三角形的证明.docx

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三角形的证明

三角形的证明

基本方法：

1、逆推综合法：

从结论着眼，思考要使结论成立，需要具备什么条件，这样逆推直到需要的条件已经具备，当然这种逆推的过程中，要不断地向已知条件靠拢，这就是“执果索因”2、分析法：

有时，这种逆推会遇到障碍，这时也可用另一种方法思考，即从已知条件入手，思考从已知条件可以顺推出什么结论来，这样顺推直至结论成立，这就是“由因导果”

3、综合分析法：

顺推与逆推相结合，从问题的两头向中间靠拢，从而发现问题的突破口，这也叫“两头凑”。

基本思路

1、当条件都满足时，结合已知条件，顺推论证

2、当问题的条件不够时：

添加辅助线构成新图形➨形成新关系➨使分散的条件集中➨建立已知与未知的桥梁➨把问题转化为自己能解决的问题。

这是证明题目常用的基本思路。

一、边边关系：

通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等

1、不等关系：

基本定理：

三角形的两边之和大于第三边；两边之差小于第三边；在同一个三角形中大角对大边

基本思路：

通过构造全等、平移或者截取的方法，把三边集中到一个三角形中，利用以上基本定理来证明。

例1：

已知：

如图，P是△ABC内任一点，求证：

AB+AC＞BP+PC。

如图，延长BP交AC于点D

在△BAD中AB+AD>BD ，

即：

AB+AD>BP+PD①

在△PDC中， PD+DC>PC②

①＋②得AB+AD+PD+DC>BP+PD+PC ，

即AB+AC>BP+PC

例2如图AD为△ABC的中线，求证：

AB＋AC＞2AD。

分析：

要证AB＋AC＞2AD，由图想到：

AB＋BD＞AD,AC＋CD＞AD，所以有AB＋AC＋BD＋CD＞AD＋AD＝2AD，左边比要证结论多BD＋CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。

证明：

延长AD至E，使DE=AD，连接BE，则AE＝2AD

∵AD为△ABC的中线（已知）

∴BD＝CD（中线定义）

在△ACD和△EBD中

∴△ACD≌△EBD（SAS）

∴BE＝CA（全等三角形对应边相等）

∵在△ABE中有：

AB＋BE＞AE（三角形两边之和大于第三边）

∴AB＋AC＞2AD。

（常延长中线加倍，构造全等三角形）

例3：

如图AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：

BE＋CF＞EF

证法1：

延长ED至M，使DM=DE，连接

CM，MF。

在△BDE和△CDM中，

∵

∴△BDE≌△CDM（SAS）

∴BE=CM

又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知）

∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°（平角的定义）

∴∠3＋∠2=90°，即：

∠EDF＝90°

∴∠FDM＝∠EDF＝90°

在△EDF和△MDF中

∵

∴△EDF≌△MDF（SAS）

∴EF＝MF（全等三角形对应边相等）

∵在△CMF中，CF＋CM＞MF（三角形两边之和大于第三边）

∴BE＋CF＞EF

注：

上题也可加倍FD，证法同上。

注意：

当涉与到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。

证法2：

分析：

要证BE+CF>EF，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知∠1=∠2，

∠3=∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN，FN，EF移到同个三角形中。

证明：

在DA上截取DN=DB，连接NE，NF，则DN=DC，

在△DBE和△NDE中：

DN=DB（辅助线作法）

∠1=∠2（已知）

ED=ED（公共边）

∴△DBE≌△NDE（SAS）

∴BE=NE（全等三角形对应边相等）

同理可得：

CF=NF

在△EFN中EN+FN>EF（三角形两边之和大于第三边）

∴BE+CF>EF。

注意：

当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的对应性质得到相等元素:

例4：

已知如图：

在△ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P为AD上任一点

求证：

AB-AC>PB-PC

分析：

要证：

AB-AC>PB-PC，想到利用三角形三边关系，定理证之，因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN，再连接PN，则PC=PN，又在△PNB中，PB-PN

