数据结构.docx
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数据结构
信息技术竞赛培训教程
目录
第二部分数据结构
（一）――栈
（二）――队列
（三）――链表
（四）――迭代与递推
（五）――递归
（六）――搜索与回溯
（七）――树与二叉树
（八）――排序算法
（九）――查找算法
（十）――图论基础知识
●● 广度优先搜索
●● 广度优先搜索
第二部分算法和数据结构
（一）――栈
说到学习和掌握数据结构，很容易让人想到的就是其最本的数据结构模式：
栈、队这一讲，我们就来谈谈“栈”。
“栈”的应用很广泛，大家在PASCAL程序设计中，常遇的一种错误就是“栈”超界，那么，“栈”为何物呢？
栈是只能在某一端插入和删除的特殊线性表。
用桶堆积物品，先堆进来的压在底下，随后一件一件往堆。
取走时，只能从上面一件一件取。
堆和取都在顶部进行，底部一般是不动的。
栈就是一种类似桶堆积物品的数据结构，进行删除和插入的一端称栈顶，另一堆称栈底。
插入一般称为进栈（PUSH），删除则称为退栈（POP）。
栈也称为后进先出表（LIFO表）。
一个栈可以用定长为Ｎ的数组Ｓ来表示，用一个栈指针TOP指向栈顶。
若TOP＝0，表示栈空，TOP=N时栈满。
进栈时TOP加１。
退栈时TOP减１。
当TOP<0时为下溢。
栈指针在运算中永远指向栈顶。
1、进栈（PUSH）算法
①若TOP≥ｎ时，则给出溢出信息，作出错处理（进栈前首先检查栈是否已满，满则溢出；不满则作②）；
②置TOP=TOP+1（栈指针加１，指向进栈地址）；
③S（TOP）=X，结束（X为新进栈的元素）；
2、退栈（POP）算法
①若TOP≤0，则给出下溢信息，作出错处理（退栈前先检查是否已为空栈，空则下溢；不空则作②）；
②X=S（SOP），（退栈后的元素赋给X）；
③TOP=TOP-1，结束（栈指针减１，指向栈顶）。
进栈、出栈的Pascal实现过程程序：
CONSTn=100;
TYPE
stack=ARRAY[1..n]OFinteger;
PROCEDUREPUSH（VARs:
stack;VARtop,x:
integer）;{入栈}
BEGIN
IFtop=nTHEN
writeln（'overflow'）
ELSEBEGIN
top:
=top+1;s[top]:
=x;
END;
END;
PROCEDUREPOP（VARs:
stack;VARy,top:
integer）;{出栈}
BEGIN
IFtop=0THENwriteln（'underflow'）ELSEBEGIN
y:
=s[top];top:
=top-1;
END
END;
对于出栈运算中的“下溢”，程序中仅给出了一个标志信息，而在实际应用中，下溢可用来作为控制程序转移的判断标志，是十分有用的。
对于入栈运算中的“上溢”，则是一种致命的错误，将使程序无法继续运行，所以要设法避免。
堆栈的数组模拟
十进制数N和其它d进制数的转换是实现计算的基本问题，解决方法很多，下面给出一中算法原理：
N=（Ndivd）×d＋Nmodd（其中div为整除运算，mod为求余运算）。
例如：
（1348）10＝（2504）8运算过程如下：
N
Ndiv8
Nmod8
1348
168
4
168
21
0
21
2
5
2
0
2
N
Ndiv8
Nmod8
9413
1、1、 填空：
（9413）10=（）8=（）16=（）2
2、下面的程序实现这个转换过程，请补充完整。
'数制转化程序【xoi00_07.pas】
programxoi00_07;
constsize=100;
vara:
array[1..size]ofinteger;
n,d,i,j:
integer;
begin
writeln;
write（'Pleaseenteranumber（N）base10:
'）;
readln（n）;
write（'pleaseenteranumber（d）:
'）;
readln（d）;
i:
=1;
repeat
a[i]:
=nmodd;
n:
=ndivd;
inc（i）;
untiln=0;
forj:
=i-1downto1dowrite（a[j]:
5）;
end.
