离散数学期末考试试题有几套带答案.docx
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离散数学期末考试试题有几套带答案
离散数学试题（A卷及答案）
一、证明题（10分）
1）（-PA（-QAR））V（QAR）V（PAR）=R
证明：
左端^-PA-QARVgVPjARj-PA-Q）AR））V（（QVP）AR）
：
=（-（PVQ）AR）V（（QVP）ARi~（PVQ）V（QVP））AR
：
=（-CPVQ）V（PVQ））AZAR（W）：
=R
2）x（A（x）_；B（x））=-xA（x）xB（x）
证明：
x（A（x）>B（x）^x（F（x）VB（x））=xf（x）VxB（x）二—-xA（x）VxB（x建-xA（x）»xB（x）
、求命题公式（PV（QAR））_.（PAQAR）的主析取范式和主合取范式（10分）
证明：
（PV（QAR））r（PAQAR）h（PV（QAR））V（PAQAR））
（-PA（-QV-R））V（PAQAR）
：
=（-PAP）V（-PA-R））V（PAQAR）
U（-PAPAR）V（-PAPA-R）V（~PAQA-R））V（~PA—QA—R））V（PAQAR）
:
二mOVmVmVm7
二M3VM4VMVM6
三、推理证明题（10分）
1）CVD,（CVD）-E,-E>（AA-B）,（AA-B）=.（RV
S）=RVS
证明：
（1）（CVD）--E
（2）-E乂AA-B）
（3）（CVD）>（AA-B）
（4）（AA-B）>（RVS）
（5）（CVD）—.（RVS）
（6）CVD
（7）RVS
2）—x（P（x）—；Q（y）AR（x））,xP（x）=Q（y）Ax（P（x）A
R（x））
四、设m是一个取定的正整数，证明：
在任取m^1个整数中，至少有两个整数，它们的差是m的整数倍
证明设a1,a2，…，am1为任取的冊1个整数，用m去除它们所得余数只能是o,1，…，m-1,由抽屉原理可知，
a1，a2，…，am1这阿1个整数中至少存在两个数as和at，它们被m除所得余数相同，因此as和at的差是m的整
数倍。
五、已知AB、C是三个集合，证明A-（BUC）=（A-B）n（A-C）（15分）
证明■/x三A-（BUC）：
二x三AAx（BUC）=AA（x^BAx：
=（AAx^B）A（AAx'】C）：
=（A-B）
A（A-C）：
=x-（A-B）n（A-C）「.A-（BUC）=（A-B）n（A-C）
六、已知R、S是N上的关系，其定义如下：
R={|x,y:
二NAy=x2}，S={|x,y•二NAy=x+1}。
求R1、R*S、S*R、
R{1,2}、S[{1,2}]（10分）
解：
R-1={|x,y三NAy=x2}，R*S={|x,y三NAy=x2+1}，S*R={|x,y三NAy=（x+1）2}，
七、若f:
A-B和g:
BtC是双射，则（gf）'1=f1g'1（10分）
证明：
因为f、g是双射，所以gf:
A-C是双射，所以gf有逆函数（gf）-1:
—A。
同理可推f-1g-1:
CtA是双射。
因为€f-1g-1：
<：
存在z（€g-1€f-1）；二存在z（€f€g）=vy,x>€gf：
=€（gf）-1,所以（gf）-1=f-1g-1。
R{1,2}={v1,1>,<2,4>},S[{1,2}]={1,4}。
八、（15分）设是半群，对A中任意元a和b,如a^b必有a*b^b*a,证明：
（1）对A中每个元a,有a*a=a。
（2）对A中任意元a和b,有a*b*a=a。
（3）对A中任意元a、b和c,有a*b*c=a*c。
证明由题意可知，若a*b=b*a,则必有a=b。
（1）由（a*a）*a=a*（a*a），所以a*a=a。
（2）由a*（a*b*a）=（a*a）*（b*a）=a*b*（a*a）=（a*b*a）*a,所以有a*b*a=a。
