八年级数学线段和最小值问题教师版.docx
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八年级数学线段和最小值问题教师版
线段(和)最小值问题
轴对称与等腰三角形
1、如图,△ABC中,AB=5,AC=6,BC=4,边AB的垂直平分线交AC于点D,则△BDC的周长是10。
(第1题)
(第2题)
2、如图是由九个等边三角形组成的一个六边形,当最小的等边三角形边长为2cm时,这个六边形的周长
为60cm。
3、如图,△ABC为等边三角形,在平面内找一点P,使△PAB、△PBC、△PAC均为等腰三角形,则这样的点P共有10个。
(备用图)
知识点轴对称与线段和最小
1、两定一动
(1)如图,点A、B在直线l的两侧,在l上求一点P,使得PA+PB最小。
(2)如图,点A、B在直线l的同侧,在l上求一点P,使得PA+PB最小。
2、三定一动
平面直角坐标系中有三点A(6,4)、B(4,6)、C(0,2),在x轴上找一点D,使得四边形ABCD的周长最小,则点D的坐标应该是(2,0)。
3、一定两动型
如图,点A是∠MON内部一点,在∠MON的两边OM、ON上各取一点B、C,与点A组成三角形,使△ABC的周长最小。
4、两定两动型
(1)AB是∠MON内部一条线段,在∠MON的两边OM、ON上各取一点C、D组成四边形,使四边形周长最小。
(2)平面直角坐标系中有两点A(6,4)、B(4,6),在y轴上找一点C,在x轴上找一点D,使得四边形ABCD的周长最小,则点C的坐标应该是(0,2),点D的坐标应该是(2,0)。
5、定点与定长线段
点M、N在直线l同侧,请你在直线l上画出两点O、P,使得OP=1cm,且MO+OP+PN的值最小。
(轴对称与平移的结合)
【例题精讲一】
例1:
1、如图,在直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(1,4)和(3,0),点C是y轴上的一个动点,且A、B、C三点不在同一条直线上,当△ABC的周长最小时,点C的坐标是(0,3)。
2、如图,在所给网格图(每小格均为边长是1的正方形)中完成下列各题:
(用直尺画图)
(1)画出格点△ABC(顶点均在格点上)关于直线DE对称的△A1B1C1;
(2)在DE上画出点P,使PB1+PC最小;(3)在DE上画出点Q,使QA+QC最小。
【课堂练习】
1、如图,在等腰△ABC中,AB=BC,∠B=120°,AC边上的高为1,M、N分别是AB、BC边上的中点,点P是边AC上的动点,则MP+NP的最小值为________。
2
2、如图,在平面直角坐标系中,A(﹣1,5),B(﹣1,0),C(﹣4,3)。
(1)在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1;
(2)在y轴上找出一点P,使得PA+PB的值最小,直接写出点P的坐标;
(3)在平面直角坐标系中,找出一点A2,使△A2BC与△ABC关于直线BC对称,直接写出点A2的坐标。
(2)(0,
)
(3)(﹣6,0)
【例题精讲二】
例2、如图,∠AOB=30°,点P为∠AOB内一点,OP=8。
点M、N分别在OA、OB上,则△PMN周长的最小值为__________。
8
【课堂练习】
如图,在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,AD平分∠CAB,且AD=12,点Q、P分别是AC、AD上的动点,要使CP+PQ最小,请找出此时点Q的位置并求出最小值。
点C、B关于AD对称,
BQ⊥AC时CP+PQ最小为
【例题精讲三】
例3、如图,∠MON=40°,点P是∠MON中的一定点,点A、B分别在OM、ON上移动.当△PAB周长最小时,∠APB的值为。
100°
2∠MON+∠APB=180°
【课堂练习】
四边形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,点M、N分别是BC、CD边上的动点,当△AMN周长最小时,∠AMN+∠ANM的度数是__________。
