②A为直角或钝角时，若a≤b，无解；若a>b，一解．
（4）已知一边a及两角A，B（或B，C）用正弦定理，先求出一边，后求另一边．
三角形常用面积公式
（1）S＝
a·ha（ha表示a边上的高）．
（2）S＝
absinC＝
acsinB＝
bcsinA＝
.
（3）S＝
r（a＋b＋c）（r为内切圆半径）．
1．判断下列说法是否正确（打“√”或“×”）．
（1）在△ABC中，A>B必有sinA>sinB.
（2）在△ABC中，若b2＋c2>a2，则△ABC为锐角三角形．
（3）在△ABC中，若A＝60°，a＝4
，b＝4
，则∠B＝45°或∠B＝135°.
（4）若满足条件C＝60°，AB＝
，BC＝a的△ABC有两个，则实数a的取值范围是（
，2）．
（5）在△ABC中，若acosB＝bcosA，则△ABC是等腰三角形．
（6）在△ABC中，若tanA＝a2，tanB＝b2，则△ABC是等腰三角形．
2．（教材习题改编）在△ABC中，若a＝2bsinA，则B等于（ ）
A．30°或60° B．45°或60°
C．60°或120°D．30°或150°
3．（2016·课标全国Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝
，c＝2，cosA＝
，则b＝（ ）
A.
B.
C．2D．3
4．（2017·课标全国Ⅱ，文）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，则B＝________．
5．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若（a＋b－c）（a＋b＋c）＝ab，则角C＝________．
6．在△ABC中，已知c＝10
，A＝45°，在a分别为20，10
，
，10和5的情况下，求相应的角C.
题型一 利用正余弦定理解三角形
（1）在△ABC中，已知a＝
，b＝
，A＝45°，求角B，C及边c.
（2）在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6，则
＝________．
（1）在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其他边角的问题时，首先必须判明是否有解，（例如在△ABC中，已知a＝1，b＝2，A＝60°，则sinB＝
sinA＝
>1，问题就无解），如果有解，是一解，还是两解．
（2）在三角形的判断中注意应用“大边对大角”来确定．
思考题1
（1）（2017·课标全国Ⅲ，文）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝60°，b＝
，c＝3，则A＝________．
（2）（2016·课标全国Ⅲ，理）在△ABC中，B＝
，BC边上的高等于
BC，则cosA＝（ ）
A.
B.
C．－
D．－
题型二 正余弦定理的综合运用
（1）（2017·课标全国Ⅰ，理）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为
.
①求sinBsinC；
②若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．
（2）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A＝
，b2－a2＝
c2.
①求tanC的值；
②若△ABC的面积为3，求b的值．
思考题2
（1）（2017·天津，理）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a>b，a＝5，c＝6，sinB＝
.
①求b和sinA的值；
②求sin（2A＋
）的值．
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝
，bsin（
＋C）－csin（
＋B）＝a.
①求证：
B－C＝
；
②若a＝
，求△ABC的面积．
题型三 判断三角形形状
在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosB·cosC，试判断△ABC的形状．
★状元笔记★
三角形形状的判定方法
（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角（如a＝2RsinA，a2＋b2－c2＝2abcosC等），利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sinA＝sinB⇔A＝B；sin（A－B）＝0⇔A＝B；sin2A＝sin2B⇔A＝B或A＋B＝
等．
（2）注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种形状的可能．
思考题3 在△ABC中，a，b，c分别表示三个内角A，B，C的对边，如果（a2＋b2）sin（A－B）＝（a2－b2）·sin（A＋B），判断△ABC的形状．
题型四 解三角形
（2018·皖南八校联考）
如图，在四边形ABCD中，已知AB⊥AD，∠ABC＝120°，∠ACD＝60°，AD＝27，设∠ACB＝θ，点C到AD的距离为h.
（1）用θ表示h的解析式；
（2）求AB＋BC最大值．
思考题4
如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝
，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.
（1）若PB＝
，求PA；
（2）若∠APB＝150°，求tan∠PBA.
1．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
①化边为角，②化角为边；并常用正弦（余弦）定理实施边、角转换．
2．用正弦（余弦）定理解三角形问题时可适当应用向量数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形边长等．
3．在判断三角形形状或解斜三角形时，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．如：
（1）A＋B＋C＝π.
（2）在三角形中大边对大角，反之亦然．
（3）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
（4）在△ABC中，A，B，C成等差数列的充要条件是B＝60°.
作业（二十六）
（第一次作业）
1．（2018·安徽马鞍山一模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝
，b＝2，A＝60°，则c＝（ ）
A.
B．1
C.
D．2
2．（2018·山西五校联考）在△ABC中，a＝
b，A＝120°，则角B的大小为（ ）
A．30°B．45°
C．60°D．90°
3．（2018·陕西西安一中期中）在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是（ ）
A．（0，
]B．[
，π）
C．（0，
]D．[
，π）
4．（2018·广东惠州三调）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝2，c＝2
，且C＝
，则△ABC的面积为（ ）
A.
＋1B.
－1
C．4D．2
5．（2018·东北八校联考）已知△ABC三边a，b，c上的高分别为
，
，1，则cosA＝（ ）
A.
B．－
C．－
D．－
6．（2016·山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2（1－sinA）．则A＝（ ）
A.
B.
C.
D.
7．（2014·江西，文）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a＝2b，则
的值为（ ）
A．－
B.
C．1D.
8．（2018·安徽合肥检测）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（a－b）（sinA＋sinB）＝（c－b）sinC.若a＝
，则b2＋c2的取值范围是（ ）
A．（3，6]B．（3，5）
C．（5，6]D．[5，6]
9．在△ABC中，若AB＝
，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为________．
10．（2018·河南信阳调研）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设S为△ABC的面积，S＝
（a2＋b2－c2），则C的大小为________．
11．（2017·甘肃定西统考）在△ABC中，若
＝
，则△ABC的形状为________．
12．（2018·河北唐山一模）在△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且A－C＝90°，则cosB＝________．
13．（2018·广东揭阳一模）在△ABC中，∠B＝
，AC＝1，点D在边AB上，且DA＝DC，BD＝1，则∠DCA＝________．
14．（2017·北京，理）在△ABC中，∠A＝60°，c＝
a.
（1）求sinC的值；
（2）若a＝7，求△ABC的面积．
15．（2018·河南豫南九校质量考评）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
＝
，且b＝4.
（1）求角B；
（2）求△ABC面积的最大值．
16．（2017·课标全国Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A＋C）＝8sin2
.
（1）求cosB；
（2）若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b.
17．（2018·福建高中毕业班质检）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2bcosC－c＝2a.
（1）求B的大小；
（2）若a＝3，且AC边上的中线长为
，求c的值．
18．（2018·衡水中学调研卷）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC.
（1）求角A的大小；
（2）若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长．
（第二次作业）
1．（2015·广东，文）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2
，cosA＝
且bA．3B．2
C．2D.
2．在△ABC中，AC＝
，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于（ ）
A.
B.
C.
D.
3．（2018·北京西城期末）已知△ABC中，a＝1，b＝
，B＝45°，则A等于（ ）
A．150°B．90°
C．60°D．30°
4．（2018·安徽合肥模拟）在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为
，则BC的长为（ ）
A.
B.
C．2
D．2
5．在△ABC中，三边长a，b，c满足a3＋b3＝c3，那么△ABC的形状为（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．以上均有可能
6．（2016·北京）在△ABC中，∠A＝
，a＝
c，则
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