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1、模糊控制理论基础知识第二章 模糊控制理论基础知识2.1 模糊关系一、模糊关系所谓关系R，实际上是A和B两集合的直积AB的一个子集。现在把它扩展到模糊集合中来，定义如下：所谓A，B两集合的直积AB=(a,b)|aA，bB中的一个模糊关系，是指以AB为论域的一个模糊子集，其序偶(a,b)的隶属度为，可见是二元模糊关系。若论域为n个集合的直积，则A1A2A3An称为n元模糊关系，它的隶属函数是n个变量的函数。例如，要求列出集合X=1,5,7,9,20“序偶”上的“前元比后元大得多”的关系。因为直积空间R=XX中有20个“序偶”，序偶(20,1)中的前元比后元大得多，可以认为它的隶属度为1，同理认为序

2、偶(9,5)的隶属于“大得多”的程度为0.3，于是我们可以确定“大得多”的关系为=0.5/(5,1)+ 0.7/(7,1)+ 0.8/(9,1)+ 1/(20,1)+ 0.1/(7,5)+0.3/(9,5)+ 0.95/(20,5)+ 0.1/(9,7)+ 0.9/(20,7)+ 0.85/(20,9)综上所述，只要给出直积空间AB中的模糊集的隶属函数，集合A到集合B的模糊关系也就确定了。由于模糊关系，实际上是一个模糊子集，因此它们的运算完全服从第一章所述的Fuzzy子集的运算规则，这里不一一赘述了。一个模糊关系，若对xX，必有=1，即每个元素X与自身隶属于模糊关系的隶属度为1。称这样的为具有

3、自返性的模糊关系。一个模糊，若对x，yX，均有=即(x,y)隶属于Fuzzy关系和(y,x)隶属于Fuzzy关系的隶属度相同，则称为具有对称性的Fuzzy关系。一个模糊关系，若对x,y,zX，均min,则称为具有传递性的Fuzzy关系。论域AB为有限集时，模糊关系可以用模糊矩阵表示。二、模糊矩阵例如有一组学生组成集合xx=王二，张三，李四规定他们可以选学英、日、德、法四种外语中的任意几门，设这四门外语课组成的集合为yy=英,日,德,法 且他们三个的期终考试成绩如表2-1所示：姓名语种成绩王二王二张三李四李四英法德日英8085956578如果把他们的考试成绩除以100，则可以认为他们和考试成绩之

4、间构成的XY上的一个Fuzzy关系如表2-2所示：英日德法王二张三李四0.800.78000.6500.9500.8500把上述写矩阵形式，即得：=称此矩阵为“模糊矩阵”。其中每一个元素是在0,1闭区间取值。这是普通关系矩阵的扩展。设A=a1,a2,an，B=b1,b2,bn，则模糊矩阵可写成=(rij)= 式中0 rij 1；i=1,2,，n；j=1,2，m。rij表示集合A中第i个元素和集合B中第j个元素组成的序偶隶属于Fuzzy关系的程度。2.2模糊矩阵一、模糊关系矩阵的运算定义1：设Fuzzy矩阵=aij和=bij，若有Cij=aij，bij= aijbij，则=Cij为Fuzzy矩阵

5、的并和，记作=定义2：设Fuzzy矩阵=aij和=bij，若有Cij=aij，bij= aijbij，则称Cij=cij为Fuzzy矩阵和的交，记作=例1：已知：=， =求及。解：=定义3：设Fuzzy矩阵=aij，则1-aij称为的补矩阵，记作。例2：已知=，求。解：= =定义4：若有Fuzzy矩阵，且=aij， =bij，令=且中的元素为Cij=则称为Fuzzy矩阵和的积。例3：已知=， =，求。解=工理 =可见，一般地说，。二、模糊关系的应用例1：某家中子女与父母的长像相似的关系为父 母子女0.8 0.20.1 0.6用模糊矩阵表示为=该家中父母与祖父母的长像相似的关系为用Fuzzy矩阵

