离散数学期末考试试题有几套带答案.docx

1、离散数学期末考试试题有几套带答案离散数学试题(A卷及答案)一、证明题(10分)1)( -PA ( -QA R) V (QA R) V (P A R)=R证明：左端-PA-QARVgVPjARj -PA-Q)AR) V(QVP)AR)：=(-(PVQ)AR)V(QVP)ARi (PVQ)V(QVP)AR：=(-CPVQ)V(PVQ)AZAR(W)：=R2) x(A(x) _；B(x) = -xA(x) xB(x)证明：x(A(x) B(x) x(F(x)VB(x)= xf(x)V xB(x)二-xA(x)V xB(x建-xA(x) xB(x)、求命题公式(P V (QA R)_.(P A QA

2、R)的主析取范式和主合取范式(10分)证明：(P V (Q A R) r (P A QA R)h (P V (QA R) V(P AQA R)(-PA (-QV-R) )V (P A QA R)：=(-PA P)V ( -PA -R) V (P A QA R)U( -PA PA R) V ( -PA PA -R) V ( PA QA -R) V ( PA QA R) V (P A QA R):二mOV mV mV m7二 M3V M4V MV M6三、推理证明题(10分)1) CV D, (C V D) -E, -E (A A -B), (A A-B)=.(R VS)= RV S证明：(1)

3、(C VD) -E(2)-E 乂A A -B)(3)(C V D) (A A -B)(4)(A A -B) (R V S)(5)(C V D).(R V S)(6)C V D(7)R V S2)x(P(x) ；Q(y) A R(x) , xP(x) =Q(y) A x(P(x) AR(x)四、 设m是一个取定的正整数，证明：在任取 m 1个整数中，至少有两个整数，它们的差是 m的整数倍证明 设a1 , a2，am1为任取的 冊1个整数，用m去除它们所得余数只能是 o, 1，m-1,由抽屉原理可知，a1，a2，am 1这阿1个整数中至少存在两个数 as和at，它们被m除所得余数相同，因此 as和

4、at的差是m的整数倍。五、 已知 A B、C是三个集合，证明 A-(B U C)=(A-B) n (A-C) (15分)证明 /x 三 A- (BU C)：二 x 三 AA x ( BU C) = AA( xBA x ：= (AAxB)A( AA x】C) ：= (A-B)A (A-C) ：= x - (A-B)n( A-C). A- (BU C) = (A-B)n( A-C)六、 已知 R、S 是 N 上的关系，其定义如下： R=| x,y :二NA y=x2，S=| x,y 二NA y=x+1。求 R1、R*S、S*R、R 1,2、S1,2 (10 分)解：R-1=| x,y 三NA y=

5、x2，R*S=| x,y 三NA y=x2+1，S*R=| x,y 三NA y= (x+1) 2，七、若 f:A -B 和 g:B tC是双射，则(gf) 1=f1g1 (10 分)证明：因为f、g是双射，所以gf : A- C是双射，所以gf有逆函数(gf ) -1 : A。同理可推f -1 g-1 : Ct A是双射。 因为 f-1g-1： ：存在 z ( g-1 f-1)；二存在 z ( f g) = vy,x gf：= (gf) -1, 所以(gf) -1=f-1g-1。R 1,2=v1,1, , S1,2=1,4。八、 (15分)设是半群，对A中任意元a和b,如ab必有a*b b*a

6、,证明：(1)对A中每个元a,有a*a= a。(2)对A中任意元a和b,有a* b*a= a。(3)对A中任意元a、b和c,有a*b*c = a*c。证明 由题意可知，若a*b= b*a,则必有a= b。(1)由(a* a)* a=a*( a* a)，所以 a*a=a。(2)由 a*( a*b*a) = (a*a)*( b*a) = a*b*( a*a) = (a*b*a)*a,所以有 a*b*a= a。(3)由(a* c)*( a* b* c) = (a*c*a)*( b*c) = a*( b*c) = (a*b)*c = (a*b)*( c*a*c) = ( a* b* c)*( a*c)

7、，所以有 a*b*c= a*c。九、 给定简单无向图 G= ,且| V| = m | E| = n。试证：若n醉+ 2,则G是哈密尔顿图证明 若n讦+ 2，则2n卅3m+ 6 (1 )。若存在两个不相邻结点 u、v使得d( u ) + d( v ) m则有2n= d(w) Q(x) A xP(x)二- x(P(x) Q(x) A P(x) x( P(x) V Q(x) A P(x)二- x(P(x) A Q(x)：二- xP(x) AxQ(x) h x(P(x) A Q(x)二、求命题公式(-PQ)r(P V -Q)的主析取范式和主合取范式(10分)解：(-P Q) (P VP)u(-PQ)V

