北师大版八年级数学上勾股定理.docx

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北师大版八年级数学上勾股定理

初中数学试卷

勾股定理

一探索勾股定理

（一）勾股定理

知识链接

（1）勾股定理：

在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．

如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．

（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．

（3）勾股定理公式a2+b2=c2的变形有：

a2=c2-b2，b2=c2-a2及c2=a2+b2．

（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．

同步练习

1．如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是（　　）

A．3B．4C．5D．6

2．（2014•乐山）如图，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D．则BD的长为（　　）

A．

B．

C．

D．

3．（2013•黔西南州）一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（　　）

A．5B．

C．

D．5或

4．（2013•六合区一模）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，则b的面积为（　　）

A．3B．4C．5D．7

5．（2014•增城市一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=20，BC=15，

（1）求AB的长；

（2）求CD的长．

6．（2014•金华模拟）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”．已知Rt△ABC中，∠B=90°，较短的一条直角边边长为1，如果Rt△ABC是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”长等于．

7．（2014•本溪一模）如图，在△ABC，∠C=90°，∠B=15°，AB的中垂线DE交BC于D，E为垂足，若BD=10cm，则AC等于（　　）

A．10cmB．8cmC．5cmD．2.5cm

8．（2014•徐汇区二模）如图，△ABC中，AC、BC上的中线交于点O，且BE⊥AD．若BD=5，BO=4，则AO的长为．

9．（2014•香坊区三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC．若CD=3，BC+AB=16，则△ABC的面积为（　　）

A．16B．18C．24D．32

10．（2014•南充）如图，有一矩形纸片ABCD，AB=8，AD=17，将此矩形纸片折叠，使顶点A落在BC边的A′处，折痕所在直线同时经过边AB、AD（包括端点），设BA′=x，则x的取值范围是．

11．（2014•房山区一模）阅读下列材料：

小明遇到这样一个问题：

已知：

在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为

、

、

，求△ABC的面积．

小明是这样解决问题的：

如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出△ABC的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．

请回答：

（1）图1中△ABC的面积为______；

参考小明解决问题的方法，完成下列问题：

（2）图2是一个6×6的正方形网格（每个小正方形的边长为1）．

①利用构图法在答题卡的图2中画出三边长分别为

、

、

的格点△DEF；

②计算△DEF的面积为______．

（3）如图3，已知△PQR，以PQ，PR为边向外作正方形PQAF，PRDE，连接EF．若PQ=2

，PR=

，QR=

，则六边形AQRDEF的面积为______．

（二）勾股定理证明

知识链接

（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．

（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．

同步练习

1．用四个边长均为a、b、c的直角三角板，拼成如图中所示的图形，则下列结论中正确的是（　　）

A．c2=a2+b2B．c2=a2+2ab+b2C．c2=a2-2ab+b2D．c2=（a+b）2．

2．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（　　）

A．

B．

C．

D．

3．（2014•满洲里市模拟）我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a和b，那么（a+b）2的值为（　　）

A．49B．25C．13D．1

4．（2012•宁波）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（　　）

A．90B．100C．110D．121

5、（2011•温州）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是______．

6．由8个相同的直角三角形（图中带阴影的三角形）与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果最大的正方形的面积是25，最小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么222a3-333b3=______．

7．利用图

（1）或图

（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为______，该定理的结论其数学表达式是______．

8．如图，网格中的图案是美国总统Garfield于1876年给出的一种验证某个著名结论的方法：

（1）请你画出直角梯形EDBC绕EC中点O顺时针方向旋转180°的图案，你会得到一个美丽的图案．（阴影部分不要涂错）．

（2）若网格中每个小正方形边长为单位1，旋转后A、B、D的对应点为A′、B′、D′，求四边形ACA′E的面积？

（3）根据旋转前后形成的这个美丽图案，你能说出这个著名的结论吗？

若能，请你写出这个结论．

9．

（1）如图1是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式；

（2）如图2，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B=∠D=90°，且B，C，D三点共线．

试证明∠ACE=90°；

（3）请利用

（1）中的公式和图2证明勾股定理．

10．.如图，已知正方形ABCD和CEFG，连接DE，以DE为边作正方形EDHI，试用该图形证明勾股定理：

CD2+CE2=DE2．

（三）等腰直角三角形

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（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．

（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：

两个锐角都是45°，两腰相等，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一；

（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r=1，则外接圆的半径R=

+1，所以r：

R=1：

+1．

同步练习

1．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，BD是角平分线，DE⊥BC，垂足为点E．若CD=

，则AD的长是（　　）

A．

B．

C．

D．5

2．在△ABC中，BC：

AC：

AB=1：

1：

，则△ABC是（　　）

A．等腰三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形

3．如图，等腰直角三角形ABC中，AC=BC＞3，点M在AC上，点N在CB的延长线上，MN交AB于点O，且AM=BN=3，则S△AMO与S△BNO的差是（　　）

A．9B．4.5C．0D．因为AC、BC的长度未知，所以无法确定

4．（2011•万州区模拟）如图，△ACD和△AEB都是等腰直角三角形，∠EAB=∠CAD=90°，下列五个结论：

①EC=BD；②EC⊥BD；③S四边形EBCD=

EC•BD；④S△ADE=S△ABC；⑤△EBF∽△DCF；其中正确的有（　　）

A．①②④⑤B．①②③④C．①②③⑤D．①②③④⑤

5．如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，则第2015个等腰直角三角形的斜边长是______．