（3）由（a*c）*（a*b*c）=（a*c*a）*（b*c）=a*（b*c）=（a*b）*c=（a*b）*（c*a*c）=（a*b*c）*（a*c），所以有a*b*c=a*c。
九、给定简单无向图G=,且|V|=m|E|=n。
试证：
若n》醉」+2,则G是哈密尔顿图
证明若n》讦」+2，则2n>卅―3m+6
（1）。
若存在两个不相邻结点u、v使得d（u）+d（v）（1）矛
wrV
盾。
所以，对于G中任意两个不相邻结点u、v都有d（u）+d（v）》m所以G是哈密尔顿图。
离散数学试题（B卷及答案）
一、证明题（10分）
1）（（PVQ）A-（-PA（-QV-R）））V（-PA-Q）V（~PA-R）二T
证明左端二（（PVQ）A（PV（QAR）））V-（（PVQ）A（PVR））（摩根律）=（（PVQ）A（PVQ）A（PVR））V=（PVQ）A（PV
R））（分配律）：
=（（PVQ）A（PVR））Vt（PVQ）A（PVR））（等幂律）：
=T（代入）
2）-x（P（x）_；Q（x））A-xP（x）：
=-x（P（x）AQ（x））
证明-x（P（x）>Q（x））A—xP（x）二-x（（P（x）>Q（x）AP（x））x（（~P（x）VQ（x）AP（x））二-x（P（x）AQ（x））：
二-xP（x）A
—xQ（x）hx（P（x）AQ（x））
二、求命题公式（-P》Q）r（PV-Q）的主析取范式和主合取范式（10分）
解：
（-P>Q）>（PVP）u—（-P》Q）V（PV-Q）=—（PVQ）V（PV-Q）=（-PAP）V（PV~Q）：
=（~PVPV~Q）A（PVPV
三、推理证明题（10分）
1）（P>（Q>S））A（-RVP）AQ：
R>S
证明：
（1）R附加前提
（2）-RVPP
（3）PT
（1）
（2）,I
（4）P—；（Q—；S）P
（5）Q—；ST（3）⑷,1
（6）QP
（7）ST（5）（6）,1
（8）R>SCP
2）-x（P（x）VQ（x）），-x-P（x）=xQ（x）
证明：
（1）—x-P（x）P
（2）-P（c）T
（1）,US
（3）-x（P（x）VQ（x））P
（4）P（c）VQ（c）T（3）,US
（5）Q（c）T（2X4）,1
（6）xQ（x）T（5）,EG
P）=（PVP）=M匕mOVm2Vm3
四、例5在边长为1的正方形内任意放置九个点，证明其中必存在三个点，使得由它们组成的三角形（可能是退化的）面积不超
过1/8（10分）。
证明：
把边长为1的正方形分成四个全等的小正方形，则至少有一个小正方形内有三个点，它们组成的三角形（可能是退化的）
面积不超过小正方形的一半，即1/8。
五、已知AB、C是三个集合，证明An（BUC）=（AnB）U（AnC）（10分）
证明：
tx三An（BUC）：
二x三AAx三（BUC）：
二x三AA（x三BVx三C）：
二（x三AAx三B）V（x三AAx三C）：
二x三（AnB）
VXEAQC=xe（AnB）U（AnC）二An（BUC）=（AnB）U（AnC）
六、7={A1，A,…，An}是集合A的一个划分，定义R={＜a，b＞|a、b€A，1=1，2，…，n}，则R是A上的等价关系（15分）。
证明：
-a€A必有i使得a€A，由定义知aRa,故R自反。
—a,b€A，若aRb，_则a,b€A，即b,a€A，所以bRa,故R对称。
-a,b,c€A，若aRb且bRc，则a,b€A及b,c€A。
因为i工j时AnA=.：
■■，故i=j，即a,b,c€A，所以aRc，故R传递。
总之R是A上的等价关系。
七、若f:
A-B是双射，则f-1:
B-A是双射（15分）。
证明：
对任意的x€A，因为f是从A到B的函数，故存在y€B,使＜x,y＞€f，＜y,x＞€f-1。
所以,f-1是满射。
对任意的x€A若存在y1,y2€B，使得＜y1,x＞€f-1且＜y2,x＞€f-1,则有＜x,y1＞€f且＜x,y2＞€f。
因为f是函数，_则y】=y2。
所以，f"是单射。
