多元函数微分学及应用.docx
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多元函数微分学及应用
习题课：
多元函数求偏导，多元函数微分的应用
多元复合函数、隐函数的求导法？
（1）多元复合函数
设二兀函数zf（u,v）在点（uo,vo）处偏导数连续，二元函数uu（x,y）,vv（x,y）在点（xo,yo）处偏导数连续，并且uou（xo,yo）,vov（xo,yo）,则复合函数zf（u（x,y）,v（x,y））在点（xo,yo）处可微，且
fuo,vo
uxo,yo
fuo,vo
vxo,yo
（xo,yo）
u
x
v
x
fuo,vo
uxo,yo
fuo,vo
vXo,yo
（xo,yo）
u
y
v
y
z
x
z
y
dz—dx—zdy
xy
计算—
fu
fv
z
u
fv
代人，
x
ux
vx
y
u
y
vy
z
z
f
u
fv
f
u
fv
dz
dx
dy
dx
dy
x
y
u
x
vx
u
y
vy
f
u
.u
f
v,
v,
dx
dy
dx
dy
u
x
y
v
x
y
dudv
uv
例1设zx3fxy,—，求一^,二。
xxy
解：
dzf3x2dxx3df3x2fdxx3f|d（xy）f2d—x
从这是可见：
函数
yx可导有一个必要条件是,
Fy
x,y0.
由微分形式不变性,
例3已知函数yf（x）由方程axbyfx2y2,a,b是常数，求导函数。
解：
方程axbyfx2y2两边对x求导，
ab业f（x2y2）2x2y业
dxdx
dy2xf（x2y2）a
般来说，若函数yyx,由方程Fx,y
将y看作是x1,...,xn的函数yyx
dxb2yf（x2y2）
两端分别关于xi求偏导数得到，并解f,
可得到公式：
一y
Fxx,y
Fyx,y
Xi
Xi
例4设函数xx（z）,yy（z）由方程组
222„
xyz1
2o22d
x2yz1
0确定，求
0
0确定，求导之函数？
y（x1,...,xn）,对于方程
F（X1,...,Xn,y（X1,...,Xn））0
dxdydz，dz
dz
dz
22
2,
2x
2y
—
2z
解xy
z1
dx
dy
解方程得：
2小2
x2y
z21
2x
dz
—4y
dz
2z
dx
dy
dx
dz=
1
4y
2y
2z
1
12yz
dy
4xy
2x
2x
2z
4xy
8xz
dz
由此得到dX3z,dy2z
xucosv
yusinv,给定，试求—.
xyzuv
dzx'dzy
解这个问题涉及到复合函数微分法与隐函数微分法
x,y是自变量，u,v是中间变量
（u,v是x,y的函数）,先由
z
uv
得到
z
z
u
z
v
u
v
v
u
x
u
x
v
x
x
x
z
z
u
z
v
u
v
v
u
y
u
y
v
y
y
y
例5
已知函数zzx,y由参数方程：
u,v是由方程
u
v
1
0
u（x,y）的x,y的隐函数，
在这两个等式两端分别关于
0cosv」usinvy
1sinv—uucosvy
x,y求偏导数，得
_v
y
v
y
v（x,y）
cosv』xsinv』x
usinv—
xucosv」x
得到
u
v
sinu
u
v
cosv
得到y
cosv,
sinv,
x
x
u
y
x
u
将这个结果代入前面的式子，
得到
z
u
v
v
u
vcosv
sinv
x
x
x
z
u
v
与
v
u-
vsinv
cosv
y
y
y
uf（x,y,z,t）
⑶隐函数函数uu（x,y）由方程g（y,z,t）0确定，求一9
xh（z,t）0
解：
函数关系分析：
5（
一函（u）,二自（x,y
变量）？
3（方程）=2（自变量）;）,二中（z,t）
z
,i
h
上g
gt
0
y
©h）
t
丨（乙t）|
h
y
z
z
二阶偏导数：
一阶导函数的偏导数
f
f
z
f
t
y
z
y
t
y
f
h
f
h
g
u
f
t
z
z
t
y
y
y
g
h
g
h
z
t
t
z
ufu
=5e
xxy
例6
z
2
z（x,y）由x
2
y
22
za决定，求
解:
2x
2^z0
2y
2zZo
x
y
xy
2z
z
x
z
_y
x
J
z
y
z
2
z
y
z
xy
2
3
xy
z
x
z
xfx,
2
x,x
，其中函数
的二阶偏导数连续，求
d2gx
dx2
X\f（xy,—）
y
x
fl
f
f
f
5
f2
5
y
f.
