿（0）=0

h

改进的欧拉法:

汕=〉；+尹（s）+m-九）］,/叫=）迁0.

J'o=丁（兀0），/=0,1,2,---,/?

-1

y=x-y+l,

3.对初值问题［y（o）=i,，取步长"0」，用四阶龙格-库塔法求y（0・2）的近似值，并与准确解尸兀+―.

在f=0.2的值进行比较。

h

yi+i=x+三（山+2*2+2心+他）

O

k严/（£』）

去2=f（xi+£，刀+与kJ，其中兀严0,几二1,/|=0.1

ZZ

k3=/（£+£』+£&）

*4=/（£+"，必+hkj

2~

0（兀）=—（2兀+5）亍,maxI（pf（x）1=0.94<1,所以收敛。

32SM3

函数对定义域封闭，并H•—阶导数在定义域内均小于1,收敛；否则发散

第三章

1-£（）（）：

6,8,9,10

（1）

（2）；11

（1）

（2）

1

2.x=2，则IIxH|=_6_,IIx11-）=_V14,II兀11==3

3