川大离散数知识学习题集6.docx

1、川大离散数知识学习题集6习题 61. 设 A=1，2，3，4，B=AA。确定下述集合是否为 A 到 B 的全函数或部分函数。(1) (1,(2,3),(2,(2,2),(3,(1,3),(4,(4,3).(2) (1,(1,2),(1,(2,3),(3,(2,4).(3) (1,(3,3),(2,(3,3),(3,(2,1),(4,(4,1).解：（1）、全函数（2）、不符合单值（3）、全函数要点： 根据全函数定义，X 中每个元素 x 都在 Y 中有唯一元素y 与之对应。2. 判别以下关系中那些是全函数。(1) (n1,n2)|n1,n2N,02n1-n25 。(2) (n1,n2)|n1,n

2、2N,n2 是 n1 的正因子个数。(3) (S1,S2)|S1,S2 a,b,c,d且 S1 I(4) (a,b)|a,bN,gcd(a,b)=3.(5) (x,y)|x,yZ,y=x2.S2=。解： (1) (n1,n2)|n1, n2 N, 02 n1-n25不是函数，n1=0 时无定义，且(3,4),(3,5)在其中。(2) (n1,n2)|n1, n2 N, n2 是 n1 的正因子个数部分函数，n1=0 时无定义(3) (S1,S2)|S1, S2 a,b,c,d且 S1 S2= 不是函数，因为(a,b) ,(a,c)均在其中。(4) (a, b)|a, b N, gcd(a,b)

3、=3不是函数，因为(3, 3) ,(3, 6), (3, 9)均在其中。(5) (x, y)|x, y Z, y=x2全函数3. 在3.1 中已经定义了集合的特征函数。请利用集合 A 和 B 的特征函数 A（x）和 B（x）表示出 A U B，A IB，A-B， A 以及 A + B对应的特征函数。解：（略）4. 试确定在含 n 个元素的集合上可以定义多少个二元关系，其中有多少个是全函数。解: 可以定义 nn 个二元关系，n！个全函数5. 设𝑓：𝐴𝐵，𝐶 𝐴，证明：𝑓（𝐴） 

4、9891;（𝐶） 𝑓（𝐴 𝐶）。证明：bf(A)-f(C)bf(A) bf(C)(x)xA xC f(x)=b(x)xA-C f(x)=bbf(A-C)所以 f(A)-f(C)f(A-C)7. 设 f：X Y，A 和 B 是 X 的子集。证明， f ( A B) =f ( A) f (B), f ( A B) f ( A) f (B)证明：（1）yf(AB)(x)x(AB)f(x)=y(x)xA f(x)=y(x)xB f(x)=yyf(A)yf(B)f(AB)=f(A)f(B)（2）yf(AB)(x)x(AB)f(x)=y(x)

5、xAf(x)=y(x)xBf(x)=yyf(A)yf(B)f(AB)f(A)f(B)8. 确定下例映射是否单射、满射或双射：（1） f1:N R,f1(n)= ln n.（2） f2:N N,f2(n)为不超过 n 的素数数目。（3） f3:N N N,f3(n,n)=(n+1).（4） f4:R R,f4(x)=x2+2x-15.（5） f5:Z Z,f5(x)=1+2x3.（6） A 是集合，f6:2A 2A 2A 2A,f6(x,y)=(x U y,x Iy).（7） f7:R R R,f7(x,y)=x+y. F8:R R R,f8(x,y)=xy.解：(1)单射(2)满射，非单。如

6、f(5)=f(6)=3(3)非单,非满。f(0,1)=f(1,0)=1,且 f(x,y)=0 无解。(4)非单,非满。(5)单,非满。如： 1+2x3=5 无解。(6)非单: (ab, ab) = (a,b , a,b )非满: (x y,x y)=(a, a,b)无解。(7) f7: 非单,满，如： f(1,3)=f(2,2)f8: 非单,满，如： f(1,3)=f(3,1)9. 设 X 是有限集合，f：X X。证明：(1)如果 f 是单射时，f 必是双射。(2)如果 f 是满射时，f 必是双射。证明： (1).当 f 是单射时，根据单射定义，对所有任意 t,sX,当 ts 时 f(t)f(

