模糊控制理论基础知识.docx
《模糊控制理论基础知识.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《模糊控制理论基础知识.docx（34页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
模糊控制理论基础知识
第二章模糊控制理论基础知识
2.1模糊关系
一、模糊关系
所谓关系R，实际上是A和B两集合的直积A×B的一个子集。
现在把它扩展到模糊集合中来，定义如下：
所谓A，B两集合的直积
A×B={（a,b）|a∈A，b∈B}
中的一个模糊关系
，是指以A×B为论域的一个模糊子集，其序偶（a,b）的隶属度为
，可见
是二元模糊关系。
若论域为n个集合的直积，则
A1×A2×A3×……An
称为n元模糊关系
，它的隶属函数是n个变量的函数。
例如，要求列出集合X={1,5,7,9,20}“序偶”上的“前元比后元大得多”的关系
。
因为直积空间R=X×X中有20个“序偶”，序偶（20,1）中的前元比后元大得多，可以认为它的隶属度为1，同理认为序偶（9,5）的隶属于“大得多”的程度为0.3，于是我们可以确定“大得多”的关系
为
=0.5/（5,1）+0.7/（7,1）+0.8/（9,1）+1/（20,1）+0.1/（7,5）+0.3/（9,5）+0.95/（20,5）+0.1/（9,7）+0.9/（20,7）+0.85/（20,9）
综上所述，只要给出直积空间A×B中的模糊集
的隶属函数
，集合A到集合B的模糊关系
也就确定了。
由于模糊关系，
实际上是一个模糊子集，因此它们的运算完全服从第一章所述的Fuzzy子集的运算规则，这里不一一赘述了。
一个模糊关系
，若对
x∈X，必有
=1，即每个元素X与自身隶属于模糊关系
的隶属度为1。
称这样的
为具有自返性的模糊关系。
一个模糊
，若对
x，y∈X，均有
=
即（x,y）隶属于Fuzzy关系
和（y,x）隶属于Fuzzy关系
的隶属度相同，则称
为具有对称性的Fuzzy关系。
一个模糊关系
，若对
x,y,z∈X，均
>min[
]
则称
为具有传递性的Fuzzy关系。
论域A×B为有限集时，模糊关系
可以用模糊矩阵
表示。
二、模糊矩阵
例如有一组学生组成集合x
x={王二，张三，李四}
规定他们可以选学英、日、德、法四种外语中的任意几门，设这四门外语课组成的集合为y
y={英,日,德,法}
且他们三个的期终考试成绩如表2-1所示：
姓名
语种
成绩
王二
王二
张三
李四
李四
英
法
德
日
英
80
85
95
65
78
如果把他们的考试成绩除以100，则可以认为他们和考试成绩之间构成的X×Y上的一个Fuzzy关系
如表2-2所示：
英
日
德
法
王二
张三
李四
0.8
0
0.78
0
0
0.65
0
0.95
0
0.85
0
0
把上述
写矩阵形式，即得：
=
称此矩阵为“模糊矩阵”。
其中每一个元素是在[0,1]闭区间取值。
这是普通关系矩阵的扩展。
设A={a1,a2,……an}，B={b1,b2,……bn}，则模糊矩阵可写成
=（rij）=
式中0rij表示集合A中第i个元素和集合B中第j个元素组成的序偶隶属于Fuzzy关系
的程度。
2.2模糊矩阵
一、模糊关系矩阵的运算
定义1：
设Fuzzy矩阵
=[aij]和
=[bij]，若有
Cij=∨[aij，bij]=aij∨bij，则
=[Cij]
为Fuzzy矩阵的并
和
，记作
=
∪
定义2：
设Fuzzy矩阵
=[aij]和
=[bij]，若有
Cij=∧[aij，bij]=aij∧bij，则称Cij=[cij]为Fuzzy矩阵
和
的交，记作
=
∩
例1：
已知：
=
，
=
求
∪
及
∩
。
解：
∪
=
=
∩
=
=
定义3：
设Fuzzy矩阵
=[aij]，则[1-aij]称为
的补矩阵，记作
。
例2：
已知
=
，求
。
解：
=
=
定义4：
若有Fuzzy矩阵
∩
，且
=[aij]，
=[bij]，
令
=
·
且
中的元素为
Cij=
则称
为Fuzzy矩阵
和
的积。
例3：
已知
=
，
=
，求
·
。
解
·
=
=
工理
·
=
可见，一般地说，
·
≠
·
。
二、模糊关系的应用
例1：
某家中子女与父母的长像相似的关系
为
父母
子
女
0.80.2
0.10.6
用模糊矩阵表示为
=
该家中父母与祖父母的长像相似的关系
为
用Fuzzy矩阵表示为
=
而Fuzzy矩阵的积
·
为
·
=
=
把
·
Fuzzy矩阵改写Fuzzy关系为
·
祖父祖母
子
女
0.50.7
0.10.1
这一例子说明，Fuzzy矩阵相乘时先取小后取大有实际中的现实意义。
2.3模糊逻辑
在本世纪三十年代末期，数理逻辑已开始用于开关电路设计。
四十年代末，数理逻辑和布尔代数已成为电子计算机科学的基础理论之一，这是因为电子计算机具有二值逻辑的特点。
在二值逻辑中，一个可以判断真假的句子称为命题，如果命题为真，其真值为“1”；否则，若命题为假，其真值为“0”。
然而，在现实生活中存在着大量的模糊判断，如“甲个子很高”，“乙很年轻”等。
随着科学技术的进步，人们在研究复杂大系统时，由于其结构复杂，且要涉及大量的参数与变量，这些都具有模糊性特点，所以二值逻辑在这些系统中就不够用了。
