实验5傅立叶变换.docx
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实验5傅立叶变换
实验五傅立叶变换与频率域滤波
一、实验目的
1.理解傅立叶变换；
2.熟悉MATLAB中各种傅立叶变换相关的函数；
3.掌握频域滤波的步骤以及MATLAB的实现方法；
4.理解频域滤波器与空域滤波器的关系。
二、实验内容及步骤
1、傅立叶变换及傅立叶反变换
（1）傅立叶变换相关函数
MATLAB提供了几个和傅立叶变换相关的函数。
其说明如下：
F=fft2（f）;二维傅立叶变换
real（F）;傅立叶变换的实部
imag（F）;傅立叶变换的虚部
abs（F）;获得傅立叶频谱
fftshift（F）;将变换的原点移至频率矩形的中心
ifft2（F）;二维傅立叶反变换
iffshift（F）;反中心平移
（2）傅立叶频谱
傅立叶频谱（傅立叶变换的幅度）反映了图像的频率成分。
幅值谱的能量往往集中于中低频部分，并且中低频部分的能量反映了图像的实体。
图像的噪声往往集中于高频部分。
下面的例子对课本中123页的图Fig4.03（a）.jpg进行傅立叶变换，得到傅立叶频谱。
例：
x=imread（'Fig4.03（a）.jpg'）;
F=fft2（x）;%二维傅立叶变换
FP=sqrt（real（F）.^2+imag（F）.^2）;%计算傅立叶频谱，或者使用abs（）函数
imshow（uint8（FP））%显示傅立叶频谱，直流成分分布在四个边角
figure
（2）;imshow（uint8（fftshift（FP）））%中心平移的频谱图
思考题1：
对课本125页的图Fig4.04（a）.jpg进行傅立叶变换，得到傅立叶频谱，为清楚地显示该谱，将其进行对数变换处理，增强其灰度细节。
结果类似于图5_1。
图5_1Fig4.04（a）的傅立叶谱
x=imread（'Fig4.04（a）.jpg'）;
F=fft2（x）;
FP=sqrt（real（F）.^2+imag（F）.^2）;
PP=fftshift（FP）
imshow（x）
figure
（2）;
imshow（log（abs（PP）+1）,[]）
（3）傅立叶变换对
将一幅图像进行傅立叶变换，再进行傅立叶反变换，可以得到原始图像。
下面的例子对课本中134页的图Fig4.11（a）进行傅立叶变换，然后再进行傅立叶反变换，观察并了解实现过程。
理论上，经过傅立叶变换和傅立叶反变换，应该得到原始图像。
比较fa和f，基本差不多。
查看变量C的内容，可以看到他们之间还是有细微的差别的。
例：
closeall
f=imread（'Fig4.11（a）.jpg'）;
F=fft2（f）;%傅立叶变换
ff=ifft2（F）;%反傅立叶变换
fa=real（ff）;%取实部
subplot（2,2,1）,imshow（f）;
subplot（2,2,2）,imshow（F）;%只显示变换的实部
subplot（2,2,3）,imshow（ff,[]）;
subplot（2,2,4）,imshow（fa,[]）;
figure
（2）
C=fa-double（f）;%反变换回来的图像和原图相减
imshow（C,[]）;%两者是有差别的
2、频率域滤波
按照频域滤波的步骤，在MATLAB中是很容易编程实现频域滤波。
由于滤波器就是频率域中的函数，关键是如何构造滤波器函数。
频域滤波的步骤为：
Ø对图像进行傅立叶变换DFT，即F（u,v）；
Ø傅立叶变换原点中心平移；
Ø用滤波器函数H（u,v）乘以F（u,v）；
Ø将原点反中心平移；
Ø傅立叶反变换；
Ø取上一步结果中的实部，即频域滤波后的结果。
（1）低通滤波
低通滤波是使低频部分通过，而使高频部分受到抑制，从而使图像变得平滑。
常用的低通滤波有理想低通滤波、巴特沃斯低通滤波和高斯低通滤波。
下面的例子实现了对课本135页图Fig4.11（a）进行理想低通滤波处理，截止频率D0＝30。
例：
closeall
clearall
f=imread（'Fig4.11（a）.jpg'）;
%------构造理想低通滤波器----------
[HhHw]=size（f）;%以图像的行列值作为滤波器的行列
H（1:
Hh,1:
Hw）=0;%滤波器的初值为0
x0=Hh/2;y0=Hw/2;%滤波器的中心点
forx=1:
Hh
fory=1:
Hw
if（sqrt（（x-x0）*（x-x0）+（y-y0）*（y-y0））<30）%理想低通滤波器D0=30
H（x,y）=1;
end
end
end
%-----------傅立叶变换及频域滤波---------
F=fft2（f）;
F=fftshift（F）;%中心平移
FF=F.*H;%频域滤波。
注意必须是点乘
FFS=ifftshift（FF）;
g=ifft2（FF）;%傅立叶反变换
g=abs（real（g））;%取变换后的实部，并取绝对值
%显示并比较结果
figure
（1）,imshow（f）;title（'原图'）
figure
（2）,imshow（H）;title（'理想低通滤波器'）
figure（3）,imshow（log（abs（F）+1）,[]）;title（'频率谱'）%对数变换，便于显示结果
figure（4）,imshow（log（abs（FF）+1）,[]）;title（'频域滤波'）
figure（5）,imshow（g,[]）;title（'滤波结果'）
思考题2：
参考上例，使用理想低通滤波器对图Fig4.11（a）.jpg进行频域滤波。
将理想低通滤波器的截止频率D0分别设为50、70、90，对结果进行分析与比较。
（1）.50：
（2）70:
（3）90:
（2）高通滤波
高通滤波是使高频部分通过，而使低频部分受到抑制，从而使图像边缘锐化。
常用的高通滤波有理想高通滤波、巴特沃斯高通滤波和高斯高通滤波。
思考题3：