2、火车站列车调度示意图如下，假设调度站两侧的轨道为单向行驶轨道。
1、1、 如果进站的车厢序列为123，则可能的出战车厢序列是什么？
2、2、 如果进展进站的车厢序列为123456，问能否得到135426和435612的出站序列。
栈的用途极为广泛，在源程序编译中表达式的计算、过程的嵌套调用和递归调用等都要用到栈，下面以表达式计算为例子加以说明。
源程序编译中，若要把一个含有表达式的赋值语句翻译成正确求值的机器语言，首先应正确地解释表达式。
例如，对赋值语句
X:
＝4＋8×2－3;（式11.1）
其正确的计算结果应该是１７，但若在编译程序中简单地按自左向右扫描的原则进行计算，则为：
X＝12×2－3＝24－3＝21
这结果显然是错误的。
因此，为了使编译程序能够正确地求值，必须事先规定求值的顺序和规则。
通常采用运算符优先数法。
一般表达式中会遇到操作数、运算符和语句结束符等，以算术运算符为例，对每种运算赋予一个优先数，如：
运算符：
× ÷ ＋ －
优先数：
２ ２ １ １
（语句结束符“；”的优先数为零）
在运算过程中，优先数高的运算符应先进行运算（但遇到括号时，应另作处理）。
按这样的规定，对式（11.1）自左向右进行运算时，其计算顺序就被唯一地确定下来了。
计算顺序确定后，在对表达式进行编译时，一般设立两个栈，一个称为运算符栈（OPS），另一个称为操作数栈（OVS），以便分别存放表达式中的运算符和操作数。
编译程序自左向右扫描表达式直至语句结束，其处理原则是：
①凡遇到操作数，一律进入操作数栈；
②当遇到运算符时，则将运算符的优先数与运算符栈中的栈顶元素的优先数相比较；若该运算符的优先数大，则进栈；反之，则取出栈顶的运算符，并在操作数栈中连续取出两个栈顶元素作为运算对象进行运算，并将运算结果存入操作数栈，然后继续比较该运算符与栈顶元素的优先数。
例如式（11.1）中，当扫描到“＋”和“×”时都要将运算符入栈。
接着扫描到“－”号，其优先数小于乘号所以乘号退栈，并执行８×２，将结果１６再存入操作数栈。
再将“－”号的优先数与运算符栈的栈顶元素“＋”号的优先数相比较，两者相等，所以再将加号退栈，进行４＋１６，结果为２０，再入栈，接着，由于运算栈已空，所以减号入栈。
当扫描到“３”时，操作数入栈。
当扫描到“；”时，其优先数最低，所以减号退栈并执行２０－３，结果为１７并入栈。
因已扫描到语句结束符，所以表达式的求值结束，结果为１７。
例题模拟计算机处理算术表达式过程。
从键盘上输入算术表达式串（只含＋、－、×、÷运算符，充许含括号），输出算术表达式的值。
设输入的表达式串是合法的。
分析:
建立两个栈，一个是操作数栈（number），一个是运算符栈（symbol），根据运算符的优先级对两个栈进行相应的操作。
源程序
programex11_4;
const
max=100;
var
number:
array[0..max]ofinteger;
symbol:
array[1..max]ofchar;
s,t:
string;
i,p,j,code:
integer;
procedurepush;{算符入栈运算}
begin
inc（p）;
symbol[p]:
=s[i];
end;
procedurepop;{运算符栈顶元素出栈,并取出操作数栈元素完成相应的运算}
begin
dec（p）;
casesymbol[p+1]of
'+':
inc（number[p],number[p+1]）;
'-':
dec（number[p],number[p+1]）;
'*':
number[p]:
=number[p]*number[p+1];
'/':
number[p]:
=number[p]divnumber[p+1];
end;
end;
functioncan:
boolean;{判断运算符的优先级别,建立标志函数}
begin
can:
=true;
if（s[i]in['+','-']）and（symbol[p]<>'（'）thenexit;
if（s[i]in['*','/']）and（symbol[p]in['*','/']）thenexit;
can:
=false;
end;
begin
write（'String:
'）;
readln（s）;
s:
='（'+s+'）';
i:
=1;
p:
=0;
whilei<=length（s）do
begin
whiles[i]='（'do{左括号处理}
begin
push;
inc（i）;
end;
j:
=i;
repeat{取数入操作数栈}
inc（i）;
until（s[i]<'0'）or（s[i]>'9'）;
t:
=copy（s,j,i-j）;
val（t,number[p],code）;
repeat
ifs[i]='）'then{右括号处理}
begin
whilesymbol[p]<>'（'do
pop;
dec（p）;
number[p]:
=number[p+1];
end
else
begin{根据标志函数值作运算符入栈或出栈运算处理}
whilecando
pop;
push;
end;
inc（i）;
until（i>length（s））or（s[i-1]<>'）'）;
end;
write（'Result=',number[0]）;
readln;
end.
