二元一次方程组应用题题型分析及练习.docx

二元一次方程组应用题题型分析及练习.docx

《二元一次方程组应用题题型分析及练习.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二元一次方程组应用题题型分析及练习.docx（28页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

二元一次方程组应用题题型分析及练习

二元一次方程组应用探索

二元一次方程组是最简单的方程组，其应用广泛，尤其是生活、生产实践中的许多问题，大多需要通过设元、布列二元一次方程组来加以解决，现将常见的几种题型归纳如下：

一、数字问题

例1一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数．

分析：

设这个两位数十位上的数为x，个位上的数为y，则这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表表示：

十位上的数

个位上的数

对应的两位数

[

相等关系

原两位数

x

y

10x+y

10x+y=x+y+9

新两位数

y

ｘ

10y+x

…

10y+x=10x+y+27

解方程组

，得

，因此，所求的两位数是14．

点评：

由于受一元一次方程先入为主的影响，不少同学习惯于只设一元，然后列一元一次方程求解，虽然这种方法十有八九可以奏效，但对有些问题是无能为力的，象本题，如果直接设这个两位数为x，或只设十位上的数为x，那将很难或根本就想象不出关于x的方程．一般地，与数位上的数字有关的求数问题，一般应设各个数位上的数为“元”，然后列多元方程组解之．

二、利润问题

例2一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少

分析：

商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此，设此商品的定价为x元，进价为y元，则打九折时的卖出价为元，获利元，因此得方程=20%y；打八折时的卖出价为元，获利元，可得方程=10.

解方程组

，解得

，

因此，此商品定价为200元．

点评：

商品销售盈利百分数是相对于进价而言的，不要误为是相对于定价或卖出价．利润的计算一般有两种方法，一是：

利润=卖出价-进价；二是：

利润=进价×利润率（盈利百分数）．特别注意“利润”和“利润率”是不同的两个概念．

三、配套问题

[

例3　某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套

分析：

要使生产出来的产品配成最多套，只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套，根据题意，每天生产的螺栓与螺母应满足关系式：

每天生产的螺栓数×2=每天生产的螺母数×1．因此，设安排ｘ人生产螺栓，ｙ人生产螺母，则每天可生产螺栓25ｘ个，螺母20ｙ个，依题意，得

，解之，得

．

故应安排20人生产螺栓，100人生产螺母．

点评：

产品配套是工厂生产中基本原则之一，如何分配生产力，使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人员常见的问题，解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系，其中两种最常见的配套问题的等量关系是：

（1）“二合一”问题：

如果ａ件甲产品和ｂ件乙产品配成一套，那么甲产品数的ｂ倍等于乙产品数的ａ倍，即

；

（2）“三合一”问题：

如果甲产品ａ件，乙产品ｂ件，丙产品ｃ件配成一套，那么各种产品数应满足的相等关系式是：

．

四、行程问题

例4　在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站，A到B的距离为120千米，B到C的距离也是120千米．分别在A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A、C两个加油站驶去，结果往B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上．问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少

【研析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x、y千米/时，则

#

，整理，得

，解得

，

因此，巡逻车的速度是80千米/时，犯罪团伙的车的速度是40千米/时．

点评：

“相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存在着一个相等关系，这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间，具体表现在：

“相向而遇”时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离；

“同向追及”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离．

五、货运问题

典例5某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6立方米，乙种货物每吨的体积为2立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两重货物应各装多少吨

分析：

“充分利用这艘船的载重和容积”的意思是“货物的总重量等于船的载重量”且“货物的体积等于船的容积”．设甲种货物装x吨，乙种货物装y吨，则

，整理，得

，解得

，

因此，甲、乙两重货物应各装150吨．

$

点评：

由实际问题列出的方程组一般都可以再化简，因此，解实际问题的方程组时要注意先化简，再考虑消元和解法，这样可以减少计算量，增加准确度．化简时一般是去分母或两边同时除以各项系数的最大公约数或移项、合并同类项等．

六、工程问题

例6某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的

；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套要求的期限是几天

分析：

设订做的工作服是x套，要求的期限是y天，依题意，得

，解得

.

