点集拓扑学拓扑知识点汇总.docx
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点集拓扑学拓扑知识点汇总
第4章连通性重要知识点
本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉及某些简单的应用.这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间.
§4.1连通空间
本节重点：
掌握连通与不连通的定义.
掌握如何证明一个集合的连通与否？
掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性。
我们先通过直观的方式考察一个例子.在实数空间R中的两个区间（0,1）和［1,2）,尽管它们互不相交，但它们的并（0,1）U［1,2）=（0,2）却是一个"整体”；而另外两个区间（0,1）和（1,2）,它们的并（0,1）U（1,2）是明显的两个"部分产生上述不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0,1）有一个凝聚点1在［1,2）中；而对于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中.我.们通过以下的定义，用术语来区别这两种情形.
定义4.1.1设八和B是拓扑空间X中的两个子集.如果
（AcP）58cA）=0
则称子集A和B是隔离的.
明显地，定义中的条件等价于AcE=0和Br>A=0同时成立，也就是说，A与B无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点.
应用这一术语我们就可以说，在实数空间R中，子集（0,1）和（1,2）是隔稱的，而子集（0,1）和［1,2）不是隔离的.
又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个无交的子集都是隔离的.
定义4.1.2设X是一个拓扑空间.如果X中有两个非空的隔离子集A和B便得X=AUB,则称X是一个不连通空间；否则，则称X是一个连通空间.
显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平屣空间都是连通空间.
定理4.1.1设X是一个拓扑空间.则下列条件等价：
（1）X是一个不连通空间；
（2）X中存在着两个非空的闭子集A和B使得AHB-0和AUB=X成立；
（3）X中存在着两个非空的开子集A和B使得AAB=0和AUB=X成立；
（4）X中存在着一个既开又闭的非空真子集.
证明
（1）蕴涵
（2）：
设
（1）成立.令A和B是X中的两个非空的隔离子集便得
AUB=X,显然AHB-0,并且这时我们有
B=BcX=Bc（AuB）=（Bc4）5BcB）=B
因此B是X中的一个闭子集；同理A也是一个X中的一个闭子集.这证明了集合A和B满足条件
（2）中的要求.
（2）蕴涵（3）.如果X的子集A和B满足条件
（2）中的要求，所以A、B为闭集，则由于这时有A=B和因此A、B也是开集，所以A和B也满足条件（3）中的要求.
（3）蕴涵（4）.如果X的子集A和B满足条件（3）中的要求，所以A、B是开集，则由h=B'和B-A'易见A和B都是X中的闭集，因此A、B是X中既开又闭的真（•.•A、BH0,AUB=X,Z.A,BHX）子集•所以条件（4）成立.
（4）蕴涵
（1）.设X中有一个既开又闭的非空真子集A.令B=A\则A和B都是X中的非空的闭子集，它们是无交的并且便得AUB=X.易见两个无交的闭子集必定是隔离的
（因为闭集的闭包仍为自己）.因此
（1）成立.
例4.1.1有理数集Q作为实数空间R的子空间是一个不连通空间.这是因为对于任何一个无理数rWR-Q,集合（-8,r）AQ=（一8,r]AQ是子空间Q中的一个既开又闭的非空真子集.
定理4.1.2实数空间R是一个连通空间.
证明我们用反证法来证明这个定理.
假设实数空间R是不连通空间.则根据定理4.1.1,在R中有两个非空闭集A和B使得AAB=0和AUB=R成立.任意选取aGA和bWB,不失一般性可设a[a,b],和5-BA[a.b].于是久和方是R中的两个非空闭集分别包含a和b,并且使得広C
B=0和久UB=[a,b]成立.集合広有上界b,故有上确界，设为乙.由于広是一个闭集,
所以b^A,并且因此可见b此（5,b]u直.由于§是一个闭集，所以乙EB.这又导致&EAtlS，也与Ar>B=0矛盾.
定义4.1.3设Y是拓扑空间X的一个子集.如果Y作为X的子空间是一个连通空间，则称Y是X的一个连通子集；否则，称Y是X的一个不连通子集.
拓扑空间X的子集Y是否是连通的，按照定义只与子空间Y的拓扑有关（即Y的连通与否与X的连通与否没有关系.）.因此，如果FuZuX,则Y是X的连通子集当且仅当Y是Z的连通子集.这一点后面要经常用到.
定理4.1.3设Y是拓扑空间X的一个子集，A,BuY.则A和B是子空间Y中的隔离子集当且仅当它们是拓扑空间X中的隔离子集.