因此f"是双射。
八、设＜G*＞是群，＜A,*＞和＜B,*＞是＜G*＞的子群，证明：
若AUB=G,则A=G或B=G（10分）。
证明假设G且G则存在a・A,a—B,且存在b=B,b-A（否则对任意的a^A,a•二B从而AB即AUB=B,得B=G
矛盾。
）
对于元素a*b^G,若a*b^A,因A是子群，a-1.叭，从而a-1*（a*b）=b^A,所以矛盾，故a*b—A。
同理可证a*b—B,综合
有a*b-AUB=G
综上所述，假设不成立，得证A=G或B=G
九、若无向图G是不连通的，证明G的补图G是连通的（10分）。
证明设无向图G是不连通的，其k个连通分支为G1、G2、…、Gk。
任取结点u、v€G若u和v不在图G的同一个连通分支中，则［u,v］不是图G的边，因而［u,v］是图G的边；若u和v在图G的同一个连通分支中，不妨设其在连通分支G（1
wiwk）中，在不同于Gi的另一连通分支上取一结点w，^U［u,w］和［w,v］都不是图G的边，，因而［u,w］和［w,v］
都是G的边。
综上可知，不管那种情况，u和v都是可达的。
由u和v的任意性可知，G是连通的。
一、选择题.（每小题2分，总计30）
1.给定语句如下：
（1）15是素数（质数）
（2）10能被2整除，3是偶数。
（3）你下午有会吗？
若无会，请到我这儿来！
（4）2x+3＞0.
（5）只有4是偶数，3才能被2整除。
（6）明年5月1日是晴天。
以上6个语句中，是简单命题的为（A）,是复合命题的为（B）,是真命题的为（C）,是假命题的是（D）,真值待定的命题是（E）
A：
①⑴（3）⑷（6）②
（1）（4）（6）③
（1）（6）B:
①⑵⑷②⑵⑷（6）③⑵（5）
C:
①
（1）
（2）（5）（6）②无真命题3（5）D:
①
（1）
（2）②无假命题③
（1）
（2）⑷（5）
E:
①⑷（6）购（6）③无真值待定的命题
2.将下列语句符号化：
（1）4是偶数或是奇数。
（A）设p：
4是偶数，q：
4是奇数
（2）只有王荣努力学习，她才能取得好成绩。
（B）设p：
王荣努力学习，q：
王荣取得好成绩
（3）每列火车都比某些汽车快。
（C）设F（x）:
x是火车，G（y）:
y是汽车，H（x,y）:
x比y快。
ABC:
①自反的，对称的，
反对称的
4.设S=｛①，｛1｝，｛1，
（1）（A）S
（3）P（S）有（C）
A:
①｛1,2｝②1
C:
⑤3⑥6⑦7⑧8D:
二、证明（本大题共2小题，第1小题10分，第2小题10分，总计20分）
1、用等值演算算法证明等值式（pAq）V（pA「q）：
二p
2、构造下面命题推理的证明
如果今天是星期三，那么我有一次英语或数学测验；如果数学老师有事，那么没有数学测验；今天是星期三且数学老师有事,所以我有一次英语测验。
三、计算（本大题共4小题，第1小题5分，第2小题10分，第3小题15分，
总计30分）
1⑤对称的
2｝｝，则有
个元数。
B:
（2）
（4）
（B）匚S
（D）既是S的元素，又是S的子集
③｛｛1,2｝｝④｛1｝
⑨｛1｝⑩①
②反自反的，对称的③自反的
⑥自反的，对称的，反对称的，传递的
传递的
A:
①pVq②pAq③ptqB:
①ptq②qtp③pAq
C:
①-xy（（F（x）AG（y））
3.
TqB:
①pTq②q宀p
-（H（x,y））②-x（F（x）ty（G（y）AH（x,y）））③—x（F（x）Ay（G（y）AH（x,y）））
S上的5个关系,则它们只具有以下性质:
R1是（A）,R2是（B）,R3是（C）。
设S=｛1,2,3｝,下图给出了
1、设Px,y为x整除y,Qx为x:
2,个体域为1,2/，求公式:
_xyPx,y>Qx的真值。
2、设集合A」1,2,3,4「；A上的关系R-「1,1,1,2,2,1/2,3<3,41求出它的自反闭包，对称闭包和传递闭包。
3、设A-1,2,4,8,12,24,"'上的整除关系R=：
a1,a?
|a,a?