120°
2∠BAD-∠MAN=180°
1.如图,P为∠AOB内一定点,M、N分别是射线OA、OB上一点,当△PMN周长最小时,∠MPN=110°,则∠AOB=()A
A.35°B.40°C.45°D.55°
(第1题)
(第2题)
(2015·硚口期中)2.如图,∠AOB=30°,M,N分别是边OA,OB上的定点,P、Q分别是边OB,OA上的动点,记∠AMP=∠1,∠ONQ=∠2,当MP+PQ+QN最小时,则关于∠1、∠2的数量关系正确的是( )D
A.∠1+∠2=90°B.2∠2﹣∠1=30°C.2∠1+∠2=180°D.∠1﹣∠2=90°
3.如图,等腰三角形ABC底边BC的长为4cm,面积是12cm2,腰AB的垂直平分线分别交AB、AC于点E、F。
若D为BC边上的中点,M为线段EF上一动点,则△BDM的周长最短为_________cm。
8
(第3题)
(第4题)
4.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BA=6,点E在AB边上,点D是BC边上一点(不与点B、C重合),且AE=ED,线段AE的最小值是 。
2
5.如图,四边形ABCD中,∠BAD=110°,∠B=∠D=90°,在BC、CD上分别找一点M、N,使△AMN周长最小时,∠MAN=。
40°
(第5题)
(第6题)
6.如图,△ABC中,∠ABC=150°,CD是角平分线,BC=a,AC=b,AB=c,点E、F分别是BC、CD上两点,则BF+EF的最小值是。
7.如图,正△AOB的边长为4,AB⊥x轴于点E,点C为x轴上一动点,以AC为边在直线AC下方作正△ACD,连接ED,求ED的最小值。
法一:
连接DB并延长交x轴于点G,
△AOC≌△ABD得∠AOC=∠ABD=150°
∴∠EBG=30°∴∠EGB=60°
∴点D在直线BG上运动
当ED⊥BG时,ED最小,此时ED=
=1
法二:
取OA的中点F,连接CF,得△ACF≌△ADE
∴DE=CF
当FC⊥x轴时,FC最短即DE最短,此时FC=
=1
∴ED的最小值是1
七一12月)8.如图,在平面直角坐标系中,OA=OB=2,点D在y轴上运动,以BD为腰向下作等腰直角△BDE,∠DBE=90°,K为DE中点,T为OB中点,当线段KT最短时,求此时D点坐标。
(备用图)
(硚口期末)9.在平面直角坐标系中,点A在y轴正半轴上。
(1)如图1,以OA为底边向第一象限作等腰△OAK,直线BC∥y轴,交AK、OK分别于点B、C。
求证:
AB=OC;
(2)如图2,在
(1)的条件下,点D(2a,0)(a>0),点P(a,b)在线段AD上,连接PB、PC,求证:
PB=PC;
(3)如图3(示意草图),已知A(0,2),E(6,3),M(m,0),N(m+1,0),若AM+MN+NE最小,请在备用图中画出线段MN(保留主要画图痕迹),并求出点M的坐标。
M(2,0),N(3,0)
解:
(1)证明:
依题意AK=OK,得∠KAO=∠KOA,……1分
∵BC∥y轴∴∠KBC=∠KAO=∠KOA=∠KCB
∴KB=KC……2分
∴AK-KB=KO-KC,即AB=OC;……3分
(2)连接OP,过P作PE⊥OD于E,∵点D(2a,0),点P(a,b)
∴OD=2a,OE=a,∴OE=ED,∴PO=PD……4分
∴∠POD=∠PDO
又∵∠POD+∠POA=∠PDO+∠DAO=900
∴∠POA=∠PAO……5分
∴PA=PO,∠PAB=∠POC
又∵AB=OC,∴△PAB≌△POC,∴PB=PC……6分
(3)将点E(6,3)向左平移一个单位长度至点E1(5,3),……7分
作点A(0,2)关于x轴的对称点A1(0,-2)……8分
连接E1A1交于x轴点M,作E1H⊥A1A于H,得E1H=5=A1H
∴∠E1A1H=450∴∠OMA1=450……9分
∴OM=OA1=2即点M的坐标为(2,0)……10分