最新人教版高中数学必修全部基础知识填空版.docx
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最新人教版高中数学必修全部基础知识填空版
必修一
（一）集合
1.集合的概念
（1）集合是数学中的一个不加定义的原始概念，它是指某些指定对象的全体.集合中的每
个对象叫做这个集合的元素，它具有三个性质，即、和
（2）根据集合所含元素个数的多少，集合可分为
、空集；根据集合所含元素的性
质，集合又可为点集、数集等.空集是不含任何元
素的集合，用.一表示•
（3）我们约定用表示自然数集，用表示正整数集，用表示整数集，用
表示有理数集，用表示实数集.
（4）集合的表示方法有、和图示法（venn图）.
2.集合间的基本关系
（1）集合与元素的关系
表示元素和集合之间的关系，有属于“•”和不属于“两种情形.
（2）集合与集合之间的关系
集合与集合之间有包含、真包含、不包含、相等等几种关系
若有限集A中有n个元素，集合A的子集个数为，非空子集的个数为，
真子集的个数为，非空真子集的个数为_—
3.集合的运算
集合与集合之间有交、并、补集三种运算
4.集合运算中两组常用的结论
（1）①Cu（A-B）二•，②Cu（A一B）=；
（2）①AcB=A=:
②AuB=B=.
（二）函数的概念
（1）函数的定义
设A，B是，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x
在集合B中都有和它对应，那么就称f:
A》B为从集合A到集合B的一个
函数，记作y二f（x）,x・A.其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的；
与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合1f（x）|x•A叫做函数的.值
域是集合B的.
3•映射：
设A,B是两个集合，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任
意一个元素在集合B中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应就称为从集合A
到集合B的映射，记作f:
A>B.函数实际上是一种特殊的映射.而映射是一种特殊的对应：
一对一，多对一.
（2）函数的三要素：
、及称为函数的三要素•在函数的三要素中其
决定性作用的是及，定义域及对应关系确定了，这个函数就唯一确定了•
（3）相等函数：
定义域相同，并且对应关系完全一致的两个函数就称为相等函数
2.函数的表示方法
函数的表示方法主要有三种：
解析法、图象法、列表法
分段函数：
在定义域的不同部分上有不同的解析式，这样的函数称为分段函数
（3）函数单调性
1.增函数、减函数
设函数f（x）的定义域为I:
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当时，都
有，那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x,,x2，当时，都
有，那么就说函数f（x）在区间D上是减函数.
2.单调性、单调区间
如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调区间.
3.利用定义判断（证明）函数单调性的一般步骤：
1②:
③④
4.数最值的几何意义是对应函数图像上点的纵
坐标的或，即图像的
或.
5函数的最值与求函数的值域从概念上看是不同的，函数值域的一些边界值不一定是函数
值，函数的最值是函数值域中的一个值，函数取得最值时，一定有相应的x值.
6判断函数单调性的常见方法
1定义法；②图象法；③导数法.
7求函数最值或值域的方法
①单调性法；②配方法；③换元法；④判别式法；⑤图象法；⑥不等式法等
8一些重要函数的单调性
1
y=x的单调区间：
x
增区间；减区间
K
y=axba0,b0的单调区间：
x
增区间；减区间
（4）函数奇偶性
（1）奇函数、偶函数
如果对于函数f（x）的定义域内任意一个X,都有，那么函数f（x）就叫做偶函
数.
如果对于函数f（x）的定义域内任意一个X，都有，那么函数f（x）就叫做奇函
数.
⑵奇偶性
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如果函数f（x）是奇函数或偶函数，那么就说函数f（x）具有奇偶性•
（3）奇函数、偶函数的性质
1奇函数、偶函数的定义域皆关于对称（此条件是函数具有奇偶性的必要不
充分条件）；
2奇函数的图象关于对称，偶函数的图象关于对称；
3若奇函数f（x）在x=0处有定义，那么一定有.
4在定义域的公共部分内，两个偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍是数;
两个奇函数的和、差仍是;奇数个奇函数的积为;偶数个奇函数的积
为;一个奇函数与一个偶函数的积为;一个奇函数与一个偶函数（均
不恒为零）的和与差.
5奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
标为，对称轴方程为，当a0时开口向上,当a：
：
：
0时开口向下;
②厶二b-4ac0=0,—：
：
0时，抛物线与x轴有交点.
3单调性：
当a0时，fx在减函数；在上是增函
数.a：
：
0，相反.