练习题：
1、读入一英文句子，单词之间用空格或逗号隔开，统计其中单词个数，并输出各个字母出现的频率。
（句子末尾不一定用"."结束）如果含有其他的字符，则只要求输出错误信息及错误类型。
含有大写字母错误类型error1
数字（0-9）错误类型error2
其他非法字符错误类型error3
如输入：
Itis12!
输出：
error123
输入：
iam,astudent
输出：
4
2、2、 编码解码：
从键盘输入一个英文句子，设计一个编码、解码程序。
（string）
编码过程：
先键入一个正整数N（1<=N<=26）。
这个N决定了转换关系。
例如当N=1，输入的句子为ABCXYZ时，则其转换码为ABCXYZ不变。
当N=2时，其转换码为BCDYZA，其它的非字母字符不变。
为使编码较于破译，将转换码的信息自左而右两两交换，若最后仅剩单个字符则不换。
然后，将一开始表示转换关系的N根据ascii表序号化成大写字母放在最前面。
如：
abcABCxyzXYZ-/,1.n=3
cdeCDEzabZAB-/,1.{根据N的值转换}
dcCeEDazZbBA/-1,.{两两交换}
CdcCeEDazZbBA/-1,.{最后编码}
解码过程为编码的逆过程。
4、计算器的改良【第三届全国青少年信息学奥林匹克分区联赛复赛试题普及组题一】
〖问题描述〗
NCL是一家专门从事计算器改良与升级的实验室。
最近该实验室收到了某公司所委托的一个任务：
需要在该公司某型号的计算器上加上解一元一次方程的功能。
实验室将这个任务交组了一个刚进入的新手ZL先生。
为了很好的完成这个任务，ZL先生首先研究了一些一元一次方程的实例：
4+3X=8
6a-5+1=2-2
-5+12Y=0
ZL先生被告知：
在计算器上键入的一个一元一次方程中，只包含整数、小写字母入+、-、=这三个数学符号（当然，“-”既可当减号也可当负号）。
方程中并没有括号，也没有除号，方程中的字母表示末知数。
〖问题求解〗
编写程序，解输入的一元一次方程，将解方程的结果（精确到小数点后三位）输出至屏幕。
键入的一元一次方程均合法，且有唯一的实数解。
〖样例〗
输入：
6a-5+1=2-2a
输出：
a=0.750
（二）――队列
在
（一）中，我们谈了"栈"的应用，下面我们谈谈队列，队列是限定在一端进行插入，另一端进行删除和特殊线性表。
正象排列买东西，排在前面的人买完东西后离开队伍（删除），而后来的人总是排在队伍未尾（插入）。
通常把队列的删除和插入分别称为出队和入队。
允许出队的一端称为队头，允许入队的一端称为队尾。
所有需要进队的数据项，只能从队尾进入，队列中的数据项只能从队头离去。
由于总是先入队的元素先出队（先排队的人先买完东西），这种表也称为先进先表（FIFO）表。
队列可以用数组Q[1…ｍ]来存储，数组的上界ｍ即是队列所容许的最大容量。
在队列的运算中需设两个指针：
head：
队头指针，指向实际队头元素的前一个位置tall：
队尾指针，指向实际队尾元素所在的位置一般情况下，两个指针的初值设为０，这时队列为空，没有元素。
图1（a）画出了一个由６个元素构成的队列，数组定义Q[1…10]。
Q（i）i=3,4,5,6,7,8头指针head＝2，尾指针tail＝8。
队列中拥有的元素个数为:
L=tail-head现要让排头的元素出队，则需将头指针加１。
即head=head+1这时头指针向上移动一个位置，指向Q（3），表示Q（3）已出队。
见图1（b）。
如果想让一个新元素入队，则需尾指针向上移动一个位置。
即tail=tail+1这时Q（9）入队，见图1（c）。
当队尾已经处理在最上面时，即tail=10，见图1（d），如果还要执行入队操作，则要发生"上溢"，但实际上队列中还有三个空位置，所以这种溢出称为"假溢出"。
克服假溢出的方法有两种。