点评：

工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个基本量的关系，即“工作量=工作时间×工作效率”以及它们的变式“工作时间=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作时间”．其次注意当题目与工作量大小、多少无关时，通常用“1”表示总工作量．

《二元一次方程组实际问题》赏析

~

【知识链接】

列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：

（1）审：

通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；

（2）找：

找出能够表示题意两个相等关系；

（3）列：

根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；

（4）解：

解这个方程组，求出两个未知数的值；

（5）答：

在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案.

【典题精析】

例1（2006年南京市）某停车场的收费标准如下：

中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆.现在停车场有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费230元，问中、小型汽车各有多少辆

解析：

设中型汽车有x辆，小型汽车有y辆.由题意，得

*

解得，

故中型汽车有15辆，小型汽车有35辆.

例2（2006年四川省眉山市）某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下表所示：

销售方式

直接销售

粗加工后销售

精加工后销售

每吨获利（元）

100

!

250

450

现在该公司收购了140吨蔬菜，已知该公司每天能精加工蔬菜6吨或粗加工蔬菜16吨（两种加工不能同时进行）．

（1）如果要求在18天内全部销售完这140吨蔬菜，请完成下列表格：

销售方式

全部直接销售

全部粗加工后销售

尽量精加工，剩余部分直接销售

获利（元）

%

（2）如果先进行精加工，然后进行粗加工，要求在15天内刚好加工完140吨蔬菜，则应如何分配加工时间

解：

（1）全部直接销售获利为：

100×140=14000（元）；

全部粗加工后销售获利为：

250×140=35000（元）；

尽量精加工，剩余部分直接销售获利为：

450×（6×18）＋100×（140－6×18）=51800（元）.

（2）设应安排x天进行精加工，y天进行粗加工.

由题意，得

解得，

故应安排10天进行精加工，5天进行粗加工.

`

【跟踪练习】

为满足市民对优质教育的需求，某中学决定改变办学条件，计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍，拆除旧校舍每平方米需80元，建新校舍每平方米需700元.计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共7200平方米，在实施中为扩大绿地面积，新建校舍只完成了计划的80%，而拆除旧校舍则超过了计划的10%，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积.

（1）求：

原计划拆、建面积各是多少平方米

（2）若绿化1平方米需200元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约是多少平方米

答案：

（1）原计划拆、建面积各是4800平方米、2400平方米；

（2）可绿化面积为1488平方米.