4奇偶性：
当b=0时，fx为_函数；当b=0时，fx为函数；
（6）指数函数
1.幕的有关概念
正整数指数幕：
a曰a…a二an；
n
零指数幕：
a0=1（）；
负整数指数幕：
a弓=（a=0,p•N）；
m
正分数指数幕：
a齐二
（a0,m、nN且n1）；
m
负分数指数幕：
a币二
（a.0,m、nN且n1）；
0的正分数指数幕等于,0的负分数指数幕
2.幕的运算法则（a.0,b0,r、s・Q）
rsrsr
aa；（a）；（ab）二
3.指数函数图像及性质
定义
y=ax（a:
>0,a式1）
图象
定义域
值域
定点
单调性
4.指数函数fx=ax具有性质:
fxyfxfy,f1a（a0,a=1）
（7）对数函数
1.定义：
如果a（a0,且a=1）的b次幕等于N,就是ab=N，那么数b称以a为底N的对数，记作b=logaN，其中a称对数的底，N称真数.
①以10为底的对数称常用对数，log10N记作lgN，②以无理数e（e=2.71828）为底的对数称自然对数，logeN记作lnN
2.基本性质：
1真数N为正数（负数和零无对数），
2loga1=0，
3叽玄=1，
4对数恒等式：
alogaN二N.
3.运算性质：
如果a.O,a",M.0,N.0,则
1.当a0时，幕函数y=x：
F：
£三R有下列性质：
⑴在第一象限内，型抛物线，图像下凸，0：
：
：
〉：
：
：
1时图像为型抛物线，图像上凸.⑵
-1时图像为_
图像都通过
①loga（MN）=logaMlogaN；
③logaM“二nlogaM.
4.换底公式：
logmN
logaN-（a.0,a--1,m0,m=1,N0）,
logma
1logablogba=1，
2log-bn=nlogab.
a—
5.对数函数y=logax具有性质：
f（x）•f（y）二f（xy）
6.函数的图像与性质
定义
图象
定义域
值域
定点
单调性
定义域
（3）在第一象限内，随x的
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2.
型，函数值随x的增大而，图像是向下凸;
当a<0时，幕函数y=三R有下列性质:
（1）在第一象限内，函数图像为
（2）
图像都通过点
（九）函数图像变换
1.平移变换
⑴水平平移：
y=fx二aa0的图象，可由y=fx的图象向左i亠］或向右
-平移
a个单位而得到；
⑵竖直平移：
y=fx二bb0的图象可由y=fx的图象向上［亠i或向下-平移b个单位而得到；注：
对于左、右平移变换，往往容易出错，在实际判断中可熟记
口诀：
左加右减.
2.对称变换
⑴y=f］_x与y=fx的图象关于对称；
⑵y--fx与y=fx的图象关于对称；
⑶y--f-x与y=fx的图象关于对称；
⑷y=f丄x与y=fx的图象关于对称；
⑸y=fx的图象可将y=fx的图象在仝轴下方的部分以x轴为对称轴翻折上去，其余部分不变；
⑹y=fx的图象可将y=fxx-0的部分作出，再利用偶函数的图象关于y轴对
称，作出x:
:
:
0的部分.
3.伸缩变换
⑴y二AfxA0的图象，可将y二fx图象上所有点的纵坐标变为原来的
倍，横坐标不变而得到；
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⑵y=faxa0的图象，可将y=fx图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变而得到.
（十）函数的应用
1•函数零点的定义：
对于函数y=f（x]x€D）使f（x）=O成立的叫做函数
y=fxx•D的零点•
2.二分法定义：
对于区间l.a,b1上连续，且fafb：
：
：
0的函数y=fX，通过不断把函
数fx的零点所在的区间,使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似
值的方法，叫做二分法.注：
该法一般求的是近似解.
3•解函数应用题，一般可按以下四步进行.
（1）阅读理解，认真审题.
（2）引进数学符号，建立数学模型.
（3）禾U用数学的方法将得到的常规数学问题给出解答，求得结果.
（4）转译成具体问题做出回答.
必修二
（1）多面体和旋转体
1•多面体和旋转体的概念
（1）棱柱：
有两个面，其余各面都是，并且每相邻两个四边形的公共
边都，由这些面围成的多面体叫做棱柱.
（2）棱锥：
有一个面是，其余各面都是，由这些面所围成的多面体叫做
棱锥.
（3）棱台：
用一个去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台.
（4）圆柱：
以为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.
（5）圆锥：
以为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.
（6）圆台：
①用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.②
圆台还可以看成是以为旋转轴，其余三边旋转形成的面
所围成的旋转体•
（7）球：
以为旋转轴，旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.
2.多面体和旋转体的面积和体积公式
（2）画法
1•我们把形成的投影，叫做中心投影，中心投影的投影
线•
2•我们把形成的投影，叫做平行投影，平行投影的投影线
是•
在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做，否则叫做•
3•光线从几何体的，得到投影图叫做几何体的主视图；光线从几何体
的,得到投影图叫做几何体的左视图；光线从几何体
的，得到投影图叫做几何体的俯视图；几何体的主视图、左视图和俯
视图统称为几何体的三视图.