2f
uf
2f
v
f
2f
f
2f
M1
2，
22
2
12
J
121
u
v
uv
vu
f二阶连续可微，求
xy,v
2
2
-2x
zf
u
f
v
1£
y
f1
f
xu
x
v
x
y
2
z
z
f1
1
f2
2
y
x
x
x
x
y
x
u,v为中间变量,
都是以
r1
F
Ff
11
「2
u
因为
v
以x,y为自变量的函数，所以
将以上两式代入前式得
f1
u
v
1
fn
f12
yfn
f12
x
x
x
y
f2
u
v
1七
f21
f22
yf21
—怯
x
x
x
y
2
z
2
f
of
1f
2
y
T
11
12
2T
22.
x
y
例9设zz（x,y）二阶连续可微，并且满足方程
zfugv
例10设u（x,y）
2
C2,又u
x
2
u2
20,u（x,2x）x,ux（x,2x）x,求
y
Uxx（x,2x）,Uxy（x,2x）
Uyy（X,2X）
解：
u/c\
（x,2x）x
2
x,
两边对x求导,
22
—（x,2x）——（x,2x）22x.
（1）
xxy
u（x,2x）x,
两边对x求导，
Ux,2x
x
x,2x2y
1,
u
x,2xy
1x
2
两再边对
x求导,
2
2
u.
（x,2x）
u.
2（x,2x）
2x.
⑵
xy
y
由已知
2
—Ux,2x
x
2
—ux,2x
y
0,
⑶
（1），
（2）,（3）
联立可解得：
2
Uc
2x,2x
x
2u4
2x,2xx,
y23
2
uc
x,2x
xy
5
x
3
多元微分的应用：
几何应用，物理应用
曲线
多元微分的应用
几何
曲面
极值
切线
法平面
法线
切平面
无条件极值
条件极值
极值与条件极值问题
空间曲面
（1）空间曲面的表达式
显函数表示：
zfx,y
隐函数表示：
Fx,y,z0
xx（u,v）
参数表示：
2
yy（u,v）（u,v）DuvR
zz（u,v）
（2）空间曲面的切平面与法线
法线方程是
法向量为
fXo,yo
fXo,y
xXo-
y
yo
zzoo
X
y
xXo
yyo
z
Zo
fXo,yo
fXo,yo
1
X
y
空间曲面S由显函数表示zfx,y，设zofxo,yo，空间曲面S过PoXo,yo切平面方程为
fXo,yofXo,yo
空间曲面S存在切平面的条件：
若曲面S由显函数表示z
fx,y在点pXo,yo可微，则
曲面S在点pxo,yo有不平行z轴的切平面
若曲面s由隐函数Fx,y,zo表示，曲面s过
yo
Xo,y°,Zo切平面方程为
FXo,yo,zozzo
法线方程为
xXo
yyo
zZo
Fxo,yo,zo
FXo,y°,z°
FXo,yo,zo
法向量
若曲面S由参数表示:
Fx,y,z
y
Fx,y,z
y
Fx,y,z
x（u,v）y（u,v）z（u,v）
（u,v）
2
DuvR，其切平面为
X（uo
vo）
（Uo,v°）（Uu
uo）
（u°,v°）（v
v
vo）
y（u。
vo）
—（uo,vo）（uu
uo）
—（u°,v°）（vv
vo）
z（uo
vo）
z
（uo,vo）（u
uo）
z
（uo,vo）（v
vo）
X
y
z
u
zz（uo,vo）o
（uo，vo）
法线方程为
y
y
z
z
x
x
u
V
u
V
u
V
z
z
x
x
_y
y
u
V
（U0,V0）
u
V
（U0,V0）
u
V
xX（Uo,Vo）
yy（uo,vo）
zZ（Uo,Vo）
（Uo,Vo）
法向量
_y
y
z
z
x
x
u
V
u
V
u
V
z
z
J
x
x
J
_y
_y
u
V
（u%
u
V
（U0,V°）
u
V
n
3x
2z
1上切平面与直线
L:
例11
求曲面
S:
2x2
（U0，V°）
2yz5
平行的切点
z0
的轨迹。
解：
（1）
x
直线L:
y
4x
5的方向:
5x5
5k.
