完整版定积分的应用习题与答案.docx
《完整版定积分的应用习题与答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《完整版定积分的应用习题与答案.docx（15页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
完整版定积分的应用习题与答案
第六章定积分的应用
（A）
1、求由以下各曲线所围成的图形的面积
1）y
1x2与x2
y2
8
（两部分都要计算）
2
2）y
1
x及x2
与直线y
x
3）yex，yex与直线x1
4）2acos
5）xacos3t，yasin3t
１、求由摆线xatsint，ya1cost的一拱0t2与横轴所围成的图形的
面积
２、求对数螺线ae
及射线所围成的图形的面积
1/10
３、求由曲线ysinx和它在x处的切线以及直线x所围成的图形的面积和它绕
2
x轴旋转而成的旋转体的体积
４、由y
x3
，x
2，y
0所围成的图形，分别绕
x轴及y轴旋转，计算所得两旋转体
的体积
５、计算底面是半径为R的圆，而垂直于底面上一条固定直径的全部截面都是等边三角形的立体体积
６、计算曲线
y
3
3
x上对应于
1
x
3的一段弧的长度
７、计算星形线xacos3t，yasin3t的全长
８、由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力F（单位：
N）与伸长量S（单位：
cm）
2/10
成正比，即：
FkS（k是比率常数），假如把弹簧内原长拉伸6cm，计算所作的功
９、一物体按规律xct3作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由x0
移到xa时，战胜介质阻力所作的功
１０、设一锥形储水池，深15m，口径20m，盛满水，将水吸尽，问要作多少功？
１１、有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm和6cm，高为20cm，较长的底边与
水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力
１２、设有一长度为，线密度为u的平均的直棒，在与棒的一端垂直距离为a单位处
有一质量为m的质点M，试求这细棒对证点M的引力
（B）
1、设由抛物线y2
2pxp0与直线x
y
3
p所围成的平面图形为D
2
1）求D的面积S;2）将D绕y轴旋转一周所得旋转体的体积
3/10
2、求由抛物线y
x2及y2
x所围成图形的面积，并求该图形绕
x轴旋转所成旋转体的体
积
3、求由ysinx，ycosx，x0，x所围成的图形的面积，并求该图形绕x轴旋
2
转所成旋转体的体积
4、求抛物线y22px及其在点p,p处的法线所围成的图形的面积
2
5、求曲线y
x2
2x4在点M
0,4处的切线
MT与曲线y2
2x1所围成图形的面
积
6、求由抛物线y24ax与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值
7、求由以下曲线所围成图形的公共部分的面积
1）3cos，1cos
4/10
2）asin，acossin，a0
8、由曲线x2y5216所围成图形绕x轴旋转所成旋转体的体积
9、求圆心在0,b半径为a，ba0的圆，绕x轴旋转而成的环状体的体积
10、计算半立方抛物线y2
2
x13
被抛物线y2
x截得的一段弧的长度
3
3
5/10
（C）
1、用积分方法证明半径为R的球的高为H的球缺的的体积为
VH2RH
3
2、分别议论函数ysinx0x在取何值时，暗影部分的面积S1，S2的和
2
SS1S2取最大值和最小值
3、求曲线yx0x4上的一条切线，使此切线与直线x0，x4以及曲线
yx所围成的平面图形的面积最小
4、半径为r的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的密度与水同样，现将球从水中拿出，需作多少功？
第六章定积分应用
习题答案
（A）
1、1）2
4，6
4
2）3
ln2
3）e1
2
3
3
2
e
4）a2
5）
3a2
8
2、3a2
3、a2
e2
e2
4、
2
1，
2
5、
128
，64
4
4
7
5
6、
43R3
7、2
3
4
8、6a
