硕士研究生入学考试试题苏州大学范文doc.docx
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1997年硕士研究生入学考试试题（苏州大学）范文1
1997年硕士研究生入学考试试题（苏州大学）
一、简答题（每题8分，共40分）
1、设ˆU
为么正算符，而（）（）
11ˆˆˆˆˆˆ,22AUUBUUi
++
=+=-，试证：
（1）ˆA
和ˆB均为厄密算符；
（2）2
2
ˆˆ1A
B+=。
2、已知）
ˆ,,1Llmlm+
=+，
（1）写出矩阵元ˆ,,lmLlm+''的表达式；
（2）若2,l=试写出ˆL+
的全部不为零的矩阵元。
3、氢原子处于态（）433*********1122
,333
rRYRYRYψθϕ-=
+-中，问
（1）（）,,rψθϕ是否为能量的本征态？
若是，写出其本征值。
若不是，说明理由；
（2）在（）,,rψθϕ中，测角动量平方的结果有几种可能值？
相应几率为多少？
4、一小球在xy平面内绕原点转动。
试写出同时确定此转子的方位角ϕ和角动量分量zL的不准关系。
二、（15分）粒子被约束在半径为r的圆周上运动，
（1）设立路障进一步限制粒子在00ϕϕ00,0,2Uϕϕϕϕϕπ
∞求粒子的能量本征值和本征函数；
（2）设粒子处于
（1）的基态，突然撤去路障后，粒子仍然在最低能态的几率是多少？
三、（15分）一量子体系的哈密顿算符0ˆˆˆ,HHH'=+在0ˆH表象中40ˆ0200100H⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭
，00ˆ00000kHk⎛⎫
⎪'=⎪
⎪⎝⎭
其中常数1k
（1）用微扰法求体系的能级，精确到二级近似；
（2）求出体系能量的精确解，并与
（1）式结果比较。
四、（15分）考虑微弱地相互作用着的三个玻色子组成的系统，各粒子皆处于已知的单粒子态
（）,i
qjψξ其中iq表示包含空间和自旋运动的第i个态，jξ表示第j个粒子的所有坐标。
试
写
出系统的各种可能的零级近似波函数。
五、（15分）设一带电为q，质量为,m在宽度为a的一维无限深势阱中运动，在入射光照射下
发生跃迁，光波长aλ>>，求跃迁选择定则。
1999年：
一、简答题（40分）
1、与1997年“一、2”同
2、一量子体系的哈密顿算符30ˆ10,1,002bHbb⎛⎫
⎪=⎪⎝⎭
用微扰论求体系能量至二级近似；3、能量为20EMeV=的中子受到力程15
10am-=的势场作用，如用分波法求散射截面，
需计算几个分波相移？
设忆求出相移，写出计算散射总截面的表达式。
（27341.610,1.0510）nmkgJs--=⨯=⨯⋅。
4、有一双电子体系，其单电子基态波函数的空间部分用1siniiirraπψ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
描述，其中i为电子的编号。
若以（）iα和（）iβ分别表示电子自旋向上和向下波函数，试写出描述该体系的基态波函数。
5、设氢原子处于态（
）（）（
）（）（）200*********12
1
2zrrrsrrψψψ⎫+⎪⎪=
⎪+⎪⎭
问（）,z
rsψ是否是能量本
征态？
若是，写出其本征值。
又问在该态中测量角动量2
L角动量分量zL及自旋磁矩的分量
szM的平均值各为多少？
二、设123,,uuu为一组正交归一基，已知在这组基张成的希尔伯特
空间中ˆH和ˆA的矩阵为000000ˆˆ00,0000
00EaHEAaEa⎛⎫⎛⎫⎪⎪==
⎪⎪⎪⎪--⎝
⎭⎝⎭
。
1、ˆH
和ˆA是否存在共同的本征函数？
写出这些本征函数相应的本征值。
2、}{2
ˆˆ,H
A或}
{
ˆˆ,HA能否构成完全测量集合？
为什么？
3、若0t=时，体系处于态0
11233ψ
⎛⎫
⎪
=⎪⎪⎝⎭
中，测量其能量的可能值、相应几率及平均值的结果
是什么？
是否隨时间变化？
为什么？
（20分）三、自旋磁矩为e
Sm
μ=-
的电子处于磁场（）000cos,sin,BBtBtBωω=中，1、写出电子的哈密顿算符在zS表象中的矩阵形式；2、设电子在0t=时处于2
zS=-的态（用
β）表示，把哈密顿算符中与时间有关的部
分作
为微扰，求在微扰作用下到时刻t电子跃迁到2
zS=态几率的几率表式。
（记2Be
Mm
=
）（20分）
四、求在2ˆˆ,zLL的共同本征态,lm中，ˆxL，ˆyL及22ˆˆ,xy
LL的平均值，并由此导出在该态中同时测
量ˆˆ,xy
LL的测不准关系。
（20分）
2000年
一、回答下列问题（40分）
1、若系统的波函数的形式为（）（）（）12,i
iEt
Et
xtxexe
ψφφ-=+，问（）,xtψ是否定态波
函数？
为什么？
2、算符ˆA
和ˆB满足对易关系，ˆˆˆˆˆ,1,BACAB⎡⎤==⎣
⎦
是厄密算符，且满足本征方程ˆ,C
φλφ=问
（1）状态ˆA
ψφ=是否ˆC的本征态？
若是，写出本征值。
若不是，说明理由。
（2）算符ˆA
和ˆB是否厄密算符？
用简单的算符运算说明之。
3、粒子处于态（）2sin,xAkxψ=其中k为波数，求其动量取2k的几率；
4、氢原子的波函数（
）100*********12rψψψ-=++，求能量的可能值、相应几率
和平均值。
5、与1997年“一、2”同
二、（15分）一量子体系的哈密顿算符0ˆˆˆ,HHH'=+在0
ˆH为对角表象中的矩阵形式为040000ˆˆ020,00,1001000kHHkk⎛⎫⎛⎫
⎪⎪'==⎪⎪⎝⎭⎝⎭
1、用微扰法求体系的能量，精确到二级近似；
2、求精确解，与1、比较。
三、（15分）ˆA和ˆB是属于同一体系的两个互相对易的力学量算符，1、若12,ψψ是属于ˆA
的不同本征值的本征态，试证明12
ˆ0Bψψ=；2、问：
当体系处于力学量ˆA
的本征态时，力学量ˆB是否有确定值？
试就ˆA的本征值简并
与非简并两种情形加以说明。
四、（20分）自旋为1
2的粒子，处于一维无限深势阱（）0,0,0,xaUxxxa⎩
之中，写出势
阱内单粒子能级和波函数。
1、计及自旋每个能级有多少个状态？
说明理由。
2、计算势阱中的态密度。
（即每单位能量间隔内有多少个不同的状态。
）
3、若N个粒子按能量最低原理填充能级，当体系处于最低能量状态时，单粒子的最大动
能是多少？
五、（10分）设有两个电子，自旋态分别为（）112
zSχ和（）122
xSχ，求两个电子处于自旋单态
（0S=）及自旋三重态（）1S=的几率。
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