吉林省长春市普通高中届高三质量检测三数学理试题解析版.docx
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吉林省长春市普通高中届高三质量检测三数学理试题解析版
吉林省长春市普通高中2019届高三质量检测（三）数学（理）试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.sin210°的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
2.已知集合A={-1，0，1，2}，B={x|（x+1）（x-2）＜0}，则A∩B=（ ）
A.
B.
C.
0，
D.
1，
3.若
的实部与虚部相等，则实数a的值为（ ）
A.0B.1C.2D.3
4.执行如图所示的程序框图，如果输入N=4，则输出p为（ ）
A.6
B.24
C.120
D.720
5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=4，a4=2，则S6=（ ）
A.0B.10C.15D.30
6.已知
、
是两个单位向量，且夹角为
，则（
-2
）•（-2
+
）=（ ）
A.
B.
C.
D.
7.若8件产品中包含6件一等品，在其中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
8.已知m，n为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出α∥β的是（ ）
A.
，
，
B.
，
，
C.
，
，
D.
，
，
9.“科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量.2007年至2018年，某企业连续12年累计研发投入达4100亿元，我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比．这12年间的研发投入（单位：
十亿元）用图中的条形图表示，研发投入占营收比用图中的折线图表示．
根据折线图和条形图，下列结论错误的是（ ）
A.
年研发投入占营收比增量相比
年增量大
B.该企业连续 12 年研发投入逐年增加
C.
年研发投入增值最大
D.该企业连续 12 年研发投入占营收比逐年增加
10.函数f（x）=
的部分图象大致是（ ）
A.
B.
C.
D.
11.已知O为坐标原点，抛物线C：
y2=8x上一点A到焦点F的距离为6，若点P为抛物线C准线上的动点，则|OP|+|AP|的最小值为（ ）
A.4B.
C.
D.
12.已如函数f（x）=
，若x1≠x2，且f（x1）+f（x2）=2，则x1+x2的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知函数
的最小正周期为π，则ω=______，若
，则sin2α=______．
14.已知矩形ABCD，AB=12，BC=5，以A，B为焦点，且过C，D两点的双曲线的离心率为______．
15.
我国古代数学名著《九章算术•商功》中阐述：
“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，对该几何体有如下描述：
①四个侧面都是直角三角形；
②最长的侧棱长为
；
③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；
④外接球的表面积为24π．
其中正确的描述为______．
16.已知数列{an}中，a1=2，
，则
=______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.在△ABC中，AB=6，
．
（1）若
，求△ABC的面积；
（2）若点D在BC边上且BD=2DC，AD=BD，求BC的长．
18.某工厂有两个车间生产同一种产品，第一车间有工人200人，第二车间有工人400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间（单位：
min）分别进行统计，得到下列统计图表（按照[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]分组）．
分组
频数
[55，65）
2
[65，75）
4
[75，85）
10
[85，95]
4
合计
20
第一车间样本频数分布表
（Ⅰ）分别估计两个车间工人中，生产一件产品时间小于75min的人数；
（Ⅱ）分别估计两车间工人生产时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？
（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）
（Ⅲ）从第一车间被统计的生产时间小于75min的工人中，随机抽取3人，记抽取的生产时间小于65min的工人人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．
19.如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=BC=1，CD=2，E为CD中点，AE与BD交于点O，将△ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）．
（1）证明：
平面POB⊥平面ABCE；
（2）若直线PB与平面ABCE所成的角为
，求二面角A-PE-C的余弦值．
20.