}

二元一次方程组应用题

1.一次篮、排球比赛，共有48个队，520名运动员参加，其中篮球队每队10名，排球队每队12名，求篮、排球各有多少队参赛

2.某厂买进甲、乙两种材料共56吨，用去9860元。

若甲种材料每吨190元，乙种材料每吨160元，则两种材料各买多少吨

3.某人用24000元买进甲、乙两种股票，在甲股票升值15％，乙股票下跌10％时卖出，共获利1350元，试问某人买的甲、乙两股票各是多少元

/

4.一次篮、排球比赛，共有48个队，520名运动员参加，其中篮球队每队10名，排球队每队12名，求篮、排球各有多少队参赛

5.某厂买进甲、乙两种材料共56吨，用去9860元。

若甲种材料每吨190元，乙种材料每吨160元，则两种材料各买多少吨

6.某人用24000元买进甲、乙两种股票，在甲股票升值15％，乙股票下跌10％时卖出，共获利1350元，试问某人买的甲、乙两股票各是多少元

-

7.有甲乙两种债券年利率分别是10%与12%，现有400元债券，一年后获利45元，问两种债券各有多少

8.种饮料大小包装有3种，1个中瓶比2小瓶便宜2角，1个大瓶比1个中瓶加1个小瓶贵4角，大、中、小各买1瓶，需9元6角。

3种包装的饮料每瓶各多少元

9.某班同学去18千米的北山郊游。

只有一辆汽车，需分两组，甲组先乘车、乙组步行。

车行至A处，甲组下车步行，汽车返回接乙组，最后两组同时达到北山站。

已知汽车速度是60千米/时，步行速度是4千米/时，求A点距北山站的距离。

\

10.一级学生去饭堂开会，如果每4人共坐一张长凳，则有28人没有位置坐，如果6人共坐一张长凳，求初一级学生人数及长凳数．

11.两列火车同时从相距910千米的两地相向出发，10小时后相遇，如果第一列车比第二列车早出发4小时20分，那么在第二列火车出发8小时后相遇，求两列火车的速度．

12.购买甲种图书10本和乙种图书16本共付款410元，甲种图书比乙种图书每本贵15元，问甲、乙两种图书每本各买多少元

13.甲、乙两人分别从甲、乙两地同时相向出发，在甲超过中点50米处甲、乙两人第一次相遇，甲、乙到达乙、甲两地后立即返身往回走，结果甲、乙两人在距甲地100米处第二次相遇，求甲、乙两地的路程。

…

14.某工程车从仓库装上水泥电线杆运送到离仓库恰为1000米处的公路边栽立，要求沿公路的一边向前每隔100米栽立电线杆。

已知工程车每次至多只能运送电线杆4根，要求完成运送18根的任务，并返回仓库。

若工程车行驶每千米耗油m升（耗油量只考虑与行驶的路程有关），每升汽油n元，求完成此项任务最低的耗油费用。

15.某家庭前年结余5000元，去年结余9500元，已知去年的收入比前年增加了15%，而支出比前年减少了10%，这个家庭去年的收入和支出各是多少

16.某人装修房屋，原预算25000元。

装修时因材料费下降了20％，工资涨了10％，实际用去21500元。

求原来材料费及工资各是多少元

，

17.某单位甲、乙两人，去年共分得现金9000元，今年共分得现金12700元.已知今年分得的现金，甲增加50％，乙增加30％.两人今年分得的现金各是多少元

18.若干学生住宿,若每间住4人则余20人,若每间住8人,则有一间不空也不满,问宿舍几间,学生多少人

19.某运输公司有大小两种货车,2辆大车和3辆小车可运货吨,5辆大车和6辆小车可运货35吨,客户王某有货52吨,要求一次性用数量相等的大小货车运出,问需用大、小货车各多少辆

）

20.通讯员要在规定时间内到达某地，他每小时走15千米，则可提前24分钟到达某地；如果每小时走12千米，则要迟到15分钟。

求通讯员到达某地的路程是多少千米和原定的时间为多少小时

二元一次方程组测试题

一．填空题（10×3′=30′）

1、方程中含有＿个未知数，并且＿＿的次数是1，这样的方程是二元一次方程。

2、二元一次方程组的解题思想是＿＿＿＿＿＿，方法有＿＿＿，＿＿＿法。

3、将方程10－2（3-y）=3（2-x）变形，用含x的代数式表示y是＿＿＿＿＿。

4、已知3x2a+b－3－5y3a－2b+2=-1是关于x、y的二元一次方程，则（a+b）b=＿＿＿。

5、在公式s=v0t+

at2中,当t＝1时，s=13,当t=2时，s=42，则t=5时，s=_____。

）

6、解方程组

时，可以__________将x项的系数化相等，还可以____________将y项的系数化为互为相反数。

7、已知2x3m-2n+2ym+n与

x5y4n+1是同类项，则m=_____，n=_____。

8、写出2x+3y=12的所有非负整数解为_______________________________。

9、已知

=

=

则a∶b∶c=_______________。

10、已知

是方程2x－3y=1的解，则代数式

的值为_____。

二．选择题（10×3′=30′）

11、某校150名学生参加数学考试，人平均分55分，其中及格学生平均77分，不及格学生平均47分，则不及格学生人数为（）

A49B101C110D40

12、已知x+2y+3z=54，3x+y+2z=47，2x+3y+z=31，那么代数式x+y+z的值是（　　）

A、132B、32C、22D、17

…

13、若2x│m│+（m+1）y=3m-1是关于x、y的二元一次方程，则m的取值范围是（　　）A、m≠－1B、m=±1C、m=1D、m=0

14、若方程组

的解中的x值比y的值的相反数大1，则k为（　　）

A、3B、－3C、2D、－2

15、下列方程组中，属于二元一次方程组的是（）

A、

B、

C、

D、

16、若

与

是同类项，则

（）

A、-3B、0C、3D、6

17、某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人；设运动员人数为x人，组数为y组，则列方程组为（）