因此,Y是X的一个不连通子集当且仅当存在Y中的两个非空隔离子集A和B使得AUB=Y（定义）当且仅当存在X中的两个非空隔离子集A和B使得AUB=Y.
证明因为
（Cy（A）c3）u（CY（3）cA）=（（C\,（A）cY）c3）u（（CY（3）cY）cA）=©（A）cac3）2©（3）c（YcA））=（Cx（A）c叽©3）cA）
因此根据隔离子集的定义可见定理成立.
定理4.1.4设Y是拓扑空间X中的一个连通子集.如果X中有隔离子集A4-rB逹<■-\u
UB,则或者YuA,或者YuB.
证明如果A和B是X中的隔离子集使得YUAUB,则
=Yc（（Ac£）u（BcA）=0这说明AAY和BQY也是隔离子集.然而
（AOY）U（BAY）=（AUB）QY=Y
因此根据定理4.1.3,集合AAY和BCY中必有一个是空集.如果AClY=0,据上式立即可见YuB,如果BAY=0,同理可见YcA.
定理4.1.5设Y是拓扑空间X的一个连通子集，ZaX满足条件YuZuP.则Z也是X的一个连通子集.
证明假设Z是X中的一个不连通子集.根据定理4.1.3,在X中有非空隔离子集A
和B使得Z=AUB.因此YuAUB.由于Y是:
连通的，根据定理4.1.4,
或者YcA,tZuPu方=>Zc3uAcB=0=>B=ZcB=0
或者YCB.同理.A=0。
这两种情形都与假设矛盾.
定理4.1.6设｛｝；｝庠「是拓扑空间X的连通子集构成的一个子集族.如果^yer0,则u海乙是X的一个连通子集.
证明设A和B是X中的两个隔离子集，使得u海乙，=AUB.任意选取xGc海乡，
不失一般性，设xGA.对于每一个ver，由于勺连通，根据定理4.1.4,或者YrczA
或者Y?
uB；由于xGyyHA,所以约uA二海｝;uA/\B=0.根捋定理
4.1.3,这就证明了定理4.1.7设Y是拓扑空间X中的一个子集.如果对于任意x,yGY存在X中的一个连通子集丫刊使得x,yGyAVczY,则Y是X中的一个连通子集.
证明如果¥0,显然Y是连通的.下设YH0,任意选取aGY,
容易验证Y=kJyeXYxy并且aG^veyYay.应用定理4.1.6,可见Y是连通的.
我们曾经说过，拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质（参见§2.2）.所谓拓扑不变性质，乃是为一个拓扑空间具有必为任何一个与其同胚的拓扑空间所具有的性质.事实上,如果拓扑空间的某一个性质，它是藉助于开集或者藉助于经由开集定义的其它概念表达的，则此性质必然是拓扑不变性质.
拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个在连续映射下保持不变的性质.由于同胚是连续的满射，所以在连续映射下保持不变的性质必然是拓扑不变性质'
拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个可商性质.由于拓扑空间到它的商空间的自然的投射是一个连续的满射,所以在连续映射下保持不变的性质必然是可商性质.
以下定理4.1.8指出，连通性（即一个拓扑空间是连通的这一性质〉是一个在连续映射下保持不变的性质.因此，它是拓扑不变性质，也是可商性质.
定理4.1.8设f：
X-*Y是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射.则f（X）是
Y的一个连通子集.
证明如果f（X）是Y的一个不连通子集，则存在Y的非空隔离子集A和B使得
f（X）=AUB.于是（A）和厂"（B）是X的非空子集，并且
（/_，（A）c厂伽5广（B）cf~l（A））
u（厂（A）c厂0）2（厂（B）c（A））
=/t（（AcP）3（BcA））=0
所以/-*（A）和/（B）是X的非空隔离子集.此外，
（A）U/-*（B）=/_,（AUB）/■*（f（X））=X
这说明X不连通.与定理假设矛盾.
拓扑空间的某种性质P称为有限可积性质，如果任意n>0个拓扑空间X1,X2v..Xn都具有性质P，蕴涵着积空间X,xX2x...xX”也具有性质p.
例如，容易直接证明，如果拓扑空间X^X2,...Xn都是离散空间（平庸空间），则积空间
X}xX2x...xXn也是离散空间（平庸空间）.因此我们可以说拓扑空间的离散性和平庸性都是有限可积性质.