如图所示，椭圆
离心率为
，B1、B2是椭圆C的短轴端点，且B1到焦点的距离为
，点M在椭圆C上运动，且点M不与B1、B2重合，点N满足NB1⊥MB1，NB2⊥MB2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求四边形MB2NB1面积的最大值．
21.已知a∈R，函数
．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若x=2是f（x）的极值点，且曲线y=f（x）在两点P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2））（x1＜x2＜6）处的切线互相平行，这两条切线在y轴上的截距分别为b1、b2，求b1-b2的取值范围．
22.在平面直角坐标系xOy中，直线l1的倾斜角为30°，且经过点A（2，1）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l2：
ρcosθ=3，从原点O作射线交l2于点M，点N为射线OM上的点，满足|OM|•|ON|=12，记点N的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求出直线l1的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l1与曲线C交于P，Q两点，求|AP|•|AQ|的值．
23.已知函数f（x）=|2x-1|+|x-1|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤4的解集；
（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为m，当a，b，c∈R+，且a+b+c=m时，求
+
+
的最大值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解：
sin210°=sin（180°+30°）=-sin30°=-
．
故选：
B．
所求式子中的角度变形后，利用诱导公式化简即可求出值．
此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
2.【答案】A
【解析】
解：
由B中不等式解得：
-1＜x＜2，即B={x|-1＜x＜2}，
∵A={-1，0，1，2}，
∴A∩B={0，1}，
故选：
A．
求出集合B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
3.【答案】A
【解析】
解：
∵
=
的实部与虚部相等，
∴a+1=1-a，即a=0．
故选：
A．
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部相等列式求得a值．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
4.【答案】B
【解析】
解：
由已知中N=4，
第一次进入循环时，p=1，此时k=1不满足退出循环的条件，则k=2
第二次进入循环时，p=2，此时k=2不满足退出循环的条件，则k=3
第三次进入循环时，p=6，此时k=3不满足退出循环的条件，则k=4
第四次进入循环时，p=24，此时k=4满足退出循环的条件，
故输出的p值是24
故选：
B．
分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是利用循环计算p值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．
本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】
解：
数列{an}是等差数列，a2=4=a1+d，a4=2=a1+3d，所以a1=5，d=-1，则S6=6a1+
=15．
故选：
C．
根据等差数列的性质，根据a2=4，a4=2，求出a1，d，代入等差数列的前n项和公式即可．
本题考查等差数列的通项公式，前n项和公式，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】
解：
、
是两个单位向量，且夹角为
，则（
-2
）•（-2
+
）=
=-4+5×
=-
．
故选：
A．
利用平面向量的数量积的运算法则求解即可．
本题主要考查平面向量．向量的数量积的应用，是基本知识的考查．
7.【答案】C
【解析】
解：
假设第一次取出的不是一等品，则第二次是从7产品包含6件一等品中取一件，是一等品的概率为
．
故选：
C．
在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另一件是从7件产品中取一件一等品．
本题考查了条件概率与独立事件，属中档题．
8.【答案】B
【解析】
解：
对于A，若α∩β=l，m∥l，n∥l，显然条件成立，但α，β不平行，故A错误；
对于B，由m∥n，m⊥α可得n⊥α，又n⊥β，故α∥β，故B正确；
对于C，若m⊥n，m∥α，n∥β，则α，β可能平行，可能相交，故C错误；
对于D，m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β，故D错误．
故选：
B．
根据空间线面位置关系的定义，性质判断或举反例说明．
本题主要考查空间直线与平面位置关系，属于基础题．
9.【答案】D
【解析】
解：
从研发投入占营收比（图中的红色折线）07～09年有所下降，并非连续 12 年研发投入占营收比逐年增加，故D错．
故选：
D．
根据图形给出的信息，分析判断即可．
本题考查识图能力．属基础题．
10.【答案】B
【解析】
解：
∵函数f（x）的定义域为（-∞，-
）∪（-
，
）∪（
，+∞）
f（-x）=
=
=f（x），
∴f（x）为偶函数，
∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，
令f（x）=0，即
=0，解得x=0，
∴函数f（x）只有一个零点，故排除D，
当x=1时，f
（1）=
＜0，故排除C，
综上所述，只有B符合，
故选：
B．
先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化趋势即可求出．
本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性，以及函数值的变化趋势是关键，属于中档题
11.【答案】C
【解析】
解：
抛物线y2=8x的准线方程为x=-2，
∵|AF|=4，
∴A到准线的距离为6，即A点的横坐标为4，
∵点A在抛物线上，
∴A的坐标A（4，4
）
∵坐标原点关于准线的对称点的坐标为B（-4，0），
∴|PO|=|PB|，
∴|PA|+|PO|的最小值：
|AB|=
=4
．
故选：
C．
由已知条件，结合抛物线性质求出A点坐标，求出坐标原点关于准线的对称点的坐标点B，由|PO|=|PB，|知|PA|+|PO|的最小值为|AB|，由此能求出结果．
本题主要考查抛物线的相关知识．两条线段之和的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．
12.【答案】C
【解析】
解：
根据题意，画出分段函数f（x）图象如下：
由两个函数图象及题意，可知：
x1，x2不可能同时＞1．
因为当x1和x2都＞1时，f（x1）+f（x2）＞2，不满足题意，
∴x1，x2不可能同时＞1．
而x1≠x2，
∴x1＜1＜x2，
∴f（x1）+f（x2）=
，
∵f（x1）+f
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