即：

AB-AC>PB-PC。

证明：

（截长法）

在AB上截取AN=AC连接PN,在△APN和△APC中

AN=AC（辅助线作法）

∠1=∠2（已知）

AP=AP（公共边）

∴△APN≌△APC（SAS）,∴PC=PN（全等三角形对应边相等）

∵在△BPN中，有PB-PN

∴BP-PC

证明：

（补短法）

延长AC至M，使AM=AB，连接PM，

在△ABP和△AMP中

AB=AM（辅助线作法）

∠1=∠2（已知）

AP=AP（公共边）

∴△ABP≌△AMP（SAS）

∴PB=PM（全等三角形对应边相等）

又∵在△PCM中有：

CM>PM-PC（三角形两边之差小于第三边）

∴AB-AC>PB-PC。

2、相等关系：

A加倍延长中线

例1：

如图，已知在△ABC中，C90，B30，AD平分BAC，交BC于点D.求证：

BD2CD

证明：

延长DC到E，使得CE=CD,联结AE

∵∠C=90°

∴AC⊥CD

∵CD=CE

∴AD=AE

∵∠B=30°∠C=90°

∴∠BAC=60°

∵AD平分∠BAC

∴∠BAD=30°

∴DB=DA∠ADE=60°

∵∠ADE=60°AD=AE

∴△ADE为等边三角形

∴AD=DE

∵DB=DA

∴BD=DE

∴BD=2DC

（2）如图，D是ABC的边BC上的点，且CDAB，ADBBAD，AE是ABD的中线。

求证：

AC2AE。

证明：

延长AE到点F,使得EF=AE联结DF

在△ABE和△FDE中

BE=DE

∠AEB=∠FED

AE=FE

∴△ABE≌△FDE（SAS）

∴AB=FD∠ABE=∠FDE

∵AB=DC

∴FD=DC

∵∠ADC=∠ABD+∠BAD

∵ADBBAD

∴∠ADC=∠ABD+∠BDA

∵∠ABE=∠FDE

∴∠ADC=∠ADB+∠FDE

即∠ADC=∠ADF

在△ADF和△ADC中

AD=AD

∠ADF=∠ADC

DF=DC

∴△ADF≌ADC（SAS）

∴AF=AC

∴AC=2AE

小结:

熟悉法一、法三“倍长中线”的辅助线包含的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本操作方法，

倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段有很好的效果。

练习：

如图所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AC=BF。

求证：

AE=EF。

证明：

延长AD至点G，使得DG=AD，联结BD

在△ADC和△GDB中

AD=GD

∠ADC=∠GDB

BD=DC

∴△ADC≌△GDB（SAS）

得AC=BG∠CAD=∠BGD

∵AC=BF

∴BG=BF

∴∠BFG=∠BGF

∵∠CAD=∠BGD

∴∠BFG=∠CAD

∵∠BFG=∠AFE

∴∠AFE=∠FAE

∴AE=AF

B、借助角平分线造全等

如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：

OE=OD

证明：

在AC上截取AF=AE

在△ABC中，∠B+∠BAD+∠ACB=180°

∵∠B=60°

∴∠BAD+∠ACB=120°

∵AD平分∠BAC

中

∴∠BAC=2∠OAC

∵CE平分∠ACB

∴∠ACB=2∠ACO

∴2∠OAC+2∠ACO=120°

（ASA）

∴∠OAC+∠ACO=60°

∵∠AOE=∠OAC+∠ACO

∴∠AOE=60°在△AOE和△AOF中

AE=AF

∠EAO=∠FAO

AO=AO

∴△AOE≌△AOF（ASA）

∴∠AOE=∠AOEOE=OF

∵∠AOE=60°

∠AOE+∠AOE+∠FOC=180°

∠FOC=6O°

∵∠AOE=∠COD

∴∠COD=60°

在△COD和△COF

∠DCO=∠FCO

CO=CO

∠DOC=∠FOC

∴△COD≌△COF

∴OD=OF

∵OE=OF

∴OE=OD

如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：

BD=2CE

证明：

延长BA，CE交于点F，在ΔBEF和ΔBEC中，

∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，

∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，从而CF=2CE。

又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。

在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，

∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。

【小结】解题后的思考：

关于角平行线的问题，常用两种辅助线；

②见中点即联想到中位线。

C旋转

例1：

如图，已知∠ABC=∠DBE=90°，DB=BE，AB=BC．

（1）求证：

AD=CE，AD⊥CE

（2）若△DBE绕点B旋转到△ABC外部，其他条件不变，则

（1）中结论是否仍成立?