根据定理3.2.9以及紧随其后的说明可见：
假设已知拓扑空间的某一个性质p是一个拓扑不变性质.为了证明性质p是一个有限可积性质我们只要证明任何两个具有性质p的拓扑空间的积空间也是具有性质P的拓扑空间.
定理4.1.9设XPX2是n个连通空间.则积空间X,xX2x...xXn也是连通
空间.
证明根据前一段中的说明，我们只要对于严2的情形加以证明.
首先我们指出：
如果x=（x^x2\y=（y^y2）eXxxX2两个点有一个坐标相同，则
X】xX?
有一个连通子集同时包含x和y
不失一般性，设Aj=儿
定义映射k：
X2TX]xX?
使得对于任何z2eX2有k（z2）=（xp^2）.
由于
pxok-.X2^X}是取常值坷的映射，
p2ok-.X2^X2为恒同映射，
它们都是连续映射，其中戸，“2分别是X,xX2到第1和第2个坐标空间的投射.因此，k是一个连续映射.根据定理4.1.8,k（X2）是连通的.此外易见，^（X2）={x,）xX2,因此它同时包含x和y.
现在来证明：
xX2中任何两个点x=（Xj,x2）,y=（”，）、）€X]xX2同时属于X,xX2的某一个连通子集.这是因为这时若令z=（x^y2^X^X2,则根据前段结论,可见有X,xX2的一个连通子集人同时包含x和z,也有X|XX?
的一个连通子集厶同时包含y和z.由于zWKc/,所以根据定理4.1.6,X,于是应用定理4.I.7可见X1XX2是一个连通空间.
由于n维欧氏空间是n个实数空间R的笛卡儿积，而实数空间R又是一个连通空间，所以应用这个定理可见，n维欧氏空间R”是一个连通空间.
作业：
P.1163.5.6.&14.
§4.2连通性的某些简单应用
本节重点：
掌握实数空间R中的连通子集的”形状"
掌握实数空间R的子集中常见的连通子集与不连通子集.
掌握常见的几种空间的同胚与否的事实.
让我们回忆实数集合R中区间的精确定义：
R的子集E称为一个区间，如果它至少包含两个点，并且如果a,bEE,aVb,则有
[a,b]-{xGRaWxWb}uE
读者熟知，实数集合R中的区间共有以下九类：
（一8,8）,（a,8）,[a,8）,（-8,a）,a]
（a,b）,（a,b],[a,b）,[a,b]
因为，一方面以上九类集合中的每一个显然都是区间；另一方面，如果EuR是一个区间，可视E有无上（下）界，以及在有上（下）界的情形下视其上（下）确界是否属于E,而将E归入以上九类之一
在定理4.1.2中我们证明了实数空间R是一个连通空间.由于区间（a,8）,
（一8,a）和（a,b）都同胚于R（请读者自己写出必要的同胚映射），所以这些区间也都是连通的；由于
（a,s）=[a,8）,（-s,d）=（-s,d]
（a,b）u[a.b）u[ayb],（atb）u（a,b]u[atb]u（a,b）
根据定理4.1.5可见区间[a,8）,（—8,a],[a,b）,（a,b]和[a,b]都是连通的.另一方面，假设E是R的一个子集，并且它包含着不少于两个点.如果E不是一个区间，则
3a,beR,aA=（—8,c）PIE,B=（c,8）qe
则可见A和B都是E的非空开集，并且有AUB=E和ACB=0,因此E不连通.
综合以上两个方面，我们已经证明了：
定理4.2.1设E是实数空间R的一个子集.E是包含着不少于两个点的一个连通子集当且仅当E是一个区间.
定理4.2.2设X是一个连通空间，f：
X-R是一个连续映射.则f（X）是R中的一个区间.
因此，如果x,y€X,则对于f（x）与f（y）之间的任何一个实数t（即当f（x）Wf（y）时,f（x）WtWf（y）;当f（y）Wf（x）时，f（y）WtWf（x））,存在zGX使得f（z）=t.
证明这个定理的第一段是定理4.1.8和定理4.2.1的明显推论.以下证明第二段.设X,yGX.如果f（x）=f（y）,则没有什么要证明的.现在设f（x）Hf（y）,并且不失一般性，设f（x）根据定理4.2.2,立即可以推出参、析中的介值定理和不动点定理.
定理4.2.3[介值定理]设f：
[a,b]-R是从闭区间[a,b]到实数空间R的一个连续映射.则对于f（a）与f（b）之间的任何一个实数r,存在zG[a,b]使得f（z）=r.
