高中数学圆锥曲线重要结论.docx
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高中数学圆锥曲线重要结论
圆锥曲线重要结论
椭圆
1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
2.PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5.
若P0（x0,y0）在椭圆
x2
y2
x0x
y0y
1.
a
b2
1上，则过P0的椭圆的切线方程是
b2
2
a2
6.
若P（x,y）
在椭圆
x2
y2
1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为
P1、P2，则切点弦
0
0
0
a
2
b2
7.
x2
y2
1（a＞b＞0）的左右焦点分别为
F1，F2，点P为椭圆上任意一点F1PF2
椭圆
2
b2
a
8.
椭圆x2
y2
1（
a
＞＞）的焦半径公式：
a2
b2
b
0
P1P2的直线方程是x0x
y0y
1.
a2
b2
，则椭圆的焦点角形的面积为
SFPF
2
b2tan.
1
2
|MF1|aex0,|MF2|aex0（F1（c,0）,F2（c,0）M（x0,y0））.
9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF
⊥NF.
10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
x2
y2
M（x0,y0）为AB的中点，则kOMkAB
b2
11.AB是椭圆
2
b
21的不平行于对称轴的弦，
a
2，
a
即KAB
b2x0。
a2y0
双曲线
1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.
2.PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：
P在右支；外切：
P在左支）
x2
y2
x0x
y0y
5.
若P0（x0,y0）在双曲线a2
b21（a＞0,b＞0）上，则过P0的双曲线的切线方程是
a2
b2
1.
6.
x2
y2
1（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切线切点为
P1、P2，则切点弦
若P0（x0,y0）在双曲线
b2
x2
y2
a2
7.
1（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为
F1，F2，点P为双曲线上任意一点
FPF
双曲线
a2
b2
1
2
SFPF
2
b2cot.
1
2
8.
x2
y2
1（a＞0,b＞o）的焦半径公式：
（F1（
c,0）
F2（c,0）
双曲线
b2
a2
当M（x
y）在右支上时，|MF1|
ex0
a,|MF2|ex0
a.
0
0
当M（x
y）在左支上时，|MF1|
ex0
a,|MF2|
ex0
a
0
0
P1P2的直线方程是x0x
y0y
1.
a2
b2
，则双曲线的焦点角形的面积为
9.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N
两点，则MF⊥NF.
10.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
11.
AB是双曲线x2
y2
1
（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M（x0,y0）为AB的中点，则
KOM
KAB
b2x0，即KAB
b2x0。
a2
b2
a2y0
a2y0
12.
若P0
（x0
y0）在双曲线x2
y2
1
（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是
x0x
y0y
x02
y0
2.
a2
b2
a2
b2
a2
b2
13.
若P0
（x0
y0）在双曲线
x2
y2
1
（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是
x2
y2
x0xy0y
a
2
b
2
a
2
b
2
a
2
b
2.
椭圆与双曲线的对偶性质--
椭
圆
1.
x2
y
2
1（a＞b＞o）的两个顶点为
A1（
a,0）
A2（a,0）
，与y轴平行的直线交椭圆于
P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是
x2
y2
1
.
椭圆
b
a2
b2
a2
2
2.
过椭圆x2
y2
1（a＞0,b＞0）上任一点
A（x0,y0）任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于
B,C两点，则直线BC有定向且kBC
b2x0（常数）.
a2
b2
a2y0
3.
若P为椭圆
x2
y2
1（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点
F1,F2是焦点,PF1F2
PF2F1
a
c
cot.
a2
b2
，则
tan
a
c
2
2
4.
x2
y
2
1（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记
F1PF2
设椭圆
2
b2
a
PF1F2
F1F2P
sin
c
e.
，则有
sin
a
sin
5.
x2
y2
1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为
F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤
2
1时，可在椭圆上求一点
P，使得PF1是P到对应准
若椭圆
b2
a2
线距离d与PF2的比例中项.
6.
P为椭圆
x2
y2
1（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则
2a
|AF2||PA|
|PF1|2a
|AF1|,当且仅当A,F2,P三
a2
b2
点共线时，等号成立.
7.
（xx0）2
（yy0）2
1与直线Ax
By
C0有公共点的充要条件是
2
2
2
b
2
（Ax0
By0
2
椭圆
2
b2
Aa
B
C）.
a
8.