6．如图，在等腰直角△ACB中，∠ACB=90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P．有下列结论：

①∠DEO=45°；②△AOD≌△COE；③S四边形CDOE=

S△ABC；④OD2=OP•OC．

其中正确的结论序号为______．（把你认为正确的都写上）

7．如图，a∥b，点A在直线a上，点C在直线b上，∠BAC=90°，AB=AC，若∠1=20°，则∠2的度数为______．

8．（2014•徐州模拟）如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=45°，AB=6cm，∠ABC的平分线交AC于点D，DE⊥BC，垂足为E，则DC+DE=_____cm．

9．（2014•温州五校一模）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为AC延长线上一点，点E在BC边上，且CE=CD，连结AE、BD、DE．

①求证：

△ACE≌△BCD；

②若∠CAE=25°，求∠BDE的度数．

二能得到直角三角形吗

（一）勾股定理的逆定理

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（1）勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．

说明：

①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．

②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．

（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．

注意：

要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．

同步练习

1．（2012•广西）已知三组数据：

①2，3，4；②3，4，5；③1，

，2．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有（　　）

A．②B．①②C．①③D．②③

2．（2012•连云港一模）如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C的个数（　　）

A．6B．7C．8D．9

3．（2014•江西模拟）下列各三角形中，面积为无理数的是（　　）

A．

B．

C．

D．

4．下列能构成直角三角形三边长的是（　　）

A．1，1，2B．5，8，10C．5，12，13D．6，7，8

5．（2012•松北区二模）如图△ABC中，AB=5，AC=3，中线AD=2，则BC长为_____．

6．在直角三角形中，满足条件的三边长可以是_____（写出一组即可）．

7．三角形的三边a，b，c满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是_____三角形．

8．（2014•萧山区模拟）如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，∠BCD=135°，且AB=3cm，BC=7cm，CD=

cm，点M从点A出发沿折线A-B-C-D运动到点D，且在AB上运动的速度为

cm/s，在BC上运动的速度为1cm/s，在CD上运动的速度为

cm/s，连接AM、DM，当点M运动时间为_____

（s）时，△ADM是直角三角形．

9．（2014•高安市模拟）如图，方格纸中的每个正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上，在图中画△ABC（点C在小正方形的顶点上），使△ABC为直角三角形（要求画两个且不全等）

10．（2014•顺义区一模）在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边．当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，可以判断△ABC的形状（按角分类）．

（1）请你通过画图探究并判断：

当△ABC三边长分别为6，8，9时，△ABC为______三角形；当△ABC三边长分别为6，8，11时，△ABC为______三角形．

（2）小明同学根据上述探究，有下面的猜想：

“当a2+b2＞c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2＜c2时，△ABC为钝角三角形．”请你根据小明的猜想完成下面的问题：

当a=2，b=4时，最长边c在什么范围内取值时，△ABC是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形？

11．（2014•江东区模拟）已知三角形的三边分别为a、b、c，且a=m-1，b=2

，c=m+1（m＞1）．

（1）这个三角形一定是直角三角形吗？

为什么？

（2）试给出一组直角三角形的三边的长，使它的最小边不小于20，另两边的差为2，三边均为正整数．

（二）勾股数

知识链接

勾股数：

满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．

说明：

①三个数必须是正整数，例如：

2.5、6、6.5满足a2+b2=c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．

②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．

③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：

3，4，5；6，8，10；5，12，13；…

同步练习

1．下列几组数中，为勾股数的是（　　）

A．

，

，

B．3，4，6C．5，12，13D．0.9，1.2，1.5

2．下列各组数中，是勾股数的为（　　）

A．1，2，3B．4，5，6C．3，4，5D．7，8，9

3．我们知道以3，4，5为边长的三角形为直角三角形，所以称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5），类似地，还可以得到下列勾股数组（8，6，10），（15，8，17），（24，10，26）等，请你写出上述四组勾股数组的规律：