定理4.2.4[不动点定理]设f:
[0,1]—[0,1]是一个连续映射.则存在ze[0,1]使得f（z）=z
证明如同数学分析中的证法那样，只须构造F（x）=x-f（x）,再利用介值定理即可证得.
容易证明欧氏平面中的单位圆周U={（x,y）e/?
2lx2+y2=l}是连通的.这是因为如果定义映射f:
R-炉使得对于任意tGR有f（t）=（cos2nt,sin2nt）GS1,则易于验证f是一个连续映射，并且f（R）=Sl因此S】是连通空间R在一个连续映射下的象，所以它是连通的.
设点x=（Xj,x2）,-x=（-Xj-x2）eS1称为点X的对径点.映射r：
S1S}使得任何
有r（x）=-x,称为对径映射.对径映射是一个连续映射，因为它是欧氏平面A?
到自身的反射1：
FI，在单位圆周上的限制.其中，映射1定义为对于任何x=（x}ix2）eR1,有
1（x）=-X,容易验证（请读者自行验证）是一个连续映射.
定理4.2.5[Borsuk-Ulam定理]设f：
5*-*R是一个连续映射.则在G中存在一对对径点x和-x,使得f（x）=f（-x）.
证明（略）
我们已经知道n维欧氏空间是连通空间，下面进一步指出：
定理4.2.6n>l维欧氏空间的子集2?
"-{0）是一个连通子集，其中0=（0,0,…,
0）GRn.
证明我们只证明n=2的情形.根据定理4.1.9,/J?
中的子集（_8,o）XR和（0,
8）XR都是连通的.由于
（0,oo）x7?
u[0,8）xR-{0}u[0,8）xR=（0,s）xR
所以根据定理4.1.5,中的子集从[o,8）XR-{0}是连通的；同理，子集
B=（-8,0]XR-{0}是连通的.由于ACBH0以及AUB-/?
2-{0},所以根据定理4.1.6
可见，/?
2-（0}是连通的.
一般情形的证明类似，请读者自行补证.
定理4.2.6可以得到进一步的改善（参见习题第4題.）
定理4.2.7欧氏平面A?
和实数空间r不同胚.
证明假设尺2与R同胚，并且设f：
r2-r是一个同胚.因此对于连续映射
我们有g（/?
2—{0}）=尺一{/（0）}.但根据定理4.2.6,/?
2-{0）是连通的，而根据定理
4.2.1,R-{f（0）}是不连通的.这与定理4.1.8矛盾.
定理4.2.7给出了利用拓扑不变性质判定两个空间不同胚的第一个实例.
定理4.2.4,定理4.2.5和定理4.2.7尽管简单但确有意思，特别是这几个定理都有高维“版本”，我们分别述如下：
定理4.2.8[Brouwer不动点定理]设f：
DnDn是一个连续映射，其中D"是n
维球体.则存在zG£）"使得f（z）=z.
定理4.2.9[Borsuk-Ulam定理]设f：
S'JR"是一个连续映射，其中n$m,则存在xGS"使得f（x）=f（-x）.
定理4.2.10如果nHm,则欧氏空间IT和7T不同胚.这些定理的证明（除去我们已经证明过的情形）一般都需要代数拓扑知识，例如同调论或同伦论，请参阅有关的专门书籍.
作业：
P.1214.
§4.3连通分支
本节重点：
掌握连通分支的定义.（即连通”类”的分法）
掌握连通分支的性质（定理4.3.1）
从前面两节中的容可以看出，知道一个拓扑空间是否连通给我们处理一些问題带来很大的方便.这导致我们去考察一个我们并不知道是否连通的拓扑空间中的“最大”连通子集（即连通分支）.
定义4.3.1设X是一个拓扑空间，x,yGX.如果X中有一个连通子集同时包含x和y,我们则称点x和y是连通的.（注意：
是点连通）
根据定义可见，如果x,y,z都是拓扑空间X中的点，则
（1）x和x连通（因为每一个单点集都是连通子集）；
（2）如果x和y连通，则y和x也连通；（显然）
（3）如果x和y连通，并且y和z连通，则x和z连通.（这是因为，这时存在X中的连通子集A和B使得x,yGA和y,zEB.从而由于yGACIB可见AUB连通，并且x,zGAUB.因此x和z连通.）
以上结论归结为：
拓扑空间中点的连通关系是一个等价关系.