一种是将队列中的所有元素均向低地址区移动，显然这种方法是很浪费时间的；另一种方法是将数组存储区看成是一个首尾相接的环形区域。
当存放到n地址后，下一个地址就"翻转"为１。
在结构上采用这种技巧来存储的队列称为循环队列，见图2
循环队的入队算法如下：
1、tail=tail+1；
2、若tail=n+1，则tail=1；
3、若head=tail尾指针与头指针重合了，表示元素已装满队列，则作上溢出错处理；
4、否则，Q（tail）=X，结束（X为新入出元素）。
队列和栈一样，有着非常广泛的应用。
考虑一个分时系统，如果一台计算机联有四个终端，即允许四个用户同时使用这一台计算机。
那么，计算机系统必须设立一个队列，用以管理各终端用户使用CPU的请求。
当某个用户要求使用CPU时，相应的终端代号就入队（插入队尾），而队头的终端用户则是CPU当前服务的对象。
我们考虑最简单的情况，
对于当前用户（队头），系统每次分配一个为时间片的时间间隔，在一个时间片内，如果当前用户的作业没有结束，则该终端用户的代号出队后重新入队，插入队尾，等待下一次CPU服务。
如果某个用户的作业运行结束，则先退出，出队后不再入队，
整个运行过程就是各终端代号不断地入队、出队，CPU轮流地为ｎ（ｎ≤４）个终端用户服务。
由于计算机的运行速度极快，所以，对于每个终端用户来说，似乎计算机是单独在为其服务。
和线性表一样，栈和队可以采用链表存储结构，当要实现多个栈共享内存或多个队共享内存时，选择链式分配结构则更为合适。
例1求两个一元多项式的和。
输入多项式方式为，多项式项数，每项系数和指数，按指数从大到小的顺序输入。
分析
多项式的算术运算是表处理的一个经典问题。
建立两张表ａ、ｂ分别存放两个多项式的内容，建立表指针ta、tb，指向表ａ和表ｂ的元素，根据表ａ、ｂ元素中的指数大小合并输出。
１、比较ta、tb指向元素的大小，若ta的指数大于tb的指数，输出ta元素，改变指针ta；
2、若ta的指数小于tb的指数，输出tb元素，改变指针tb；
3、若ta的指数等于tb的指数，ta、tb元素的系数相加输出，同时改变指针ta和tb；
4、若有一表取空，则输出另一表剩余的内容。
源程序一：
多项式相加的顺序表实现
programex11_5a;
type
node=record
zhi,xi:
integer;
end;
ar=array[1..1000]ofnode;
var
a,b:
ar;
ta,tb,n:
integer;
begin
write（'One:
'）;
readln（n）;{输入第一个多项式的系数和指数}
forta:
=ndownto1do
readln（a[ta].xi,a[ta].zhi）;
ta:
=n;
write（'Two:
'）;
readln（n）;{输入第二个多项式的系数和指数}
fortb:
=ndownto1do
readln（b[tb].xi,b[tb].zhi）;
tb:
=n;
write（'Resultis'）;
while（ta>0）and（tb>0）do{当两个表均不空时}
begin{比较两表指针指向的项指数,输出指数小的项系数和指数,同时改变该表指针}
ifa[ta].zhi>b[tb].zhithen
begin
ifa[ta].xi<0thenwrite（#8''#8）;
write（a[ta].xi,'x',a[ta].zhi,'+'）;
dec（ta）;
end
else
ifa[ta].zhi
begin
ifb[tb].xi<0thenwrite（#8''#8）;
write（b[tb].xi,'x',b[tb].zhi,'+'）;
dec（tb）;
end
else
begin{若两表指针指向的项指数相等,则两系数相加输出,两表指针同时改变}
ifb[tb].xi+a[ta].xi<>0then