切点为Px,y,z处曲面
（2）所求轨迹：
n
S的法向:
4xi
轨迹为空间曲线:
4x
16y
4yj
10
2k.
0,
2x
2x2
8y
2y
5
22z
2x
例12证明球面s:
x2y2
证明所谓两曲面正交是指它们在交点处的法向量互相垂直记F（x,y,z）x2y2z2R2,G（x,y,z）x2y2
曲面S上任一点M（x,y,z）处的法向量是
gradF（x,y,z）（2x,2y,2z）T或者w曲面S2上任一点M（x,y,z）处的法向量为V2（x,y,
设点M（x,y,z）是两曲面的公共点，则在该点有
V1V2（x,y,z）T（x,y,a2z）即在公共点处两曲面的法向量相互垂直，因此两曲面正交例13过直线10x2y面，求该切平面的方程.解：
设切平面过曲面3x2
z2R2与锥面
S2:
x2
5.8
60x260x57「64
、，222—
yaz正父.
（x,y,z）T
-2\T
z）.
2z
27,xyz0作曲面3x2
z227的切平
过直线10x2y2z27,x
27上的（X0,y°,Z0）点，则切平面的法向量为
（6x0,2y°,2z°）
0的平面可以表示为
其法向量为
10x
2y
2z
27
（10
2
10
6x02y0
2z。
222
（xo,yo,zo）是曲面3xyz27上的点,
222
3xoyozo
27
（2）
10xo2yo2zo27
XoyoZo
（3）
联立
（1）,
（2）,（3）,解得（Xo,yo,zo）（3,1,1）,
或（xo,yo,zo）
（3,17,17）,
切平面方程为
9xy
z270，或9x17y17z27
例14
通过曲面S:
e
xyz
xyz3上点（1,0,1）的切平面（
通过y轴;
（B）平行于y轴;
垂直于y轴;
（D）A,B,C都不对•
解题思路令F（x,y,z）
exyzxy
z3.则S在其上任一点
的法向量为
gradF（M）
（上，上，上）
xyz
于是S在点M（1,0,1）的法向量为
xyzxyz
（yze1,xze
1,xyexyz1）
（1,0,1）（1,0,1）
因此，切平面的方程为（x1）（z1）
0.S在（1,0,1）的法向量垂直于y轴，从而切平
面平行于y轴•但是由于原点不在切平面，故切平面不含y轴.
例15已知f可微，证明曲面f
z
0上任意一点处的切平面通过一定点,
并求此点位置.
证明：
设f1
y
f£11
F4
f1f1
axf
1
2,
h2f
2
y
z
z
，于是有:
zc
zc
2
b
（z
乂
c）2.