7、s),则 f(x)中的元素个数与 X 中的元素个数相同； 又f:XX，所以，f(x)是一个满射 f 必是双射。 (2)当 f 是满射时，根据满射定义及 f 的定义，对所有 yX，都存在 xX，使 f(x)=y，再根据函数的单值性，对所有t,sX,当 ts 时，f(t)f(s)。 f 必是双射。10. 设 f 是有限集 X 上的一个函数，满足 xX，f2（x）=x。证明：f 是双射。证明：设 x,y 是有限集 X 上的 2 个元素，如果 f(x)=f(y),则 x= f2(x)= f2(y)= y ，说明是单射，由上题结果知 f 是双射。11.设 f:A B，g：B 2A，满足 bB，g（b）=

8、xA|f(x)=b.证明：当 f 为满射时 g 为单射。问 g 为单射时，f 是否必是满射？ 证：1）对任意 b1、b2B，且 b1b2。 f(x)是满射 a1、 a2 A,f(a1 ) = b1 , f(a2) = b2 、g(x)、a1 g(b1 ), a2 g(b2 )、a1 g(b2 ), a2 g(b1 ) 、a1 g(b2 ),a2 g(b1 )、f(a1 ) b2 ,f(a2 ) b1、 g(b1 ) g(b2 ), 、g(x)、 。2、g( x)、 b B,、g(b) , f (x)、12. 设 A 和 B 都是有限集合，试确定 A 到 B 有多少个单射？多少个满射？多少个双射

9、？解：设 A、B 中元素个数分别为：m、n,则单射个数为：n(n-1)(n- 2)(n-m)满射个数为：nm,双射个数为：n!或 m!13.设有函数 f，g，h：R R，这里 f(x)=2x，g(x)=x2+x-1，h(x)=x-2。写出 f og，g of oh，h oh og。解：fog=f(g(x) =2x2+2x-2gofoh= (g(f(h(x) = 4(x-2)2+2(x-2)-1hohog= (h(h(g(x) = x2+x-514. 设 f，g，h 都是集合 A 上的函数。如果 f=g，是否必有h of=h og 或 f oh=g oh？解：（1）f=g，则对于所有 x A，都

10、有 f(x)=g(x), 所以，对于所有的 x A，h(f(x)=h(g(x),f(h(x)=g(h(x) 即 h。f=h。g（2）h。f=h。g 则，h(f(x)=h(g(x), 当对于 A 中任意两个不同的元素 x,y 都有 h(x)h(y)时， f=g； 当 A 中存在两个不同的元素 x,y 有 h(x)=h(y)，即对于同一个元素 z,当 f(z)=x ,g(z)=y，则有 h(f(z)=h(g(z)，而此种情况下 fg 综上，当 h。f=h。g 时，f 不一定等于 g15. 设 f，g 是实数集 R 上的函数，其中 f(x)=x2+2，g(x)=2x-1。确定 f og 和 g of

11、 是否满射、单射或双射？解：f。g=(2x-1)2 +2,函数图形为以 x=1/2 为对称轴的一个抛物线， 由题，f,g 都是实数上的函数，则 f。g 不是单射，不是满射， 也不是双射； g。f=2(x2+2)-1=2x2+3,函数图形为以 Y 坐标为对称轴的抛物线， f(x)=f(-x)，所以，g。f 不是单射，不是满射，也不是双射。16. 设 f 和 g 都是函数。证明： (1) 当 g of 为单射时，f 必为单射；(2) 当 g of 为满射时，g 必为满射；(3) 当 g of 为双射时，g 为满射，f 为单射。证明：设 f: AB, g: BC。（1）（反证法）设 f 不是单射，存

12、在 x1x2A,且 f(x1)=f(x2)， 即：g of(x1)= g(f(x1)= g(f(x2)= g of(x2),与 g of 为单射矛盾。因此，f 必为单射。（2）对于任意 zC，由于 g of 为满射，那么存在 xA 使得 g of(x)=z，因此存在 y=f(x)B,使得 z=g(y)，因此 g 是满射。（3）由（1）、（2）可得证。 17. 设 A=1，2，3，4。（1）找出一个 A 上的非单位置换的置换 ，计算 o = 2， 2 o = 3，以及 -1。（2）若 A 上置换 满足 o =（1），称 为幂幺置换，求出 A 上的全部幂幺置换。解：(提示，按照定义求解即可) （1