已知椭圆
x2
y2
OP
OQ
1
1
1
1
22
的
a
2
b
21（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且
.
（1）
2
2
a
2
b
2;
（2）|OP|+|OQ|
|OP|
|OQ|
4a2b2
a2b2
最大值为
a
2
b
2;（3）SOPQ的最小值是
a
2
2.
b
9.
过椭圆
x2
y
2
1（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于
M,N
a2
b2
10.
x2
y2
1（a＞b＞0）,A、B、是椭圆上的两点，线段
AB
已知椭圆a2
b2
11.
设P
点是椭圆
x2
y2
1（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点
a2
b2
|PF|
e
两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则
.
|MN|
2
a2
b2
x0
a2
b2
的垂直平分线与x轴相交于点P（x0,0）,则
a
.
a
F1、F2为其焦点记F1PF2
，则
（1）|PF1||PF2
|
2b2
.
（2）
1
cos
SPFF
b2tan
.
1
2
2
12.
设
A
、
B
是椭圆
x2
y2
1
ab
0
）的长轴两端点，
P
是椭圆上的一点，
PAB
PBA,BPA
ce
分别是椭圆的半焦距
（＞
＞
，、
a2
b2
2ab2|cos
2a2b2
离心率，则有
（1）|PA|
|
.
（2）tantan
1
e2
.（3）SPAB
cot.
a2
c2cos2
b2
a2
13.
已知椭圆x2
y2
（
＞＞
）的右准线l与
x
轴相交于点E，过椭圆右焦点
F的直线与椭圆相交于
A
、
两点点C在右准线l上，且BCx
a2
b2
1
ab0
B
轴，则直线AC经过线段EF的中点.
14.
过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直
.
15.
过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直
.
16.
椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数
e（离心率）.
（注:
在椭圆焦三角形中
非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点
.）
17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.
18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
椭圆与双曲线的对偶性质--
双曲线
x2
y2
1（a＞0,b＞0）的两个顶点为
A1（a,0）,A2（a,0），与y轴平行的直线交双曲线于
P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是
1.双曲线
b2
a2
x2
y
2
1.
a2
b2
2.
过双曲线
x2
y
2
1（a＞0,b＞o）上任一点A（x0,y0）任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于
B,C两点，则直线BC有定向且kBC
b2x0
a2
b2
a
2y0
（常数）.
3.
若P为双曲线
x2
y2
1
PF1F2
PF2F1
c
a
anttco
a2
b2
（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1,F2是焦点,
，则
a
2
c
2
（或c
a
tan
2
cot
）.
c
a
2
4.
设双曲线
x2
y2
1（a＞0,b＞0）的两个焦点为
F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△
PF1F2中，记
F1PF2
a2
b2
PF1F2
F1F2P
sin
c
e.
，则有
a
（sinsin）
5.
若双曲线
x2
y
2
1（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为
F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤2
1时，可在双曲线上求一点
P，使得PF1是
a2
b2
P到对应准线距离
d与PF2的比例中项.
6.
x
2
y2
1（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则|AF2
|2a|PA|
|PF1|,当且仅当A,F2,P三点
P为双曲线
2
b2
a
共线且P和A,F2
在y轴同侧时，等号成立.
7.
双曲线x2
y2
1
a
0,b
＞
0
）与直线
AxBy
C
0
有公共点的充要条件是
A
2a2
B2b2
.
（＞
C2
a2
b2
8.
已知双曲线
x2
y2
1（b＞a＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且
OP
OQ.
a2
b2
4a2b2;（3）SOPQ的最小值是
a2b2
（1）
1
1
1
1
;
（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为
.
|OP|2
|OQ|2
a2
b2
b2
a2
b2
a2
9.
过双曲线
x2
y2
1（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于
M,N两点，弦MN的垂直平分线交
|PF|
e
a2
b2
x轴于P，则
.
|MN|
2
10.
已知双曲线
x2
y2
1（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段
AB的垂直平分线与
x
轴相交于点
P（x0,0）
则x0
a2
b2
a2
b2
a
或
x0
a2
b2
.
a
11.
设P
x2
y2
1（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点
F1、F2
为其焦点记
FPF
，则
（1）
|PF1||PF2|
2b2
.
（2）
点是双曲线
a2
b2
1
2
1cos
SPFF
b2cot.
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