．

4．有一组勾股数，两个较小的数为8和15，则第三个数为．

5．一个直角三角形的三边长是不大于10的偶数，则它的周长为．

6．能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，试写出两种勾股数，．

7．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c．

（1）填表：

边a、b、c

三角形的面积与周长的比值

3  4   5

5  12  13

8  15  17

（2）若a+b-c=m，则猜想

=______（用含m的代数式表示，不必证明）．

8．

（1）一位同学从勾股数“3，4，5”中发现，4＝

，5＝

，由此他发现最小数是奇数的勾股数的构造方法．你发现了吗？

请你写出以下几组勾股数组：

5，______，______；7，______，______；9，______，______；

（2）写出一般规律的表达方式，（用字母n表示，n为正整数）______，______，______．

9．满足方程x2+y2=z2的正整数x、y、z，我们称它们为勾股数．

（1）已知x=m2-n2，y=2mn，z=m2+n2，请证明x、y、z是一组勾股数；

（2）求有一个数是16的一组勾股数．

10．据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三、股四、弦五”．

（1）观察：

3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，小明发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，

当勾=3时，股4=

（9-1），弦5=

（9+1）；

当勾=5时，股12=

（25-1），弦13=

（25+1）；

------

请你根据小明发现的规律用n（n为奇数且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾______、股______、弦______，并猜想他们之间的相等关系（写二种）并对其中一种猜想加以证明；

（2）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．请你直接用m（m为偶数且m≥4）的代数式来表示他们的股和弦．

三勾股定理应用

（一）勾股定理的应用

知识链接

（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．

（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．

（3）常见的类型：

①勾股定理在几何中的应用：

利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．

②由勾股定理演变的结论：

分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．

③勾股定理在实际问题中的应用：

运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．

④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：

利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．

同步练习

1．已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160公尺，再向东直走80公尺后，可到神仙百货，则阿虎向西直走多少公尺后，他与神仙百货的距离为340公尺？

（　　）

A．100B．180C．220D．260

2．如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC=90°，并测得AC长20米，BC长16米，则A点和B点之间的距离为（　　）米．

A．25B．12C．13D．

3．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为（　　）

A．

米B．

米C．（

+1）米D．3米

4．（2014•和平区一模）如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点，当它靠在另一侧墙时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC=60°，∠DAE=45°．点D到地面的垂直距离DE=3

m，则点B到地面的垂直距离BC为___．

5．（2013•池州一模）如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：

mm）计算两圆孔中心A和B的距离为___．

6．（2014•西湖区一模）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，开始时B到墙C的距离为0.7米，若梯子的顶    端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离相等，则下滑的距离是___米．

7．（2014•三门县一模）如图，这是某种牛奶的长方体包装盒，长、宽、高分别为5cm、4cm、12cm，插吸管处的出口到相邻两边的距离都是1cm，为了设计配套的直吸管，要求插入碰到底面后，外露的吸管长度要在3cm至5cm间（包括3cm与5cm，不计吸管粗细及出口的大小），则设计的吸管总长度L的范围是___．

8．（2014•西宁）课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图．

（1）求证：

△ADC≌△CEB；

（2）从三角板的刻度可知AC=25cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相等）．

9．（2014•广东一模）如图，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：

小丽在河岸边选取点A，在点A的对岸选取一个参照点C，测得∠CAD=30°；小丽沿岸向前走30m选取点B，并测得∠CBD=60°．请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小丽计算小河的宽度．

10．（2013•本溪）校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC=75°，测得AD=40米，已知本路段对校车限速是50千米/时，若测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒，问这辆车在本路段是否超速？

请说明理由（参考数据：

=1.41，

=1.73）

（二）平面展开----最短路径问题

知识链接

（1）平面展开-最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．

（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．

同步练习

1．如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC=

BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（　　）

A．（4+

）cmB．5cmC．3

cmD．7cm

2．如图，若圆柱的底面周长是30cm，高是40cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰，则这条丝线的最小长度是（　　）

A．80cmB．70cmC．60cmD．50cm

3．如图，为了庆祝“五•一”，学校准备在教学大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱子的底面周长为1m，高为3m．如果要求彩带从柱子底端的A处均匀地绕柱子4圈后到达柱子顶端的B处（线段AB与地面垂直），那么应购买彩带的长度为（　　）

A．

mB．3mC．4mD．5m

4．如图，圆柱底面半径为

cm，高为9cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（　　）

A．12cmB．

cmC．15cmD．

cm

5．（2014•博山区模拟）如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（　　）

A．3B．

+2C．

D．4

6．（2013•荆州模拟）如图所示，有一圆柱形油罐，现要以油罐底部的一点A环绕油罐建梯子（图中虚线），并且要正好建到A点正上方的油罐顶部的B点，已知油罐高AB=5米，底面的周长是的12米，则梯子最短长度为___米．

7．（2013•盐城模拟）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为___cm．

8．（2014•西湖区一模）如图，是一个无盖玻璃容器的三视图，其中俯视图是一个正六边形，A、B两点均在容器顶部，现有一只小甲虫在容器外A点正下方距离顶部5cm处，要爬到容器内B点正下方距离底部5cm处，则这只小甲虫最短爬行的距离是___cm．

9．（2013•贵阳模拟）请阅读下列材料：

问题：

如图1，圆柱的底面半径为1dm，BC是底面直径，圆柱高AB为5dm，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线：

路线1：

高线AB+底面直径BC，如图1所示．路线2：

侧面展