6、表示为=而Fuzzy矩阵的积为=把Fuzzy矩阵改写Fuzzy关系为祖父 祖母子女0.5 0.70.1 0.1这一例子说明，Fuzzy矩阵相乘时先取小后取大有实际中的现实意义。2.3 模糊逻辑在本世纪三十年代末期，数理逻辑已开始用于开关电路设计。四十年代末，数理逻辑和布尔代数已成为电子计算机科学的基础理论之一，这是因为电子计算机具有二值逻辑的特点。在二值逻辑中，一个可以判断真假的句子称为命题，如果命题为真，其真值为“1”；否则，若命题为假，其真值为“0”。然而，在现实生活中存在着大量的模糊判断，如“甲个子很高”，“乙很年轻”等。随着科学技术的进步，人们在研究复杂大系统时，由于其结构复杂，且要涉

7、及大量的参数与变量，这些都具有模糊性特点，所以二值逻辑在这些系统中就不够用了。为此人们开始研究多值逻辑和连续值逻辑。模糊逻辑是多值逻辑的发展，又是模糊推理的基础。一、二值逻辑在二值逻辑中，一个命题只能是“真”或“假”，两者必居其一。例如“北京在中国”是真；“二加三等于六”是假。如果把两个或两个以上的单命题联合起来，就构成一个复命题，设P，Q为两个单命题，则复命题的构成方式有下列几种。（1）并：表示为PQ，用以表示“或”的关系。（2）交：表示为PQ，用以表示“与”、“及”、“且”的关系。P、Q两命题结合后得到的真值表如表2-3所示： 表2-3命题PQPQPQ真值1100101011101000（

8、3）否定：命题P的否定记作（）。（4）蕴涵：蕴涵是用来表示“若，则”。即命题P的成立，即可推出命题Q也成立，以PQ表示。（5）等价：它表示两个命题的真假相同，以表示。二、连续值逻辑和模糊逻辑在多值逻辑中，如N值逻辑，逻辑值可以取0，1，2，N-1个。我们规定，Fuzzy命题P的逻辑值V（P）=X是在0,1连续闭区间内任意取值。因此，将研究Fuzzy命题的逻辑称为连续性逻辑。由于它主要用来研究Fuzzy集的隶属函数，所以也称为Fuzzy逻辑。连续逻辑运算规则如下：逻辑并：XY=max(X,Y)逻辑交：XY=min(X,Y) 否 定： =1-X限界差：XY=0（X-Y）界限和：XY=1（X+Y）界

9、限积：XY=0（X+Y-1） 蕴涵：XY=1（1-X+Y） 等价：XY=（1-X+Y）（1-Y+X）通常，一个模糊逻辑公式常称为Fuzzy函数，由于Fuzzy函数是在0,1区间任意取值，所以在处理Fuzzy函数中，以解析法为处理手段，与二值逻辑处理方法相比较，难度较大。最恰当的办法是在0,1闭区间上把Fuzzy函数变量x分成有限个等级，采用多值逻辑的方法来处理Fuzzy的逻辑问题。例如，将0,1闭区间分为n个等级如下：第一级 a1x1第二级 a2xa1第n级 0x an-1其中0an-1a2a11在讨论现实问题时，我们常把闭区间分成十个相等等分，让隶属函数在集合=（0,0.1,0.2,0.3,

10、0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1）上取值。这样，Fuzzy变量的逻辑值也对应有11种，我们可以用处理多值逻辑的办法来处理Fuzzy集X和Y的隶属函数的逻辑运算。例如xy，y，xy的逻辑运算，其真值表如表2-4、2-5、表2-6所示 表2-4 yxy x00.10.20.30.40.50.60.70.80.910000000000000.100.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.200.10.20.20.20.20.20.20.20.20.20.300.10.20.30.30.30.30.30.30.30.30.400.10.20.30.40.40.4

11、0.40.40.40.40.500.10.20.30.40.50.50.50.50.50.50.600.10.20.30.40.50.60.60.60.60.60.700.10.20.30.40.50.60.70.70.70.70.800.10.20.30.40.50.60.70.80.80.80.900.10.20.30.40.50.60.70.80.90.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.91表2-5 yy x00.10.20.30.40.50.60.70.80.91000.10.20.30.40.50.60.70.80.910.100.10.20.30.40.50.60.70.80.90.90.200.10.20.30.40.50.60.70.80.80.80.300.10.20.30.40.50.60.70.70.70.70.400.10.20.30.40.50.60.60.60.60.60.500.10.20.30.40.50.50.50.50.50.50.600.10.20.30.40.40.40.40.40.40.40.700.10.20.30.30.30.30.30.30.30.30.800.10.20.20.20.20.20.20.20.20.20.900.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1100000000000