■A,a1整除a?
p，R是否为A上的偏序关系？
若是，则:
1、画出R的哈斯图；（10分）
2、求它的极小元，最大元，极大元，最大元。
（5分）
四、用推导法求公式q：
=•p的主析取范式和主合取范式。
（本大题10分）
答案：
一、选择题
1.
A:
③B:
③C:
③D:
①E:
②
2.A:
①B:
②C:
②
3.A:
③B:
④C:
⑥
4.A:
①B:
③C:
⑧D:
⑩
、
证明题
1.
证明左边:
二（（pAq）Vp）A（（pAq）V_q））
（分配律）
二pA
（（pAq）V-q））
（
吸收律）
二pA
（（pV-q）A（q
Vp）
（分配律）
二pA
（（pV-q）A1）
（排中律）
pA（pV-q）（同一律）
:
二p（吸收律）
2.解：
p:
今天是星期三。
q:
我有一次英语测验。
r:
我有一次数学测验。
s
:
数学老师有事。
前提:
p_；（qVr）,s_,：
-r,pAs
结论:
q
证明：
①pAs
前提引入
②p
①化简
③P—：
（qVr）
前提引入
④qVr
②③假言推理
⑤s
①化简
⑥s■—r
前提引入
⑦
⑤⑥假言推理
⑧q
④⑦析取三段论
推理正确。
三、计算
_xyPx,y；，—Qx
「=yP1,y71上P2,y>Q2
=P1,1》Q1上P2,1》Q2山ii：
P1,2》Q1上P2,2>Q2
P1,2i；=1,P2,1i=0,P2,2i；=1,Q1]=1,Q2]=0
.=1》1上0》0「iii1》1上1>0
=1
该公式的真值是1，真命题。
■xyPx,y》Qx=~xPx,1>QxPx,2>Qx
P1,1>Q1P1,2>Q1P2,1>Q2P2,2>Q2
或者
T>TT>TF>FT>F
uTTTFuTT=T
2、r（R）「1,1.,1,2,2,1,2,3,3,4,2,2,3,3,4,4*
s（R）—1,1,1,2,2,1,2,3,3,4,3,2,43?
3、
（1）R是A上的偏序关系
t（R）「1,1.,1,2,2,1,2,3,3,4,1,3,2,2,2,4,1,4
（2）极小元、最小元是1,极大元、最大元是24
四、
p》q》p=——pqp
二p—qp
二p
=pq—q
=p—qpq
i2,
.主合取范式|].0,
安徽大学2004-2005学年第二学期《离散数学》期末考试试卷（A卷）参考答案
一、单项选择
1在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？
（）
A.a*b=a-bb.a*b=max{a,b}
2下列代数系统＜S，*＞中，哪个是群？
（）
a.（1，1，2，2,3）
B.
（1，3,4,4,5）
8给定下列序列，可构成无向简单图的结点度数序列的是（）
a.{ab3.2|a,b•Z}，关于数的加法和乘法
6N是自然数集，空是小于等于关系，则（N,勻是（）。
A.有界格B.有补格C.分配格D.有补分配格
7图1-1给出的哈斯图表示的格中哪个元素无补元？
（）
a.ab.cc.ed.f图1-1
2若一个有向图G是欧拉图，它是否一定是强连通的？
若一个有向图3有向图G如图3-1所示。
（1）求G的邻接矩阵A；（2分）
（2）G中V1到V4长度为4的路径有几条？
（2分）
（3）G中V1到自身长度为3的回路有几条？
（2分）
（4）G是哪类连通图？
（2分）
四、证明题（30分）
1设：
:
:
G,*•是一群，xG。
定义：
ab=a*x
G是强连通的，它是否一定是欧拉图？
说明理由。
（6分）
图3-1
b,-a,b・G。
证明G/也是一群
、填空题（以下每个下划线为一空，请按要求填入合适的内容。
每空2分，共30分）
1设s是非空有限集，代数系统（p（s）,u,n）中，p（s）对u运算的单位元是，零元是，p（s）对a运算
的单位元是。
5任何一个具有2n个元素的有限布尔代数都是__。
6若连通平面图G有4个结点，3个面，则G有条边。
7一棵树有两个结点度数为2，一个结点度数为3,三个结点度数为4,它有个度数为1的结点
8无向图G是由k（k_2）棵数组成的森林，至少要添加条边才能使G成为一棵树。
三、求解题（20分）
1试写出：
:
：
N6,■6•中每个子群及其相应的左陪集。
（6分）
2证明：
（1）证明在格中成立：
（a*b）二（c*d）_（a二c）*（b二d）。
（5分）
（2）证明布尔恒等式：
（a*c）二（a*b）二（b*c）=（a*c）二（a*b）。
（5分）
解:
3证明：
（1）在6个结点12条边的连通平面简单图中，每个面由3条边围成。
（5分）
（2）证明当每个结点的度数大于等于3时，不存在有7条边的简单连通平面图。
安徽大学2004-2005学年第二学期《离散数学》期末考试试卷（A卷）参考答案
一、单项选择
1.B;2.D;3.A;4.C;5.A;6.C;7.B;8.D;9.B;10.C.
