学案18导数的应用极值与最值.docx

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学案18导数的应用极值与最值

总课题

高三一轮复习---导数

总课时

课题

极值与最值

课型

复习课

教学

目标

1、理解极值、最值的含义

2、在熟练掌握导数运算的基础上，利用导数规范、熟练求解函数的单调性、极值、最值问题.

教学

重点

会用导数求函数的极大值、极小值（多项式函数一般不超过三次）及最大（最小）值．

教学

难点

利用导数规范、熟练求解函数的单调性、极值、最值问题.

学法

指导

自主复习《选修2-2》第1章，回顾以前所学，在充分自学和小组讨论的基础上完成导学案。

教学

准备

导学案导学《步步高》一轮复习资料自主学习

高考

要求

利用导数研究函数的极值与最值B

教学过程

师生互动

个案补充

第1课时：

一、基础知识梳理

1.函数的极值

（1）判断f（x0）是极值的方法

一般地，当函数f（x）在点x0处连续时，

①如果在x0附近的左侧，右侧，那么f（x0）是极大值；

②如果在x0附近的左侧，右侧，那么f（x0）是极小值.

（2）求可导函数的极值的步骤（一般要求用列表的方法表达）

①求f′（x）；

②求方程的根；

③检查f′（x）在方程的根的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得.

2.函数的最值

（1）在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值.

（2）若函数f（x）在[a，b]上单调递增，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数f（x）在[a，b]上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值.

（3）设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，求f（x）在[a，b]上的最大值和最小值的

步骤如下：

①求f（x）在区间（a，b）内的；

②将f（x）的各极值与进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

二、基础练习训练

1.判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）f′（x）>0是f（x）为增函数的充要条件.（　　）

（2）函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.（　　）

（3）函数的极大值不一定比极小值大.（　）

（4）对可导函数f（x），f′（x0）＝0是x0点为极值点的充要条件.（　　）

（5）函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.（　　）

（6）函数f（x）＝xsinx有无数个极值点.（　　）

2.函数y＝2x3－2x2在区间[－1,2]上的最大值是_____．

3．如图是y＝f（x）的导函数的图象，对于下列四个判断：

①f（x）在[－2，－1]上是增函数；

②x＝－1是f（x）的极小值点；

③f（x）在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数；

④x＝3是f（x）的极小值点.

其中正确的判断是________.（填序号）

4.函数

的极大值为

5.（2010·福州模拟）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则f

（2）＝________.

6.若

既有极大值又有极小值，则

的取值范围为____

三、典型例题分析

题型一:

利用导数研究函数的极值

例1：

求

的极值，其中

为常数。

随堂训练：

求

的极值

第2课时

例2：

已知函数f（x）＝x3－3ax2＋3x＋1.

（1）设a＝2，求f（x）的单调区间；

（2）设f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的取值范围.

随堂训练：

设x＝1与x＝2是函数f（x）＝alnx＋bx2＋x的两个极值点．

（1）试确定常数a和b的值；

（2）试判断x＝1，x＝2是函数f（x）的极大值点还是极小值点，并说明理由．

题型二　利用导数研究函数的最值

例3：

已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f（x）在点x＝1处的切线为l：

3x－y＋1＝0，若x＝

时，y＝f（x）有极值．

（1）求a，b，c的值；

（2）求y＝f（x）在[－3,1]上的最大值和最小值．

随堂训练：

已知函数f（x）＝（x－k）ex.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）求f（x）在区间[0,1]上的最小值.

第3课时

题型三　利用导数解决函数零点问题

例4：

设a为实数，已知函数f（x）＝

x3－ax2＋（a2－1）x.

（1）当a＝1时，求函数f（x）的极值；

（2）若方程f（x）＝0有三个不等实数根，求实数a的取值范围．

随堂训练：

若函数f（x）＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f（x）有极值－

.

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）若关于x的方程f（x）＝k有三个零点，求实数k的取值范围．

五、课堂总结：

六、教（学）反思：

七、课后作业

1、《步练》P233A组；

2、一轮复习作业纸18；

课后作业

一轮复习作业纸18：

导数的应用极值与最值

1.函数f（x）＝x＋

的单调减区间为________.

（2011·泰州实验一模）函数f（x）＝x－lnx的单调减区间为________．

2.函数f（x）＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是________.

已知函数f（x）＝2x3－6x2＋m（m为常数）在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是______．

3．已知函数f（x）＝x3＋mx2＋（m＋6）x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围为________．

4.已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，给出以下结论：

①函数f（x）在（－2，－1）和（1,2）上是单调递增函数；

②函数f（x）在（－2,0）上是单调递增函数，在（0,2）上是单调递减函数；

③函数f（x）在x＝－1处取得极大值，在x＝1处取得极小值；

④函数f（x）在x＝0处取得极大值f（0）．

则正确命题的序号是________．（填上所有正确命题的序号）．

5.设点P在曲线

上，点Q在直线

上，则PQ的最小值为_____．

*设点P在曲线y＝ex上，点Q在曲线y＝lnx上，则PQ的最小值为_____．

6.若a＞0，b＞0，且函数f（x）＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值为________．

7.已知函数f（x）＝－

x2＋4x－3lnx在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________.