参考理想低通滤波器的构造方法，构造理想高通滤波器，并使用它对图Fig4.11（a）.jpg进行理想高通滤波处理。
截止频率D0分别为15、30、80，对结果进行分析和比较。
closeall
clearall
f=imread（'Fig4.11（a）.jpg'）;
%------构造理想高通滤波器----------
[HhHw]=size（f）;%以图像的行列值作为滤波器的行列
H（1:
Hh,1:
Hw）=0;%滤波器的初值为0
x0=Hh/2;y0=Hw/2;%滤波器的中心点
forx=1:
Hh
fory=1:
Hw
if（sqrt（（x-x0）*（x-x0）+（y-y0）*（y-y0））>30）%理想高通滤波器D0=15,D1=30,D2=80
H（x,y）=1;
end
end
end
%-----------傅立叶变换及频域滤波---------
F=fft2（f）;
F=fftshift（F）;%中心平移
FF=F.*H;%频域滤波。
注意必须是点乘
FFS=ifftshift（FF）;
g=ifft2（FF）;%傅立叶反变换
g=abs（real（g））;%取变换后的实部，并取绝对值
%显示并比较结果
subplot（2,3,1）,imshow（f）;title（'原图'）
subplot（2,3,2）,imshow（H）;title（'理想高通滤波器'）
subplot（2,3,3）,imshow（log（abs（F）+1）,[]）;title（'频率谱'）%对数变换，便于显示结果
subplot（2,3,4）,imshow（log（abs（FF）+1）,[]）;title（'频域滤波'）
subplot（2,3,5）,imshow（g,[]）;title（'滤波结果'）
（1）15:
（2）30:
（3）80:
思考题4：
构造巴特沃思高通滤波器，并使用它对图Fig4.11（a）.jpg进行高通滤波处理。
其中阶数n=2，截止频率D0分别为15、30、80，和思考题3使用理想高通滤波器滤波结果进行比较和分析。
注：
巴特沃思高通滤波器（BHPF）的传递函数为：
closeall
clearall
f=imread（'Fig4.11（a）.jpg'）;
%------构造理想高通滤波器----------
[HhHw]=size（f）;%以图像的行列值作为滤波器的行列
H（1:
Hh,1:
Hw）=0;%滤波器的初值为0
x0=Hh/2;y0=Hw/2;%滤波器的中心点
forx=1:
Hh
fory=1:
Hw
if（sqrt（（x-x0）*（x-x0）+（y-y0）*（y-y0））>D）%理想高通滤波器D0=15,D1=30,D2=80
H（x,y）=1/（1+[D/sqrt（（x-x0）*（x-x0）+（y-y0）*（y-y0））]^4）;
end
end
end
%-----------傅立叶变换及频域滤波---------
F=fft2（f）;
F=fftshift（F）;%中心平移
FF=F.*H;%频域滤波。
注意必须是点乘
FFS=ifftshift（FF）;
g=ifft2（FF）;%傅立叶反变换
g=abs（real（g））;%取变换后的实部，并取绝对值
%显示并比较结果
subplot（2,3,1）,imshow（f）;title（'原图'）
subplot（2,3,2）,imshow（H）;title（'理想高通滤波器'）
subplot（2,3,3）,imshow（log（abs（F）+1）,[]）;title（'频率谱'）%对数变换，便于显示结果
subplot（2,3,4）,imshow（log（abs（FF）+1）,[]）;title（'频域滤波'）
subplot（2,3,5）,imshow（g,[]）;title（'滤波结果'）
（1）15:
（2）30:
（3）80:
三、频域滤波器的空间形式
由卷积定理我们知道，空间域滤波和频域滤波之间存在对应关系。
频域滤波器在空间域存在对应的空间域滤波器。
例：
closeall
clear
%-------构造理想低通滤波器－－－－
H（1:
256,1:
256）=0;
x0=256/2;y0=256/2;
forx=1:
256
fory=1:
256
if（sqrt（（x-x0）*（x-x0）+（y-y0）*（y-y0））<30）%注1
H（x,y）=1;
end
end
end
figure
imshow（H,[]）
fh=ifft2（H）;%频域滤波器进行傅立叶反变换
fh=fftshift（fh）;
figure
imshow（log（1+abs（real（fh）））,[]）
title（'理想低通滤波器的空间形式'）
程序：
closeall
clear
%-------构造理想低通滤波器－－－－
H（1:
256,1:
256）=0;
x0=256/2;y0=256/2;
forx=1:
256
fory=1:
256
if（sqrt（（x-x0）*（x-x0）+（y-y0）*（y-y0））<30）%注1
H（x,y）=1;
end
end
end
subplot（1,2,1）,imshow（H,[]）
fh=ifft2（H）;%频域滤波器进行傅立叶反变换
fh=fftshift（fh）;
subplot（1,2,2）,imshow（log（1+abs（real（fh）））,[]）
title（'理想低通滤波器的空间形式'）
思考题5：
观察截止频率分别为15、30、50时，理想低通滤波器的空间形式。
了解：
频域滤波器越窄，在空域的滤波器越宽，即空域滤波模板越大，滤除的低频成分越多，图像越模糊；以及理想低通滤波器的截止频率越小振铃现象越明显。
15：
30：
50：
四、实验报告及要求
1、按照上述实验步骤把实验结果截图，并附上文字说明。
2、回答思考题，写出实现的命令及实验结果截图。
3、使用word文档写报告，交电子文档；
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