8、 (P V-Q)=(P V Q)V (P V-Q)=(-PAP)V (P V Q) ：=(PV PVQ)A ( PV PV三、推理证明题(10分)1)(P (Q S) A ( -RV P) A Q ：R S证明：(1) R 附加前提(2)-RV P P(3)P T(1) (2),I(4)P ；(Q；S) P(5)Q；S T(3),1(6)Q P(7)S T(5)(6),1(8)R S CP2) -x(P(x) V Q(x)，-x-P(x)= x Q(x)证明：(1) x-P(x) P(2)-P(c) T(1),US(3)-x(P(x) V Q(x) P(4)P(c) V Q(c) T(3),U

9、S(5)Q(c) T(2X 4),1(6)x Q(x) T(5),EGP)=(P V P)=M匕 mOV m2V m3四、例5在边长为1的正方形内任意放置九个点，证明其中必存在三个点，使得由它们组成的三角形（可能是退化的）面积不超过 1/8 ( 10 分)。证明：把边长为1的正方形分成四个全等的小正方形，则至少有一个小正方形内有三个点，它们组成的三角形(可能是退化的)面积不超过小正方形的一半，即 1/8。五、 已知 A B、C是三个集合，证明 An (B U C)=(A n B) U (A n C) ( 10分)证明：t x 三 A n( BU C)：二 x 三 A A x 三(BU C)：二

10、 x 三 A A( x 三B V x 三C)：二(x 三 A A x 三B)V( x 三 A A x 三C)：二 x 三(An B)V XE A QC= x e (An B)U( An C)二 An( BUC) = (An B)U( An C)六、 7=A1，A,，An是集合A的一个划分，定义 R=a，b|a、b A，1=1，2，n，则R是A上的等价关系(15分)。 证明：-a A必有i使得a A，由定义知aRa,故R自反。a,b A，若 aRb，_则 a,b A，即 b,a A，所以 bRa,故 R对称。-a,b,c A，若 aRb 且 bRc，则 a,b A及 b,c A。因为 i 工j

11、时 A n A=.：，故 i=j，即 a,b,c A，所以 aRc，故 R传递。总之R是A上的等价关系。七、 若f:A -B是双射，则f-1:B -A是双射(15分)。证明：对任意的x A，因为f是从A到B的函数，故存在y B,使x,y f，y,x f-1。所以,f -1是满射。对任意的x A若存在y1,y2 B，使得y1,x f-1且y2,x f-1,则有x,y1 f且x,y 2 f。因为f是函数，_则y】=y2。所 以，f 是单射。 因此f 是双射。八、 设G *是群，A, *和B, *是G *的子群，证明：若 AU B= G,则A= G或B= G( 10分)。证明 假设G且G 则存在aA

12、, aB,且存在 b=B, b-A (否则对任意的 aA, a二B从而 A B 即 AU B=B,得B= G矛盾。)对于元素a*bG,若a*bA,因A是子群，a-1.叭，从而a-1 * ( a*b) = b A,所以矛盾，故a*bA。同理可证a*bB,综合有 a*b -AU B= G综上所述，假设不成立，得证 A= G或B= G九、 若无向图 G是不连通的，证明 G的补图G是连通的(10分)。证明 设无向图G是不连通的，其k个连通分支为G1、G2、Gk。任取结点u、v G若u和v不在图G的同一个连通分 支中，则u , v不是图G的边，因而u , v是图G的边；若u和v在图G的同一个连通分支中，

13、不妨设其在连通分支 G (1w i w k )中，在不同于 Gi的另一连通分支上取一结点 w，U u , w 和w , v都不是图G的边，因而u , w 和w , v 都是G的边。综上可知，不管那种情况， u和v都是可达的。由u和v的任意性可知，G是连通的。一、 选择题.(每小题2分，总计30)1.给定语句如下：(1)15是素数(质数)(2)10能被2整除，3是偶数。(3)你下午有会吗？若无会，请到我这儿来！(4)2x+30.(5)只有4是偶数，3才能被2整除。(6)明年5月1日是晴天。以上6个语句中，是简单命题的为(A),是复合命题的为(B),是真命题的为(C),是假命题的是(D),真值待定