一般地，一个几何体的左视图和主视图一样，俯视图与正视图一样，侧视图
与俯视图一样.
一般地，左视图在主视图的右边，俯视图在主视图的下边._
4•斜二测画法的步骤：
（1）在已知图形中取的x轴和y轴，两轴交于点0.画直观图时，把它们画
成对应的x'轴与y轴，两轴交于点o*，且使厶oy”=（或）,它们确定的平
面表示水平平面.
（2）已知图形中于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成于x轴或y•轴
的线段.
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中，平行于y轴的线段，长度
为•
（3）点线面位置关系
1•四个公理
公理1如果一条直线上的，那么这条直线在此平面内；
公理2过，有且只有一个平面；
公理3如果两个不重合的平面有一个公共点
那么它们过
该点的公共直线；
公理4的两条直线互相平行；
2•异面直线
（1）我们把的两条直线叫做异面直线.
（2）空间两条直线的位置关系：
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同一平面内，有且只有一个公共点；
同一平面内，没有公共点；（3）已知两条异面直线
直线不同在任何一个平面内，没有公共点
叫做异面直线a
空间任一点0作直线a'Ha,b//b,我们把a与b所成的
与b所成的角（或夹角）
（4）定理：
空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个
角—
3.空间中直线与平面之间的位置关系：
（1）有无数个公共点；
（2）――有且只有一个公共点；
（3）――没有公共点；
直线与平面的情况统称为直线在平面外.
4.平面与平面之间的位置关系：
（1）――没有公共点；
（2）――有一条公共直线.
（4）平行问题
1.定义：
，则称此直线l与平面a平面，记作；
直线与平面平行的判定定理：
平面外一条直线与平行，则该直线与此
平面平行；
用符号表示：
.
2.直线与平面平行的性质定理：
一条直线与一个平面平行，则过与该直线平行；
用符号表示：
.
3.平面与平面平行的判定定理：
一个平面内的
另一个平面平行，则这两个平面平行；用符号表示：
几个结论：
1如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行；
2平行于同一平面的两个平面平行；
3如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个
平面平行；
4.平面与平面平行的性质定理：
且符号表示：
.
5.直线与平面垂直的性质定理：
用符号表
示：
.
（五）垂直问题
1.定义：
如果直线I和平面a内的都垂直，那么直线l和平面a垂直，记
作.
2.直线与平面垂直的判定定理：
一条直线与一个平面内的都垂直，则
该直线与此平面垂直.
用符号表示：
3.直线与平面垂直的性质定理：
.
用符号表示：
.
4.平面与平面垂直的判定定理：
用符号表示：
.
5.平面与平面垂直的性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.用符号表示：
几个结论：
1如果两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线必垂直于第三个平面；
2如果两个平面互相垂直，那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内.
（六）角问题
1.已知两条异面直线a、b,经过空间任一点0作直线a，//a,b//b,我们把a与b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）两异面直线所成角范围
2.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,』做这条直线和这个平面所成
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的角.
一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；二条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角.
直线和平面所成角范围0,匸.
丁2」
3.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角白
棱，这两个半平面叫做二面角的面.
在二面角a-I-卩的棱I上任取一点O,以点O为垂足，在半平面a和卩内分别作垂直于棱I的射线OA和OB则射线OA和OB勾成的/AOB叫做二面角的平面角.
二面角的大小可以用它的平面角来衡量.平面角是直角的二面角叫做直二面角.二面角范围［0,二］.
（7）直线的概念与方程
1、直线倾斜角的概念：
当直线I与x轴相交时,我们取为基准,x轴的与
直线i所成的角:
-叫做直线I的倾斜角•并规定：
直线I与x轴时,它的
倾斜角为0〔直线的倾斜角的取值范围是
2、直线斜率的概念：
把一条直线倾斜角的叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字
母匕表示.直线倾斜角:
与斜率k的关系式为•当k=时,直线平行于x轴
或者与x轴重合；当k0时，直线的倾斜角为锐角；当k<0时，直线的倾斜角为;
倾斜角为的直线没有斜率•
3、两点斜率公式：
直线上两点A（x「yJ,B（x2,y2）,当x!
=x2时，直线的斜率,
当x^x2时,直线的斜率为k=.
4、直线方程的点斜式：
设直线I经过点P。
（X。
，y。
），且斜率为k,则方程称为直线方程的点斜式•当直线的斜率不存在时，不能够用点斜式来表示，直线方程此时为_
5、直线方程的斜截式：
直线方程y二kx•b由直线的斜率k和它在y轴上的截距b确定，
所以方程y=kxb被称为直线方程的斜截式.斜率不存在时，直线方程斜截式不存在.