二、填空题
1：
：
」,S,S；2c,b,b,a；35,{3,7,11},{4,8,0}；4交换群；
5同构；65;79;8k-1。
三、求解题
1解：
子群有：
：
:
{0},6,讥0,3},6,：
：
{0,2,4},6。
:
:
:
{0},6的左陪集为：
{0},{1},{2},{3},{4},{5}
答：
（1）一个有向欧拉图一定是强连通图。
因为而G中任意两点u,v都在C中,相互可达,个结点的入度不一定等于其岀度。
G是欧拉图，存在欧拉回路
一个强连通图不一定是有向欧拉图。
因为强连通图中每
C,G中的每个结点至少在C中出现一次。
因
G是强连通的。
（2）
{1,3,5}
<{0,3},6的左陪集为：
{0,3},{1,4},{2,5}
<{0,2,4},飞的左陪集为：
{0,2,4},
1证明：
显然■是G上的二元运算（即满足封闭性），要证G是群，需证结合律成立，同时有单位元，每个元素有逆元。
一a,b,cG,有
（ab）c二（a*x*b）*x*c二a*x*（b*x*c）二a（bc）
运算是可结合的。
其次，x4是G/的单位元。
事实上，一a，G,有
■111•1
axa*x*xa；xa=x*x*a=a
最后证明，_a・G,x4*a^*x"是a在：
:
:
G/中的逆元。
事实上,
1111111
a（x*a*x）=a*x*x*a*xx
1111111
（x_*a_*x_）a=x_*a_*x_*x*a=x_
由以上证明，:
G/是群。
2证明：
（1）（a*b）二（c*d）乞（（a*b）二c）*（（a*b）二d）（公式（13）分配不等式）
又因为a*bma,a*b^b，所以（a*b）二（c*d）乞（a二c）*（b二d）。
（2）因为a二a,1*（b*c）=（b*c），所以有，
（a*c）二（a*b）二（b*c）=（a*c）二（a*b）二（（a二a）*（b*c））
=（a*c）二（a*b）二（（a*b*c）二（a*b*c））
=（（a*c）二（a*c*b））二（（a*b）二（a*b*c））（吸收律）
=（a*c）二（a*b）
即等式成立。
3证明：
（1）因图中结点数和边数分别为n=6，m=12，根据欧拉公式n-m*k=2，得k=8。
又
7deg（w）=2m=24，而简单连通平面图的每个面至少由3条边围成，所以在6个结点12条边的连通平面简单图中，每个
面由3条边围成。
（2）设（n,m）图为简单连通平面图，有k个面。
（反证法）
214
若m=7，由欧拉公式知n•k=m•2=9，而每个面至少由3条边围成，有3k_2m，则km，且k是整
33
214
数，所以k_4；又对任结点v•V，deg（v）_3，有3n_2m，故nm，且n是整数，所以n乞4。
这样就
33
有n，k_4，4=8，与n，k=9矛盾，所以结论正确。
安徽大学2007—2008学年第2学期
《离散数学（下）》考试试卷（A卷）
一、单项选择题（每小题2分，共20分）
1.下列集合关于
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