14、的命题是(E)A：(3)(6) (1)(4)(6) (1) ( 6) B: (6) (5)C:(1)(2)(5)(6) 无真命题 3( 5) D: (1)(2) 无假命题 (1)(2)(5)E:(6) 购(6) 无真值待定的命题2.将下列语句符号化：(1) 4是偶数或是奇数。(A)设p： 4是偶数，q： 4是奇数(2) 只有王荣努力学习，她才能取得好成绩。 (B)设p：王荣努力学习，q：王荣取得好成绩(3) 每列火车都比某些汽车快。 (C)设F(x):x 是火车，G(y):y是汽车，H(x,y):x 比y快。A B C:自反的，对称的，反对称的4.设S=，1，1，(1) (A) S(3) P(

15、S)有(C)A:1,2 1C:3 678 D:二、 证明(本大题共 2小题，第1小题10分，第2小题10分，总计20分)1、 用等值演算算法证明等值式 (p A q) V (p Aq)：二p2、 构造下面命题推理的证明如果今天是星期三，那么我有一次英语或数学测验；如果数学老师有事，那么没有数学测验；今天是星期三且数学老师有事, 所以我有一次英语测验。三、 计算(本大题共 4小题，第1小题5分，第2小题10分，第3小题15分，总计30分)1对称的2，则有个元数。B:(2)(4)(B)匚 S(D)既是S的元素，又是S的子集1,211 反自反的，对称的自反的自反的，对称的，反对称的，传递的传递的A:

16、 p V q p A q p tq B: p t q q t p p A qC:-x y (F(x) A G(y)3.Tq B: p T q q宀p-(H(x,y)-x (F(x) t y(G(y) A H(x,y)x (F(x) A y(G(y) A H(x,y)S上的5个关系,则它们只具有以下性质:R1是(A) ,R2是(B),R 3是(C)。设S=1,2,3,下图给出了1、设P x, y为x整除y, Qx为x : 2,个体域为1,2/，求公式:_x y P x,y Q x 的真值。2、 设集合A1,2,3,4；A上的关系 R -1,1 , 1,2 , 2,1 / 2,3 Q 2=P 1,

17、1 Q 1 上 P 2,1 Q 2 山 ii：P 1,2 Q 1 上 P 2,2 Q 2P 1,2 i；=1,P 2,1i=0,P 2,2 i； = 1,Q 1=1,Q 2 =0.=11上00i ii11上1 0=1该公式的真值是1，真命题。x y P x, y Q x = x P x,1 Q x P x,2 Q xP 1,1 Q 1 P1,2 Q1 P 2,1 Q 2 P 2,2 Q 2或者T T T T F F T Fu T T T F u T T = T2、r(R)1,1., 1,2, 2,1 , 2,3, 3,4 ,2,2 , 3,3 , 4,4*s(R) 1,1 ,1,2, 2,1,

18、 2,3, 3,4, 3,2, 43?3、（ 1） R是A上的偏序关系t(R)1,1., 1,2 , 2,1, 2,3, 3,4, 1,3 , 2,2 , 2,4 , 1,4?（2）极小元、最小元是1,极大元、 最大元是24四、pqp = p q p二 p q p二 p=p q q=p q p qi2,.主合取范式| . 0 ,安徽大学2004-2005学年第二学期离散数学期末考试试卷（ A卷）参考答案一、单项选择1在自然数集 N上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A.a*b=a-b b. a*b=maxa,b2下列代数系统S，*中，哪个是群？（ ）a.（1，1，2，2, 3）B.(1，3, 4

19、, 4, 5)8给定下列序列，可构成无向简单图的结点度数序列的是（ ）a. a b3.2 |a, b Z，关于数的加法和乘法6 N是自然数集，空是小于等于关系，则（N,勻是（ ）。A.有界格B.有补格C.分配格 D. 有补分配格7图1-1给出的哈斯图表示的格中哪个元素无补元？（ ）a. a b. c c. e d. f 图 1-12若一个有向图 G是欧拉图，它是否一定是强连通的？若一个有向图 3有向图G如图3-1所示。（1） 求G的邻接矩阵A ； （2分）（2） G中V1到V4长度为4的路径有几条？ （2分）（3） G中V1到自身长度为3的回路有几条？ （2分）（4） G是哪类连通图？ （2分