为此人们开始研究多值逻辑和连续值逻辑。
模糊逻辑是多值逻辑的发展，又是模糊推理的基础。
一、二值逻辑
在二值逻辑中，一个命题只能是“真”或“假”，两者必居其一。
例如“北京在中国”是真；“二加三等于六”是假。
如果把两个或两个以上的单命题联合起来，就构成一个复命题，设P，Q为两个单命题，则复命题的构成方式有下列几种。
（1）并：
表示为P∨Q，用以表示“或”的关系。
（2）交：
表示为P∧Q，用以表示“与”、“及”、“且”的关系。
P、Q两命题结合后得到的真值表如表2-3所示：
表2-3
命题
P
Q
P∨Q
P∧Q
真值
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
（3）否定：
命题P的否定记作
（
）。
（4）蕴涵：
蕴涵是用来表示“若…，则…”。
即命题P的成立，即可推出命题Q也成立，以P→Q表示。
（5）等价：
它表示两个命题的真假相同，以←→表示。
二、连续值逻辑和模糊逻辑
在多值逻辑中，如N值逻辑，逻辑值可以取0，1，2，…，N-1个。
我们规定，Fuzzy命题P的逻辑值V（P）=X是在[0,1]连续闭区间内任意取值。
因此，将研究Fuzzy命题的逻辑称为连续性逻辑。
由于它主要用来研究Fuzzy集的隶属函数，所以也称为Fuzzy逻辑。
连续逻辑运算规则如下：
逻辑并：
X∨Y=max（X,Y）
逻辑交：
X∧Y=min（X,Y）
否定：
=1-X
限界差：
X
Y=0∨（X-Y）
界限和：
X
Y=1∧（X+Y）
界限积：
X⊙Y=0∨（X+Y-1）
蕴涵：
X→Y=1∧（1-X+Y）
等价：
X←Y=（1-X+Y）∧（1-Y+X）
通常，一个模糊逻辑公式常称为Fuzzy函数，由于Fuzzy函数是在[0,1]区间任意取值，所以在处理Fuzzy函数中，以解析法为处理手段，与二值逻辑处理方法相比较，难度较大。
最恰当的办法是在[0,1]闭区间上把Fuzzy函数变量x分成有限个等级，采用多值逻辑的方法来处理Fuzzy的逻辑问题。
例如，将[0,1]闭区间分为n个等级如下：
第一级a1第二级a2……
第n级0其中0在讨论现实问题时，我们常把闭区间分成十个相等等分，让隶属函数
在集合
μ=（0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1）
上取值。
这样，Fuzzy变量的逻辑值也对应有11种，我们可以用处理多值逻辑的办法来处理Fuzzy集X和Y的隶属函数的逻辑运算。
例如x∧y，
∧y，x∨y的逻辑运算，其真值表如表2-4、2-5、表2-6所示
表2-4
y
x∧y
x
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.1
0
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.2
0
0.1
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.3
0
0.1
0.2
0.3
0.3
0.3
0.3
0.3
0.3
0.3
0.3
0.4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.6
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.6
0.6
0.6
0.6
0.7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.7
0.7
0.7
0.8
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.8
0.8
0.9
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
表2-5
y
∧y
x
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
0.2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.8
0.8
0.3
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.7
0.7
0.7
0.4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.6
0.6
0.6
0.6
0.5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.6
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.7
0
0.1
0.2
0.3
0.3
0.3
0.3
0.3
0.3
0.3
0.3
0.8
0
0.1
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.9
0
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
升级会员 