A、

B、

C、

D、

18、已知

（xyz≠0），则x∶y∶z的值为（　　）

，

A、1∶2∶3B、3∶2∶1C、2∶1∶3D、不能确定

19、在y=ax2+bx+c中，当x=1时，y=0；当x=－1时，y=6；当x=2时，y=3；则当x=－2时，y=（　　）A、13B、14C、15D、16

20、已知方程组

，则xy的值为（　　）

A、±6B、6C、－6D、±5

三．解答题（共60′）

21、解下列方程组（6×5′=30′）

1、用代入法解

2、用代入法解

￥

3、用加减法解

4、用加减法解

22、（6′）在解关于x、y方程组

可以用

（1）×2+

（2）消去未知数x；也可以用

（1）+

（2）×5消去未知数y；求m、n的值。

$

23、已知有理数x、y、z满足│x－z－2│+│3x－6y－7│+（3y+3z－4）2=0，求证：

x3ny3n－1z3n+1－x=0（6′）

24、（6′）已知3x－4y－z=0，2x+y－8z=0，求

的值。

^

25、（6′）当a为何整数值时，方程组

有正整数解。

26、（6′）已知关于x、y的二元一次方程（a－1）x+（a+2）y+5－2a=0……①

⑴、当a=1时，得方程②；当a=－2时，得方程③。

求②③组成的方程组的解。

⑵、将求得的解代入方程①的左边，得什么结果由此可得什么结论并验证你的结论。

\

二元一次方程解应用题

1.某市现有42万人口,计划一年后城镇人口增加%,农村人口增产增加%,这样全市人口将增加1%,求这个市现在的城镇人口与农村人口.

解:

设该市现在的城镇人口为x万人,农村人口为y万人.

则一年后的城镇人口为_________万人,,农村人口为_______万人.

可列方程组:

解这个方程组得:

答:

_________________.

、

2.王平要从甲村走到乙村.如果他每小时走4千米,那么走到预定时间,离乙村还有千米;如果他每小时走5千米,那么比预定时间少用半小时就可到达乙村.求预定时间是多少小时,甲村到乙村的路程是多少千米.

解:

设预定时间是x小时,甲村到乙村的路程是y千米.

根据"如果他每小时走4千米,那么走到预定时间,离乙村还有0.5千米",

列方程:

____________________________;

根据"如果他每小时走5千米,那么比预定时间少用半小时就可到达乙村",

列方程:

_______________________.

（以下略.）

3.某汽车刚开始行驶时,油箱中有油90千克,每小时的耗油量为6千克.

（1）求8小时后余油量;

（2）求余油量Q（千克）与行驶时间t（时）之间的关系式;并在下边的直角坐标系中画出图象.

-

（3）若余油量Q是60（千克）时,行驶时间t是多少你能从图象直接"看"出答案吗

（4）你能从

（2）中的关系式求出（3）的答案吗

4.若方程组

的解满足x+y=2,求k的值.

5.在等式y=kx+b中,当x=0时,y=2;当x=3时,y=3.求当x=-3时,y的值.

6.现有1角、5角、1元的硬币各10枚,从中取出15枚,共值7元,三种硬币各取多少枚

~

7.某运输公司拟用载重量分别为吨和4吨的两种货车承运每件为120千克的健身器（不考虑体积）计420件.如果一共用两种汽车17辆,问需4吨的车几辆

8.某医疗器械厂生产甲、乙、丙三种医疗器械.生产每台各种器械所需的工时和产值如下表所示.又知道每周的总工时是168,总产值是万元,若每周丙种器械生产252台,问其它两种器械每周分别生产多少台

医疗器械

甲种

乙种

丙种

>

每台所需工时

1/2

1/3

1/4

每台产值（千元）

4

3

1

设每周生产甲种器械x台,你会列表分析这个问题吗试一试.