20、）四、证明题（30分）1 设：:G,* 是一群，x G。定义：a b = a* xG是强连通的，它是否一定是欧拉图？说明理由。 （6分）图3-1b , - a,bG。证明 G/也是一群、填空题（以下每个下划线为一空，请按要求填入合适的内容。每空 2分，共30分）1设s是非空有限集，代数系统（p（s）,u,n）中，p（s）对u运算的单位元是 ，零元是 ， p（s）对a运算的单位元是 。5任何一个具有2n个元素的有限布尔代数都是 _ _。6若连通平面图G有4个结点，3个面，则G有 条边。7 一棵树有两个结点度数为 2，一个结点度数为3,三个结点度数为 4,它有 个度数为1的结点8无向图G是由k（

21、k _2）棵数组成的森林，至少要添加 条边才能使 G成为一棵树。三、求解题（20分）1试写出：:：N6, 6 中每个子群及其相应的左陪集。 （6 分）2 证明：（1）证明在格中成立：（a * b）二（c* d） _ （a 二 c） * （b 二 d）。 （5分）（2）证明布尔恒等式：（a * c）二（a * b）二（b* c） = （a * c）二（a * b）。 （5分）解:3证明：（1）在6个结点12条边的连通平面简单图中，每个面由 3条边围成。 （5分）（2）证明当每个结点的度数大于等于 3时，不存在有7条边的简单连通平面图。安徽大学2004-2005学年第二学期离散数学期末考试试卷（

22、A卷）参考答案一、 单项选择1.B; 2.D; 3.A; 4.C; 5.A; 6.C; 7.B; 8.D; 9.B; 10.C.二、 填空题1 ：,S , S ； 2 c, b , b , a ； 3 5 , 3,7,11 , 4,8,0 ； 4 交换群；5 同构； 6 5 ; 7 9 ; 8 k -1。三、 求解题1 解：子群有：:0, 6 ,讥0,3, 6 , ： 0,2,4, 6 。:0, 6 的左陪集为：0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5答：（1） 一个有向欧拉图一定是强连通图。因为 而G中任意两点u , v都在C中,相互可达, 个结点的入度不一定等于其岀度。G是欧拉图，存在欧

23、拉回路一个强连通图不一定是有向欧拉图。因为强连通图中每C , G中的每个结点至少在 C中出现一次。因G是强连通的。(2)1,3,50,3, 6 的左陪集为：0,3 , 1,4 , 2,50,2,4,飞 的左陪集为：0,2,4,1证明：显然是G上的二元运算（即满足封闭性），要证G是群，需证结合律成立，同时有单位元，每个元素有逆元。 一a, b, c G ,有(a b) c 二(a*x*b)*x*c 二 a*x*(b*x*c)二 a (b c)运算是可结合的。其次，x4是 G/ 的单位元。事实上，一a，G ,有 1 1 1 1a x a * x* x a ； x a=x *x*a=a最后证明，_a

24、G , x 4 * a * x 是a在：:G/ 中的逆元。事实上,111 1111a (x * a * x )=a*x*x * a * x x111 111 1(x_*a_*x_) a=x_*a_*x_*x*a=x_由以上证明，:G/ 是群。2 证明：(1)(a * b)二(c* d)乞(a * b)二 c) * (a * b)二 d)(公式(13)分配不等式)又因为 a*bma, a*bb，所以(a* b)二(c* d)乞(a 二 c)* (b 二 d)。(2)因为 a 二 a , 1* (b* c) =(b* c)，所以有，(a* c)二(a * b)二(b* c) =(a* c)二(a

25、* b)二(a 二 a )* (b* c)=(a * c)二(a * b)二(a * b * c)二(a * b * c)=(a * c)二(a * c * b)二(a * b)二(a * b * c)(吸收律)=(a * c)二(a * b)即等式成立。3证明：(1)因图中结点数和边数分别为n=6， m=12，根据欧拉公式n - m*k=2，得k=8。又7 deg(w ) =2m =24，而简单连通平面图的每个面至少由 3条边围成，所以在6个结点12条边的连通平面简单图中，每个面由3条边围成。(2)设(n,m)图为简单连通平面图，有 k个面。(反证法)214若m = 7，由欧拉公式知n k = m 2 = 9，而每个面至少由3条边围成，有3k _ 2m，则k m ，且k是整33214数，所以k _ 4 ；又对任结点v V，deg(v) _3，有3n_2m，故n m ，且n是整数，所以n乞4。这样就33有n，k_4，4=8，与n，k=9矛盾，所以结论正确。安徽大学2007 2008学年第2学期离散数学(下)考试试卷(A卷)一、单项选择题(每小题 2分，共20分)1.下列集合关于