高中数学圆锥曲线重要结论.docx

1、高中数学圆锥曲线重要结论圆锥曲线重要结论椭 圆1. 点 P 处的切线 PT 平分 PF1 F2 在点 P 处的 外角 .2. PT 平分 PF1F2 在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 .3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线 相离 .4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 .5.若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆x2y2x0 xy0 y1.ab21上，则过 P0 的椭圆的切线方程是b22a26.若 P ( x , y )在椭圆x2y21外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点

2、弦000a2b27.x2y21 (a b 0)的左右焦点分别为F1， F 2，点 P 为椭圆上任意一点F1PF2椭圆2b2a8.椭圆 x2y 21（a ）的焦半径公式：a2b2b0P1P2 的直线方程是 x0 xy0 y1 .a2b2，则椭圆的焦点角形的面积为S F PF2b2 tan .12| MF1 | a ex0 , | MF2 | a ex0 ( F1 ( c,0) , F2 (c,0) M (x0 , y0 ) ).9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、 Q 两点， A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M 、 N 两点，则 MF

3、 NF.10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、 Q, A 1、 A 2 为椭圆长轴上的顶点， A 1P 和 A 2Q 交于点 M ，A 2P 和 A 1Q 交于点 N ，则 MF NF.x2y2M ( x0 , y0 ) 为 AB 的中点，则 kOM kABb211. AB 是椭圆2b2 1 的不平行于对称轴的弦，a2 ，a即 K ABb2 x0 。a2 y0双曲线1. 点 P 处的切线 PT 平分 PF1F2 在点 P 处的 内角 .2. PT 平分 PF1F2 在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 .3. 以焦

4、点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线 相交 .4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆 相切 .（内切： P 在右支；外切： P 在左支）x2y2x0 xy0 y5.若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 a2b2 1（ a 0,b 0）上，则过 P0 的双曲线的切线方程是a2b21 .6.x2y21（ a 0,b 0）外 ，则过 Po 作双曲线的两条切线切点为P1、 P2，则切点弦若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线b2x2y2a27.1 （ a 0,b o）的左右焦点分别为F1 ， F 2 ，点 P 为双曲线上任意一点F PF双曲线a2b212S F PF2b2 c

5、o t .128.x2y21 （a 0,b o）的焦半径公式： ( F1 (c,0), F2 (c,0)双曲线b2a2当 M (x, y ) 在右支上时， | MF1 |ex0a , | MF2 | ex0a .00当 M (x, y ) 在左支上时， | MF1 |ex0a , | MF2 |ex0a00P1P2 的直线方程是 x0xy0 y1.a2b2，则双曲线的焦点角形的面积为9. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点， A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M 、N两点，则 MF NF.10. 过双曲线一个焦点 F 的直

6、线与双曲线交于两点 P、Q, A 1、A 2 为双曲线实轴上的顶点， A 1P 和 A 2Q 交于点 M ，A 2P 和 A 1Q 交于点 N ，则 MF NF.11.AB 是双曲线 x2y21（ a 0,b 0）的不平行于对称轴的弦， M (x0 , y0 ) 为 AB 的中点，则K OMK ABb 2 x0 ，即 K ABb 2 x0 。a2b2a 2 y0a 2 y012.若 P0( x0, y0 ) 在双曲线 x2y21（ a 0,b 0）内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是x0 xy0 yx02y02 .a2b2a2b2a2b213.若 P0( x0, y0 ) 在双曲线x2y21

7、（ a 0,b 0）内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是x2y2x0 x y0 ya2b2a2b2a2b2 .椭圆与双曲线的对偶性质 -椭圆1.x2y21（ a b o）的两个顶点为A1 (a,0), A2 (a,0)，与 y 轴平行的直线交椭圆于P1、P2 时 A 1P1 与 A 2 P2 交点的轨迹方程是x2y21.椭圆ba2b2a222.过椭圆 x2y21 (a0, b 0)上任一点A(x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点， 则直线 BC 有定向且 kBCb2 x0 （常数） .a2b2a2 y03.若 P 为椭圆x2y21 （a b 0）上异于长轴端点的任

8、一点,F1, F 2 是焦点 , PF1F2,PF2 F1acco t .a2b2，则tanac224.x2y21 （ a b 0 ） 的 两 个 焦 点 为 F1 、 F2,P （ 异 于 长 轴 端 点 ） 为 椭 圆 上 任 意 一 点 ， 在 PF1 F2 中 ， 记F1 PF2,设 椭 圆2b2aPF1 F2,F1F2 Psince .，则有sinasin5.x2y21（ab 0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为 L ，则当 0 e21 时，可在椭圆上求一点P，使得 PF1 是 P 到对应准若椭圆b2a2线距离 d 与 PF2 的比例中项 .6.P 为椭圆x2y21（ a b