医疗器械

'

甲种

乙种

丙种

每台所需工时

1/2

1/3

1/4

每台产值（千元）

4

3

—

1

生产台数

x

252

所用总工时

63

产值（千元）

—

4x

252

想一想:

根据列表分析,该如何列方程

9.一玩具工厂用于生产的全部劳力为450个工时,原料为400个单位.生产一个小熊要15个工时、20个单位的原料,售价为80元;生产一个小猫要使用10个工时,5个单位的原料,售价为45元.在劳力和原料的限制下合理安排生产小熊、小猫的个数,可以使小熊和小猫的总售价尽可能高.请你用你所学过的数学知识分析,总售价是否可能达到2200元

10.已知m是整数,且-60

有整数解,求m的值.

解:

消去x,得m=,∴-60<<-30,y=4（x是分数,舍去）或y=5.这时,m=-50.

【练习】

黄先生对四个孩子说:

"一定是你们当中的一个打破了玻璃,是谁"

"

宝宝:

"是可可."

可可:

"不是我,是毛毛."

多多:

"不是我."

毛毛:

"可可撒谎."

若只有一个小孩说实话,问谁讲的是实话玻璃是谁打破的

二元一次方程解应用题部分答案

6.现有1角、5角、1元的硬币各10枚,从中取出15枚,共值7元,三种硬币各取多少枚

解:

设1角、5角、1元的硬币分别取x、y、z枚.

得方程组

}

消去x得4y+9z=55.

y=7.

或

z=3.

∴x=5,y=7,z=3.

（答略.）

8.某运输公司拟用载重量分别为吨和4吨的两种货车承运每件为120千克的健身器（不考虑体积）计420件.如果一共用两种汽车17辆,问需4吨的车几辆

解:

如果健身器在运输中不可拆,则吨的车,每车可装20件,4吨的车,每车可装33件,

设分别需4吨和吨的汽车x、y辆,

{

试探列方程（不等式）组

得

（以下略.）

9.某医疗器械厂生产甲、乙、丙三种医疗器械.生产每台各种器械所需的工时和产值如下表所示.又知道每周的总工时是168,总产值是万元,若每周丙种器械生产252台,问其它两种器械每周分别生产多少台

医疗器械

甲种

乙种

丙种

每台所需工时

|

1/2

1/3

1/4

每台产值（千元）

4

3

1

设每周生产甲种器械x台,你会列表分析这个问题吗试一试.

医疗器械

、

甲种

乙种

丙种

每台所需工时

1/2

1/3

1/4

每台产值（千元）

4

3

1

生产台数

x

252

所用总工时

63

产值（千元）

/

4x

252

解:

医疗器械

甲种

乙种

丙种

每台所需工时

~

1/2

1/3

1/4

每台产值（千元）

4

3

1

生产台数

x

3

%

252

所用总工时

63

产值（千元）

4x

9

252

方程:

%

4x+9+252=1112,解得x=170.

10.一玩具工厂用于生产的全部劳力为450个工时,原料为400个单位.生产一个小熊要15个工时、20个单位的原料,售价为80元;生产一个小猫要使用10个工时,5个单位的原料,售价为45元.在劳力和原料的限制下合理安排生产小熊、小猫的个数,可以使小熊和小猫的总售价尽可能高.请你用你所学过的数学知识分析,总售价是否可能达到2200元

练习.

黄先生对四个孩子说:

"一定是你们当中的一个打破了玻璃,是谁"

宝宝:

"是可可."

可可:

"不是我,是毛毛."

多多:

"不是我."

\

毛毛:

"可可撒谎."

若只有一个小孩说实话,问谁讲的是实话玻璃是谁打破的

解:

若是宝宝打破的,则多多和毛毛说的都是真话,可排除;

同理,可排除可可与毛毛,所以,玻璃是多多打破的

6.3.1从实际问题到方程

6.3.1从实际问题到方程

一、本课重点，请你理一理

列方程解应用题的一般步骤是：

【

（1）“找”：

看清题意，分析题中及其关系，找出用来列方程的____________；

（2）“设”：

用字母（例如x）表示问题的_______；

（3）“列”：

用字母的代数式表示相关的量，根据__________列出方程；

（4）“解”：

解方程；

（5）“检”：

检查求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案；

（6）“答”：

答出题目中所问的问题。

二、基础题，请你做一做

1.已知矩形的周长为20厘米，设长为x厘米，则宽为（ ）.

  A.20-x   B.10-x     C.              D.20-2x

 2.学生a人，以每10人为一组