八年级数学线段和最小值问题教师版.docx

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八年级数学线段和最小值问题教师版

线段（和）最小值问题

轴对称与等腰三角形

1、如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是10。

（第1题）

（第2题）

2、如图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm时，这个六边形的周长

为60cm。

3、如图，△ABC为等边三角形，在平面内找一点P，使△PAB、△PBC、△PAC均为等腰三角形，则这样的点P共有10个。

（备用图）

知识点轴对称与线段和最小

1、两定一动

（1）如图，点A、B在直线l的两侧，在l上求一点P，使得PA＋PB最小。

（2）如图，点A、B在直线l的同侧，在l上求一点P，使得PA＋PB最小。

2、三定一动

平面直角坐标系中有三点A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点D的坐标应该是（2，0）。

3、一定两动型

如图，点A是∠MON内部一点，在∠MON的两边OM、ON上各取一点B、C，与点A组成三角形，使△ABC的周长最小。

4、两定两动型

（1）AB是∠MON内部一条线段，在∠MON的两边OM、ON上各取一点C、D组成四边形，使四边形周长最小。

（2）平面直角坐标系中有两点A（6，4）、B（4，6），在y轴上找一点C，在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点C的坐标应该是（0，2），点D的坐标应该是（2，0）。

5、定点与定长线段

点M、N在直线l同侧，请你在直线l上画出两点O、P，使得OP＝1cm，且MO＋OP＋PN的值最小。

（轴对称与平移的结合）

【例题精讲一】

例1：

1、如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（0，3）。

2、如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：

（用直尺画图）

（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；

（2）在DE上画出点P，使PB1＋PC最小；（3）在DE上画出点Q，使QA＋QC最小。

【课堂练习】

1、如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，∠B＝120°，AC边上的高为1，M、N分别是AB、BC边上的中点，点P是边AC上的动点，则MP＋NP的最小值为________。

2

2、如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）。

（1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；

（2）在y轴上找出一点P，使得PA＋PB的值最小，直接写出点P的坐标；

（3）在平面直角坐标系中，找出一点A2，使△A2BC与△ABC关于直线BC对称，直接写出点A2的坐标。

（2）（0，

）

（3）（﹣6，0）

【例题精讲二】

例2、如图，∠AOB＝30°，点P为∠AOB内一点，OP＝8。

点M、N分别在OA、OB上，则△PMN周长的最小值为__________。

8

【课堂练习】

如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD平分∠CAB，且AD＝12，点Q、P分别是AC、AD上的动点，要使CP＋PQ最小，请找出此时点Q的位置并求出最小值。

点C、B关于AD对称，

BQ⊥AC时CP＋PQ最小为

【例题精讲三】

例3、如图，∠MON＝40°，点P是∠MON中的一定点，点A、B分别在OM、ON上移动．当△PAB周长最小时，∠APB的值为。

100°

2∠MON＋∠APB＝180°

【课堂练习】

四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，点M、N分别是BC、CD边上的动点，当△AMN周长最小时，∠AMN＋∠ANM的度数是__________。

120°

2∠BAD－∠MAN＝180°

1．如图，P为∠AOB内一定点，M、N分别是射线OA、OB上一点，当△PMN周长最小时，∠MPN＝110°，则∠AOB＝（）A

A．35°B．40°C．45°D．55°

（第1题）

（第2题）

（2015·硚口期中）2．如图，∠AOB＝30°，M，N分别是边OA，OB上的定点，P、Q分别是边OB，OA上的动点，记∠AMP＝∠1，∠ONQ＝∠2，当MP＋PQ＋QN最小时，则关于∠1、∠2的数量关系正确的是（　　）D

A．∠1＋∠2＝90°B．2∠2﹣∠1＝30°C．2∠1＋∠2＝180°D．∠1﹣∠2＝90°

3．如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线分别交AB、AC于点E、F。

若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为_________cm。

8

（第3题）

（第4题）

4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BA＝6，点E在AB边上，点D是BC边上一点（不与点B、C重合），且AE＝ED，线段AE的最小值是　　　。

2

5．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝110°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，∠MAN＝。

40°

（第5题）

（第6题）

6．如图，△ABC中，∠ABC＝150°，CD是角平分线，BC＝a，AC＝b，AB＝c，点E、F分别是BC、CD上两点，则BF＋EF的最小值是。

7．如图，正△AOB的边长为4，AB⊥x轴于点E，点C为x轴上一动点，以AC为边在直线AC下方作正△ACD，连接ED，求ED的最小值。

法一：

连接DB并延长交x轴于点G，

△AOC≌△ABD得∠AOC＝∠ABD＝150°

∴∠EBG＝30°∴∠EGB＝60°

∴点D在直线BG上运动

当ED⊥BG时，ED最小，此时ED＝

＝1

法二：

取OA的中点F，连接CF，得△ACF≌△ADE

∴DE＝CF

当FC⊥x轴时，FC最短即DE最短，此时FC＝

＝1

∴ED的最小值是1

七一12月）8．如图，在平面直角坐标系中，OA＝OB＝2，点D在y轴上运动，以BD为腰向下作等腰直角△BDE，∠DBE＝90°，K为DE中点，T为OB中点，当线段KT最短时，求此时D点坐标。

（备用图）

（硚口期末）9．在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上。

（1）如图1，以OA为底边向第一象限作等腰△OAK，直线BC∥y轴，交AK、OK分别于点B、C。

求证：

AB＝OC；

（2）如图2，在

（1）的条件下，点D（2a，0）（a＞0），点P（a，b）在线段AD上，连接PB、PC，求证：

PB＝PC；

（3）如图3（示意草图），已知A（0，2），E（6，3），M（m，0），N（m＋1，0），若AM＋MN＋NE最小，请在备用图中画出线段MN（保留主要画图痕迹），并求出点M的坐标。

M（2，0），N（3，0）

解：

（1）证明：

依题意AK=OK,得∠KAO=∠KOA,……1分

∵BC∥y轴∴∠KBC=∠KAO=∠KOA=∠KCB

∴KB=KC……2分

∴AK-KB=KO-KC,即AB=OC；……3分

（2）连接OP,过P作PE⊥OD于E,∵点D（2a，0），点P（a，b）

∴OD=2a,OE=a,∴OE=ED,∴PO=PD……4分

∴∠POD=∠PDO

又∵∠POD+∠POA=∠PDO+∠DAO=900

∴∠POA=∠PAO……5分

∴PA=PO,∠PAB=∠POC

又∵AB=OC，∴△PAB≌△POC,∴PB=PC……6分

（3）将点E（6,3）向左平移一个单位长度至点E1（5,3），……7分

作点A（0,2）关于x轴的对称点A1（0,-2）……8分

连接E1A1交于x轴点M,作E1H⊥A1A于H,得E1H=5=A1H

∴∠E1A1H=450∴∠OMA1=450……9分

∴OM=OA1=2即点M的坐标为（2,0）……10分