9、0）上任一点 ,F1,F2 为二焦点， A 为椭圆内一定点，则2a| AF2 | | PA| PF1 | 2a| AF1 |,当且仅当 A, F2 , P 三a2b2点共线时，等号成立 .7.( x x0 )2( y y0 )21与直线 AxByC 0 有公共点的充要条件是222b2( Ax0By02椭圆2b2A aBC ) .a8.已知椭圆x2y2OPOQ111122的a2b2 1（ a b 0）， O 为坐标原点， P、Q 为椭圆上两动点，且.（ 1）22a2b2 ; （ 2）|OP| +|OQ| OP |OQ |4a2b2a2b2最大值为a2b2 ;（ 3） S OPQ 的最小值是a22

10、 .b9.过椭圆x2y21（ a b0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于M,Na2b210.x2y21（ ab 0） ,A 、 B、是椭圆上的两点，线段AB已知椭圆 a2b211.设 P点是椭圆x2y21 （ a b 0 ）上异 于长轴端点的任一点a2b2| PF |e两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则.| MN |2a2b2x0a2b2的垂直平分线与 x 轴相交于点 P( x0 ,0) , 则a.a,F1 、 F2 为 其焦点记F1 PF2，则 (1) | PF1 | PF2|2b2.(2)1cosS PF Fb2 tan.12212.设A、B是椭圆x2y21a b0）的长轴

11、两端点，P是椭圆上的一点，PAB, PBA, BPAc e分别是椭圆的半焦距（ ， 、a2b22ab2 |cos2a2b2离心率，则有 (1) | PA |.(2) tan tan1e2.(3) S PABcot .a2c2co s2b2a213.已知椭圆 x2y2（ ）的右准线 l 与x轴相交于点 E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A、两点 点 C 在右准线 l 上，且 BC xa2b21a b 0B,轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点 .14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相

12、应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.椭圆焦三角形中 , 内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e( 离心率 ).（注 : 在椭圆焦三角形中, 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点. ）17. 椭圆焦三角形中 , 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18. 椭圆焦三角形中 , 半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.椭圆与双曲线的对偶性质 -双曲线x2y21（ a 0,b0）的两个顶点为A1( a,0) , A2 (a,0) ，与 y 轴平行的直线交双曲线于P1、P2 时 A 1P1 与 A 2P2 交点的轨迹方程是1. 双曲线b2a2x2y2

13、1.a2b22.过双曲线x2y21（ a 0,b o）上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线 BC 有定向且 kBCb2 x0a2b2a2 y0（常数） .3.若 P 为双曲线x2y21PF1F2,PF2 F1caanttcoa2b2（ a 0,b0）右（或左）支上除顶点外的任一点 ,F1, F 2 是焦点 ,，则a2c2（或 catan2co t） .ca24.设双曲线x2y21 （ a 0,b 0 ）的两个焦点为F1、 F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在PF1F2 中，记F1 PF2,a2b2PF1F2, F1F2 Psin

14、ce .，则有a(sinsin )5.若双曲线x2y21 （a 0,b 0）的左、右焦点分别为F1、 F2，左准线为 L ，则当 1e 21时，可在双曲线上求一点P，使得 PF1 是a2b2P 到对应准线距离d 与 PF2 的比例中项 .6.x2y21（ a 0,b 0）上任一点 ,F1,F2 为二焦点， A 为双曲线内一定点，则 | AF2| 2a | PA| PF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点P 为双曲线2b2a共线且 P 和 A, F2在 y 轴同侧时，等号成立 .7.双曲线 x2y21a0,b0）与直线Ax ByC0有公共点的充要条件是A2 a2B2b2.（ C 2a2b

15、28.已知双曲线x2y21（ b a 0）， O 为坐标原点， P、 Q 为双曲线上两动点，且OPOQ .a2b24a2b2 ;（ 3） S OPQ 的最小值是a2b2（1）1111;（ 2） |OP|2+|OQ|2 的最小值为.| OP |2| OQ |2a2b2b2a2b2a29.过双曲线x2y 21 （a 0,b 0）的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交| PF |ea2b2x 轴于 P，则.| MN |210.已知双曲线x2y21（ a 0,b 0 ） ,A 、 B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x轴相交于点P( x0 ,0), 则 x0a2b2a2b2a或x0a2b2.a11.设 Px2y21（ a 0,b 0 ）上异于实轴端点的任一点,F1、 F2为其焦点记F PF，则 (1)| PF1 | PF2 |2b2.(2)点是双曲线a2b2121 cosS PF Fb2 cot .