定义4.3.2设X是一个拓扑空间.对于X中的点的连通关系而有的每一个等价类称为拓扑空间X的一个连通分支.
如果Y是拓扑空间X的一个子集.Y作为X的子空间的每一个连通分支称为X的子集Y的一个连通分支.
拓扑空间XH0的每一个连通分支都不是空集；X的不同的连通分支无交；以及X的所有连通分支之并便是X本身.此外，X,yGX属于X的同一个连通分支当且仅当x和y连通.
拓扑空间X的子集A中的两个点x和y属于A的同一个连通分支当且仅当A有一个连通子集同时包含点x和y.
定理4.3.1设X是一个拓扑空间，C是拓扑空间X的一个连通分支.则
（1）如果Y是X的一个连通子集，并且YCCH0,nYuC；
（2）C是一个连通子集；
（3）C是一个闭集.
本定理中的条件
（1）和
（2）说明，拓扑空间的每一个连通分支都是X的一个最大的连通子集.
证明
（1）任意选取xWYAC.对于任何yWY由于x和y连通，故yEC.这证明YcC.
（2）对于任何x,yGC,根据定义可见，存在X的一个连通子集纤〉•使得x,y^Yxy.显
然岭yQCH0,故根据
（1）,打yUC.应用定理4.1.7可知，C是连通的.
（3）由于C连通，根据定理4.1.5,疋连通.显然，fcC=CH0。
所以根据
（1）,
CcC,=>C=C.从而C是一个闭集.
但是，一般说来连通分支可以不是开集.例如考虑有理数集Q（作为实数空间R的子空间）.设x,yGQ,xHy.不失一般性，设x记住这个事实：
任一个集合A都可以由含于它部的所有连通分支的并而成（且这些连通分支互不相交）.即使是离散空间.它的每一个点自成连通分支，这个结论也成立.
作业:
P.123
L3.4.&
§4.4局部连通空间
本节重点：
掌握局部连通的定义与性质（定理4.4.1—4.4.3）
掌握连通与局部连通的关系.
引进新的概念之前，我们先来考察一个例子.
例4.4.1在欧氏平面A?
中令S={（x,sin（l/x））IxG（0.1]}.T={0}X[-1,1],其中S被称作拓扑学家的正弦曲线，它是区间（0,1]在一个连续映射下的象，因此是连通的.此外，也容易验证f=SUT,因此S严SUT也是连通的.尽管如此，倘若我们查看/中的点，容易发现它们明显地分为两类：
S中的每一个点的任何一个“较小的”邻域中都包含着一个连通的邻域，而T中的每一个点的任何一个邻域都是不连通的•我们用以下的术语将这两个类型的点区别开来.
定义4.4.1设X是一个拓扑空间，xEX.如果x的每一个邻域U中都包含着x的某一个连通的邻域V,则称拓扑空间X在点x处是局部连通的.
如果拓扑空间X在它的每一个点处都是局部连通的，则称X是一个局部连通空间.
回到例4.4.1中所定义的拓扑空间S】.容易证明，S|在其属于S的每一个点处是局部连通的，而在其属于T的每一个点处都不是局部连通的.也因此，尽管&是一个连通空间，但它却不是一个局部连通的空间.
局部连通的拓扑空间也不必是连通的.例如，每一个离散空间都是局部连通空间，但包含着多于两个点的离散空间却不是连通空间.又例如，n维欧氏空间的任何一个开子空间都是局部连通的（这是因为每一个球形邻域都同胚于整个欧氏空间R",因而是连通的）,待别，欧氏空间本身是局部连通的.另一方面，欧氏空间R"中由两个无交的非空开集的并作为子空间就一定不是连通的（请读者自己证明）.
此外根据定义立即可见：
拓扑空间X在点xGX处是局部连通的当且仅当x的所有连通邻域构成点x处的一个邻域基，
定理4.4.1设X是一个拓扑空间.则以下条件等价：
（1）X是一个局部连通空间；
（2）X的任何一个开集的任何一个连通分支都是开集；
（3）X有一个基，它的每一个元素都是连通的.
证明
（1）蕴涵
（2）.设C是X的一个连通分支,C^UeTx.如果xec,由于U是x的一个邻域，所以当
（1）成立时x有一个连通邻域V包含于U.又由于VCC包含着点x,所以不是空集，根据定理4.3.1可见VuC.因此CGt/x.这证明C是属于它的任何一个点X的邻域，因此C是一个开集.
（2）蕴涵（3）.
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