begin
ifb[tb].xi+a[ta].xi<0thenwrite（#8''#8）;
write（b[tb].xi+a[ta].xi,'x',b[tb].zhi,'+'）;
end;
dec（ta）;
dec（tb）;
end;
end;
whileta>0do{若有一表空,则输出另一表的剩余项}
begin
ifa[ta].xi<0thenwrite（#8''#8）;
write（a[ta].xi,'x',a[ta].zhi,'+'）;
dec（ta）;
end;
whiletb>0do
begin
ifb[tb].xi<0thenwrite（#8''#8）;
write（b[tb].xi,'x',b[tb].zhi,'+'）;
dec（tb）;
end;
writeln（#8''#8）;
readln;
end.
源程序二：
多项式相加的链表实现
programex11_5b;
type
link=^node;
node=record
zhi,xi:
integer;
nxt:
link;
end;
var
a,b:
link;
n:
integer;
procedurecreatefifo（varc:
link）;{建立多项式系数、指数链表}
var
p:
link;
i:
integer;
begin
new（p）;
readln（p^.xi,p^.zhi）;
c:
=p;
fori:
=1ton-1do
begin
new（p^.nxt）;
p:
=p^.nxt;
readln（p^.xi,p^.zhi）;
end;
p^.nxt:
=nil;
end;
begin
write（'One:
'）;
readln（n）;
createfifo（a）;
write（'Two:
'）;
readln（n）;
createfifo（b）;
write（'Resultis'）;
while（a<>nil）and（b<>nil）do
begin
ifa^.zhi>b^.zhithen
begin
ifa^.xi<0thenwrite（#8''#8）;
write（a^.xi,'x',a^.zhi,'+'）;
a:
=a^.nxt;
end
else
ifa^.zhi
begin
ifb^.xi<0thenwrite（#8''#8）;
write（b^.xi,'x',b^.zhi,'+'）;
b:
=b^.nxt;
end
else
begin
ifb^.xi+a^.xi<>0then
begin
ifb^.xi+a^.xi<0thenwrite（#8''#8）;
write（b^.xi+a^.xi,'x',b^.zhi,'+'）;
end;
b:
=b^.nxt;
a:
=a^.nxt;
end;
end;
whilea<>nildo
begin
ifa^.xi<0thenwrite（#8''#8）;
write（a^.xi,'x',a^.zhi,'+'）;
a:
=a^.nxt;
end;
whileb<>nildo
begin
ifb^.xi<0thenwrite（#8''#8）;
write（b^.xi,'x',b^.zhi,'+'）;
b:
=b^.nxt;
end;
writeln（#8''#8）;
readln;
end.
3.队列的应用：
例：
设有一个表，记为L=（a1,a2,a3,...,an），其中
L——表名
a1,a2,a3,..,an——表中元素。
当ai为数值时表示元素，当ai为大写字母时，表示另一个表，但不能循环定义。
例如，下列的定义是合法的（约定L是第一个表的表名）：
L=（3.4,3,4,K,8,0,8）
K=（15,5,8,P,9,4）
P=（4,7,8,9）
程序要求：
当全部表给出后，示出所有元素的最大元素。
思路：
升级会员 