6、直线方程的两点式：
已知经过两点Pi（x-|,y!
）,P2（x2,y2）（x^-=x2,y^-=y2）的直线方
程为11二二!
^称为直线方程为直线方程的两点式.直线两点式方程的前提是直
y-yiX2-xi
线的斜率存在且斜率不为0.
7、直线方程的截距式直线在_上的截距为a,在
上的截距为b,则直线方程称为直线方程的截距式.应用截距式的前提有斜率存在且不为0,还要求直线不能过原点•
8、直线方程的一般式：
二元一次方程Ax-.-By=0（A,B不同时为0）表示的直线方程称为直线方程的一般形式•当B=0时,可变形为,它表示一条斜率为
且在y轴上截距为的直线；
（8）直线的关系和距离
1、直线平行的条件：
两条不重合的直线h、|2,根据两条直线平行的定义及性质可知
h〃I2U>1=>2,再由k与壽的关系可知：
li〃l2时或者ki、k2均;反
之k^k2或者k1>k2均不存在时两条直线平行。
考查两条直线平行时，应首先考虑斜率是否存在。
2、直线垂直的条件：
两条直线li、12的倾斜角为：
'1^'2则两条直线
h—l2=丨二》-「2I=90.根据两条直线的斜率判断两条直线垂直的情况分为两类，一一
是:
其中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为;二是:
两条直线的斜率都
存在，且乘积为.
3、直线h:
A1X-B°C^0,直线丨2:
A2XB2yC2=0,重合的条件是：
平行的条件是.
垂直的条件是:
.
4、两条直线交点的求法：
直线l1：
A1xB1yC^0,直线l1:
A2xB2yC^0.两
条直线相交的条件是，直线的交点的坐标为方
程组的解.
5、两点间的距离公式：
平面内任意两点A（x1,y1）,B（x2,y2）之间的距离为
|AB|=,
当Xj=X2时|AB|=:
当y=y时|AB|=
6、点到直线的距离公式：
平面内任意一点P（x0,y0）到任意一条直线l:
AxBy0
的距离为,特别的，当B=0时,当A=0时.
7、两平行线的距离：
直线11:
A1xB1y*0=0与丨2:
Ax•B1yC^0平行,
则.
（九）圆的方程
1.圆的标准方程的意义
当圆心位置和半径的大小确定后，圆就唯一确定了，根据圆的定义和两点间的距离公
式，得到圆的标准方程，圆心，半径r（r>0），所以判断点
与圆的位置关系，只需判断与半径的大小关系即可。
2.圆的一般方程
22
D2E2-4F=
时，表示点（
），若D2E2-4F
:
:
：
0,
方程xyDxEyF=0，则可变形为
（十）直线和圆圆和圆位置关系
1•点和圆的位置关系
1点到圆心距离半径，点在圆上；
2点到圆心的距离半径，点在圆内；
3点到圆心的距离半径，点在圆外•
2.直线与圆有三种位置关系
1直线与圆，有两个公共点；
2直线与圆，只有一个公共点；
3直线与圆，没有公共点；
3.判断直线与圆的位置关系的方法有两种
①设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，若，直线与圆相交;
若，直线与圆相切；
若，直线与圆相离。
②直线与圆的方程组成方程组，
若方程组有解，则直线与圆相交；
若方程组有解，则直线与圆相切；
若方程组，则直线与圆相离.
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4.判断圆与圆的位置关系：
设两圆的半径分别为r1,r2，两圆的圆心距为d，则
时，两圆外离；
时，两圆外切；
时，两圆相交；
时，两圆内切；时，两圆内含.
必修三
（一）算法
1.算法通常是指用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步
骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成
2.程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明
来准确、直观地表示算法的图形•几种常用的图形符号的名称及作用如下：
图形符号
名称
作用
*1
表示算法的开始或结束
赋值、计算、数据传送
//
输入的数据或信息的输出
O
根据条件决定不同的流向
3.算法的三种基本逻辑结构是、和.
4.输入语句、输出语句分别用来实现算法的一输入和输出功能•其一般格式为:
输入语句：
输出语句：
5.赋值语句的功能是给变量赋初值或计算，其一般格式是:
变量=表达式。
6•条件语句表达算法中条件结构•其一般格式为:
格式一
7.循环语句有两种类型，其一般格式是:
（5）基本函数：
一次二次函数
1.^kxb（k=0）叫做一次函数，它的定义域和值域皆为R
3.函数的解析式的三种形式：
1一般式;
2顶点式;
3零点式;
4.二次函数的图象与性质
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