13、）任定义 为：(2,1,3,4) （2）（略）18. 计算有限集合 X 可以定义出多少个函数 f，使得 f=f-1。解：（略）19.证明下列集合 A 和 B 等势。1) A=(0,1),B=(-2,2).2) A=(- ,+ ),B=(0,+ ).1 13) A=(0,1),B=( 4 ， 2 ).4) A=N, B= (m, n) |m、nN m n.证明：（思路：想办法构造一个双射函数即可）（1）f(x)=2tan( x - )2 4 (2）（略）(3)f(x)= 1 + sin( x )2 3 6(4)(略)20.设 AB，CD。证明：A CB D。证明：（略）21.证明：非空有限集 A

14、 与可数集 B 的笛卡尔积 A B 也是可数集。证明：非空有限集 A 与可数集 B 的笛卡尔积 AB 也是可数集。证明：设 A=a1,a2,anB=b1,b2,bn,令 Bi =(ai,b1),(ai,b2),(ai,bn), (in),则AB=kUBi ,i=1因为 B 为可数集，所以 Bi 为可数集。AB 为有限个可数集的并集。下面用归纳法证明有限个(m 个)可数集的并集为可数集。设 Cm=cm1,cm2, ,cmn, 当 m=2 时，构造双射 f:NC1C2,N 1 2 3 4 5 6 n-1 n f(N) c11 c21 c12 c22 c13 c23 c1(n/2) c2(n/2)

15、所以 2 个可数集的并集为可数集。假设 m=k-1(k3)时结论成立，即 k-1 个可数集的并集为可数集， 记为 D。则 m=k 时，可以构造类似的双射 g:NDCk,所以为可数集。因而有限个可数集的并集为可数集。所以 AB 是可数集。补充：1. 设 A 和B 是两个有限集合，它们的元数都是n ，则 : A B 是单射的充分必要条件是 为满射证 必要性，当 是单射时， ( A) 的元数是n ，而 ( A) B, B 的元数也是n ， 故 ( A) = B ，因此 : A B 是满射。充分性，若 : A B 为满射时，有 ( A) = B ，则 ( A) 的元数为n ， A 的元数也是n ， n

16、 个原象对应n 个象，即不同元素对应不同的象，因此 是 A 到B 的单射。2设R 为实数集， : R R R, (x, y) = x + y, 又 : R R R, (x, y) = x y, 试证明 和 都是 满射，而不是单射。证 对于任意a R ，可以使a = x + y 成立的 x, y 有无数对，且(x, y) R R ， 也就是说值域 R 中每个元素都有无数原象在 R R 中，所以 是满射，而不是单射。对于任意a R ，能使a = x y 成立的 x, y 也不止一对实数存在。例如a = 6 ，而x = 2, y = 3 ，或 x = 3, y = 2, ，即象集中每一元素都有原象，

17、而且原象不唯一， 所以 是满射，而不是单射。 证毕。欲证一个映射为单射时，按定义一般有两种方法，一是任取a, b 属于定义域， 且a b ，能证得 (a) (b) 。另一种方法是：取 (a) = (b) 属于值域， 证得a = b 。3. 设为R 实数集， (x) = x 2 - 2, (x) = x + 4, (x) = x3 - 5 都是R R 的映射。（1）求 ， ，并分别判定是否为R R 的满射，单射，双射？（2）问 -1 是否存在？如果存在，试求出来。解 （1）因为 (x) = x 2 - 2, (x) = x + 4所以( )(x) = ( ( (x) = (x 2 - 2) =

18、x 2 - 2 + 4 = x 2 + 2按照开口向上的抛物线确定， 不是满射，也不是单射，更不是双射。( )(x) = ( ( (x) = (x 2 - 2) = (x + 4)2 - 2 = x 2 + 8x + 14同样以开口向上的抛物线确定， 不是满射，不是单射，也不是双射。（3） 因为 R R 映射 (x) = x3 - 5 是双射，故 -1 存在， -1 (x) = 3x + 5 。4设映射 : A B ， : B C ， , 都是双射，求证( )-1 = -1 -1 。证 由于 , 都是双射，因此 , 均可逆，分别存在逆映射， -1 : B A, -1 : C B 故复合映射 -1 -1 : C A 。因为 和 都是双射，所以 也是双射，且 ：A C ，则 必有 逆映射（ ）-1：A C既然 -1 -1 与（ ）-1 都是C 从 A 到的映射，对于任意c C ，设 -1 (c) = b, -1 (b) = a ，则有( -1 -1 )(c) = -1 ( -1 (c) = a -1 (b) = a而可得出（ ）-1 (c) = a因此( -1 -1 )(c) = c(c)( )(a) = ( (a) = (b) = c由于c C 是任意的，故有（ ）-1 = -1 -1 证毕。