请证明

（1）证明：

如图1

∵∠ABC=∠DBE=90°，

∴∠ABC-∠CBD=∠DBE-∠DBC，

即∠ABD=∠CBE．

在△ABD和△CBE中

AB＝BC

∠ABD＝∠CBE

BD＝BE

∴△ABD≌△CBE（SAS），

∵AD=CE，∠BAD=∠BCE．

∵∠AGB与∠CGF是对顶角，

∴∠AGB=∠CGF．

∵∠BAD+∠AGB=90°，

∴∠GCF+∠CGF=90°，

∴∠CFG=90°，

∴AD⊥CE；

（2）AD=CE，AD⊥CE，理由如下

如图2：

∵∠ABC=∠DBE=90°，

∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠DBC，

即∠ABD=∠CBE．

在△ABD和△CBE中

AB＝BC

∠ABD＝∠CBE

BD＝BE

∴△ABD≌△CBE（SAS），

∵AD=CE，∠BAD=∠BCE．

∵∠AGB与∠CGF是对顶角，

∴∠AGB=∠CGF．

∵∠BAD+∠AGB=90°，

∴∠GCF+∠CGF=90°，

∴∠CFG=90°，

∴AD⊥CE．

例2.如图在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O为BC中点.

（1）写出O点到△ABC三个顶点A、B、C的距离关系（不要求证明）

（2）如果M、N分别在线段AB、AC上移动,在移动过程中保持AN=BM,请判断△OMN的形状,并证明你的结论

（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，O为BC的中点，

∴OA= 1/2BC=OB=OC

所以OA=OB=OC

（2）△OMN是等腰直角三角形．理由如下：

连接AO

∵AC=AB，OC=OB

∴OA=OB，∠NAO=∠B=45°，

在△AON与△BOM中

AN=BM

∠NAO=∠B

OA=OB

∴△AON≌△BOM（SAS）

∴ON=OM，∠NOA=∠MOB

∴∠NOA+∠AOM=∠MOB+∠AOM

∴∠NOM=∠AOB=90°，

∴△OMN是等腰直角三角形

D、截长补短

例1如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AC+BD

分析：

此题中就涉与到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。

但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。

如图

（1）在AB上截取AF=AC，连结EF

在△ACE和△AFE中

∴△ACE≌△AFE（SAS）

∴

∵AC∥BD

∴

∵

∴∠6=∠D

在△EFB和△BDE中

∴△EFB≌△EDB（AAS） 

∴FB=DB

∴AC+BD=AF+FB=AB；

法二：

如图

（2），延长BE，与AC的延长线相交于点F

∵AC∥BD

∴

∵

∴∠F=∠3

在△AEF和△AEB中

∴△AEF≌△AEB（AAS）

∴AB=AF，BE=FE

在△BED和△FEC中

∴△BED≌△FEC（ASA） 

∴BD=FC∴AB=AF=AC+CF=AC+BD。

例2如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：

AC=AE+CD

证明：

在AC上取AF=AE，连接OF

∵AD平分∠BAC、

∴∠EAO=∠FAO，

在△AEO与△AFO中，

AE＝AF

∠EAO＝∠FAO

AO＝AO

∴△AEO≌△AFO（SAS），

∴∠AOE=∠AOF；

∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，

∴∠ECA+∠DAC=0.5∠ACB+0.5∠BAC=0.5（∠ACB+∠BAC）=0.5（180°-∠B）=60°

则∠AOC=180°-∠ECA-∠DAC=120°；

∴∠AOC=∠DOE=120°，∠AOE=∠COD=∠AOF=60°，

则∠COF=60°，

∴∠COD=∠COF，

∴在△FOC与△DOC中，

∠COD＝∠COF

CO＝CO

∠FCO＝∠DCO

∴△FOC≌△DOC（ASA），

∴DC=FC，

∵AC=AF+FC，

∴AC=AE+CD．

D、过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”

如图，ABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连EF交BC于D，若EB=CF。

求证：

DE=DF。

证明：

过E作EG//AC交BC于G，

则∠EGB=∠ACB，

又AB=AC，∴∠B=∠ACB，

∴∠B=∠EGB，∴∠EGD=∠DCF，G∴EB=EG=CF，

∵∠EDB=∠CDF，∴DGE≌DCF，

∴DE=DF。

例2已知：

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E.求证：

（1）△BFC≌△DFC；

（2）AD=DE.

联结BD

证明：

∵CF平分∠BCD∴∠ADB=∠CDB

∴∠BCF=∠DCF∵DF∥AB

在△BCF和△DCF中∴∠ABD=∠BDF

BC=CDBF=DF

∠BCF=∠DCF∴∠FDB=∠FBD

CF=CF∴∠ABD=∠FBD

∴△BCF≌△DCF（SAS）在△ABD和△EBD中

∴BF=DF∠ABD=∠EBD

（2）∵AD∥BCBD=BD

∴∠ADB=∠CBD∠ADB=∠EDB

∵BC=DC∴△ABD≌△EBD（ASA）

∠CBD=∠CDB∴AD=DE