9、
3
3
、
2
7
为比率常数）
、
、
10
27kc3a3（此中
k
57697.5kJ
12
14373kN
7
11
13、取y轴经过细直棒Fy
Gmu
1
1
Fx
Gmu
t2
a
a2
t2
a
a2
p
1、1）S
3p
（B）
3
y
2
16
2
py
dy
p
2
2p
3
或S
p
2px2pxdx
9p
2
2
0
p
2
3px2pxdx16p2
23
6/10
2）V
p
3
p
2
p
y
2
2
272
p3
ydy
dy
3p
2
3p
2p
15
1
2
1
1
2
2
2
3
2、A
xxdx
V
x
x
dx
0
3
0
10
3、A
4cosxsinxdx
2sinxcosxdx222
0
4
V4
2
2
2
2
cosx
sinxdx
2
sinx
cosxdx
0
4
4、抛物线在点
p,p
处的法线方程为：
xy
3p，以下解法同第一题
A
16p2
2
2
3
5、MT：
y
42x，切线MT与曲线y2
2x1的交点坐标为
3,1，3,2
2
1
A
2
4y
y2
9
2
2
1dy
4
6、提示：
设过焦点a,0的弦的倾角为
则弦所在直线的方程为ytanxa
由y
tan
xa
，y2
4ax得两交点纵坐标为
y1
2actg
csc
2actg
csc
y2
y2
y
2
A
a
yctg
dy
因此
y1
4a
4a2csc
4a2
ctg
2csc
4a2csc
3
3
4a2csc
3
3
3
4a2csc
8a2csc
3
3
由于
0
当
时
csc
3
获得最小值为1
2
所以
当
2
时
过焦点的弦与抛物线y2
4ax所围成的图形面积
A
8a2
csc
3最小
2
3
7/10
7、1）A
2
3
1
1
cos
2
2
1
2
d
5
d
3cos
0
2
32
4
2）A
21
asin
2
d
1
asin
cos
2
d
1
2
2
2
a
0
2
4
4
5
16x2
2
4
5
16x2
2
8、V
4
dx
4
dx
4
5
16
x2
2
5
16
x2
2
160
2
4
dx
9、解法同题8
10、提示：
y2
2
x
1
3
，y2
x
联立得交点
2,
6
，2,
6
3
3
3
3
所求弧长s
2
1
y'2
dx
2
1
由y2
2x
13
得y'
x12
3
y
x
12
2
x
14
3
于是
y
'2
2
x
1
y
x
1
3
2
3
3
1
2
8
5
3
2
2
于是得S
1
12
dx
1
2
x
1
2
9
2
（C）
1、证明：
此处球缺可看作由如图暗影（图
x2
y2
R2
的一部分）绕
y轴旋转而成
R
R
3
2
2
2
2
R
yR
因此V
dy
R
y
dy
y
x
R
RH
RH
RH
RH
3
R2RRH
R3
RH3
H2R
H
3
3
2、解：
S1
t
sinxdx
S2
2
sinx
sintdx
sint
1
t
8/10
St
t
sinxdx+2
sinx
sintdx
sint
1
t
=2cost
2t
sint
1
0t
2
2
S't2t
cost0，得驻点t1
t2
2
4
2
易知S''t10
S''t20
Smax
S
2
1，SminS
21
2
4
3、解：
设x0,y0为曲线yx0x4上任一点，易得曲线于该点处的切线方程为：
yy0
1
x
x0
即y
y0
x
x0
2
2
x0
2
得其与x
0，x
4的交点分别为
0,y0
，4,y0
2
2
2
y0
于是由此切线与直线
x
0，
x
4
以及曲线y
x所围的平面图形面积为：
4
y0
x
x
dx
2y0
4
16
S
2
3
0
2
x0
x0
2
x0
4
16
x0
3
问题即求S
2
x
4
16
0
x
4的最小值
x
3
1
3
令S
x2
2x2
0得独一驻点x
2
且为独一极小值
因此当x
2时，S最小
即所求切线即为：
y
x2
222
4、如图：
以水中的球心为原点，上提方向作为坐标轴成立坐标系
易知随意x,xdx段薄片在提高过程中在水中行程为r－x，而在水上的行程为2r－（r－x）
＝r＋x
由于求的密度与水同样，因此在水中提高过程中浮力与重力的协力为零，不做功，而在水面
9/10
上提高时，做功微元为
dW
gr2
x2rxdx
W
r
r
2
x2rxdx
4
r4g
dWg
r
r
r
3
10/10
升级会员 