*8.设f（x）是定义在R上的可导函数，且满足f（x）＋xf′（x）>0，则不等式f（

）>

·f（

）的解集为________．

9.已知函数f（x）＝x3－ax2－3x.

（1）若f（x）在[1，＋∞）上是增函数，求实数a的取值范围；

（2）若x＝3是f（x）的极值点，求f（x）的单调区间．

10.（2013·课标全国Ⅰ）已知函数f（x）＝ex（ax＋b）－x2－4x，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝4x＋4.

（1）求a，b的值；

（2）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值.

10.已知函数f（x）＝x2＋bsinx－2（b∈R），F（x）＝f（x）＋2，且对于任意实数x，恒有F（x）－F（－x）＝0.

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）已知函数g（x）＝f（x）＋2（x＋1）＋alnx在区间（0,1）上单调递减，求实数a的取值范围.

解　

（1）F（x）＝f（x）＋2＝x2＋bsinx－2＋2＝x2＋bsinx，

依题意，对任意实数x，恒有F（x）－F（－x）＝0.

即x2＋bsinx－（－x）2－bsin（－x）＝0，

即2bsinx＝0，所以b＝0，所以f（x）＝x2－2.

（2）∵g（x）＝x2－2＋2（x＋1）＋alnx，

∴g（x）＝x2＋2x＋alnx，

g′（x）＝2x＋2＋

.

∵函数g（x）在（0,1）上单调递减，∴在区间（0,1）内，

g′（x）＝2x＋2＋

＝

≤0恒成立，

∴a≤－（2x2＋2x）在（0,1）上恒成立.

∵－（2x2＋2x）在（0,1）上单调递减，∴a≤－4为所求.

已知函数f（x）＝ax－lnx，g（x）＝

，它们的定义域都是（0，e]，其中e是自然对数的底e≈2.7，a∈R.

（1）当a＝1时，求函数f（x）的最小值；

（2）当a＝1时，求证：

f（m）>g（n）＋

对一切m，n∈（0，e]恒成立；

（3）是否存在实数a,使得f（x）的最小值是3？

如果存在,求出a的值；如果不存在，说明理由．

总课题

高三一轮复习---导数

总课时

课题

极值与最值

课型

复习课

教学

目标

1、理解极值、最值的含义

2、在熟练掌握导数运算的基础上，利用导数规范、熟练求解函数的单调性、极值、最值问题.

教学

重点

会用导数求函数的极大值、极小值（多项式函数一般不超过三次）及最大（最小）值．

教学

难点

利用导数规范、熟练求解函数的单调性、极值、最值问题.

学法

指导

自主复习《选修2-2》第1章，回顾以前所学，在充分自学和小组讨论的基础上完成导学案。

教学

准备

导学案导学《步步高》一轮复习资料自主学习

高考

要求

利用导数研究函数的极值与最值B

教学过程

师生互动

个案补充

第1课时：

一、基础知识梳理

1.函数的极值

（1）判断f（x0）是极值的方法

一般地，当函数f（x）在点x0处连续时，

①如果在x0附近的左侧f′（x）>0，右侧f′（x）<0，那么f（x0）是极大值；

②如果在x0附近的左侧f′（x）<0，右侧f′（x）>0，那么f（x0）是极小值.

（2）求可导函数的极值的步骤（一般要求用列表的方法表达）

①求f′（x）；

②求方程f′（x）＝0的根；

③检查f′（x）在方程f′（x）＝0的根的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值.

2.函数的最值

（1）在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值.

（2）若函数f（x）在[a，b]上单调递增，则f（a）为函数的最小值，f（b）为函数的最大值；若函数f（x）在[a，b]上单调递减，则f（a）为函数的最大值，f（b）为函数的最小值.

（3）设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，求f（x）在[a，b]上的最大值和最小值的

步骤如下：

①求f（x）在区间（a，b）内的极值；

②将f（x）的各极值与f（a），f（b）进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

二、基础练习训练

1.判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）f′（x）>0是f（x）为增函数的充要条件.（　×　）

（2）函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.（　×　）

（3）函数的极大值不一定比极小值大.（　√　）

（4）对可导函数f（x），f′（x0）＝0是x0点为极值点的充要条件.（　×　）

（5）函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.（　√　）

（6）函数f（x）＝xsinx有无数个极值点.（　√　）

2.函数y＝2x3－2x2在区间[