则曲面在Po（Xo,yo,Zo）处的切平面是:
x
f1（Po）—
Xo
Zo
f2（Po）i
czoc
Xo_
2
f1（P0）（z0c）
f2（Po）
byo
（zoc）2
（z
zo）o
可以得到：
II
fl（Po）（Zoc）（xXo）f2（Po）（Zoc）（yyo）
22\
yz°）不平
f；（Po）（aXo）（zZo）f2（P°）（byo）（zz°）0.
易见当xa,z
c,y
b时上式恒等于零。
于是知道曲面
fxz
ayb
J
czc
0上任意一点
处的切平面通过
宀JH
定点，
此定点为（a,c,b）.
例i6S由方程ax
byczGx2y2
2z
确定，
试证明:
曲面S上任一
-点的法线
与某定直线相交。
证明：
曲面上任意一点
P（X0,y0，Z0）的法线为
xX°
yy0
zZ0
2
a2x°G（X0
2
y。
22
Z0）b2y°G（x°
2
y0
zj）
22
c2z°G（X0y
zj）
设相交的定直线为—乞上与法线向交
a2x°G（x0y0z0）,b2y°G（x0y0z0）,c2z°G（x0
行于
22
a2x°G（X0y°
z：
）
2
b2y°G（X0
2
y°
z：
）
c
22
2z°G（X0y°
XiX0
yiy°
ZiZ0
ab
c
X0
y°
Z0
2G（x；y
zf）
0
XiX0yiy°
ZiZ0
Xi
yi
Zi
只要取
（a,b,c）,
（xi,y「zi）
（0,0,0）即可.
2
y。
z0）
XiX°,yi
解：
直线L平面F可表示为3x2yz5（xyz）0,设曲面为G
则相切处有gradF（3
2,1）kgradGk（4x,4y,2）
解得3,x3/2,y1/4,z15/8or
7,x5/6,y5/12,z5/24
例18
成等角。
在椭球面
1上求一点，使椭球面在此点的法线与三个坐标轴的正向
解：
椭球面在此点的法线矢量为
x
2
z2
10（x5/6）5（y5/12）6（z5/24）0
（1,1,1），设该点为（Xo,yo,zo），则有
gradF^z（詁吉首心，1）
xx（t）
yy（t）（t）
zz（t）
r（t）xtytztT;（
L，可以看作通过它的两个曲面S1与S2的交线，若
设S1的方程为F（x,y,z）0,S2的方程为G（x,y,z）0,贝UL的方程是
F（x,y,z）0
G（x,y,z）0
（2）空间曲线的切线与法平面
x
X0
x（t°）（t
t0）
空间曲面的
勺参数方程表示，
其切线为
x
y。
y（t0）（t
t0）
z
Z0
z（t0）（t
t0）
切向量为：
x（tg
）,y（鮎）山
（t。
）
法平面为：
x（t0
J（xX0）
y（t0）（y
y0）
Z（t0）（Z
Z0）0
x
acost
例19求螺线y
asint；（a0,c0）,在点m（^,^=,——）处的切线与法平
V2<24
z
ct
面.
空间曲线的交面式表达方式，其切线为
解由于点M对应的参数为to，所以螺线在M处的切向量是
4
v（X（.4）,y（4）,z（4））（a2,a.■2,c）
xa2a.21,
因而所求切线的参数方程为ya.2a.2t,
z4cct,
a.2（xa2）a..2（ya.2）c（z4c）o.
解：
取F（x,y,z）x2y2z26，G（x,y,z）zx2y2，则
gradF（Mo）（2,2,4）,gradG（Mo）（2,2,1）
所以曲线在Mo（1,1,2）处的切向量为vgradF（M0）gradG（M0）（10,10,0），
x110t
于是所求的切线方程为
y110t
z2
例21设曲线xt,yt2,zt3，求曲线上一点，使曲线在该点的切线平行于平面
解：
曲线xt,yt2,zt3的切线方向为
（1,2t,3t2）
曲线在该点的切线平行于平面
x2yz4可知
2
14t3t0
111
所求的点为丄，丄，丄，1,1,1
3927
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