线性系统的可控性和可观测性.docx
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线性系统的可控性和可观测性
8.4线性系统的可控性和可观测性
8.4.1可控性和可观测性的概念
第三节介绍了系统的稳定性，本节接着介绍系统另外两个重要特性，即系统的可控性和可观测性，这两个特性是经典控制理论所没有的。
在用传递函数描述的经典控制系统中，输出量一般是可控的和可以被测量的，因而不需要特别地提及可控性及可观测性的概念。
现
代控制理论用状态方程和输出方程描述系统，输出和输入构成系统的外部变量，而状态为系
统的内部变量，系统就好比是一块集成电路芯片，内部结构可能十分复杂，物理量很多，而
外部只有少数几个引脚，对电路内部物理量的控制和观测都只能通过这为数不多的几个引脚进行。
这就存在着系统内的所有状态是否都受输入控制和所有状态是否都可以从输出反映出来的问题，这就是可控性和可观测性问题。
如果系统所有状态变量的运动都可以通过有限的控制点的输入来使其由任意的初态达到任意设定的终态，则称系统是可控的，更确切的说是
状态可控的；否则，就称系统是不完全可控的，简称为系统不可控。
相应地，如果系统所有的状态变量任意形式的运动均可由有限测量点的输出完全确定出来，则称系统是可观测的，简称为系统可观测；反之，则称系统是不完全可观测的，简称为系统不可观测。
可控性与可观测性的概念，是用状态空间描述系统引伸出来的新概念，在现代控制理论
中起着重要的作用。
可控性、可观测性与稳定性是现代控制系统的三大基本特性。
下面举几个例子直观地说明系统的可控性和可观测性。
（a）（b）（c）
图8-20电路系统可控性和可观测性的直观判别
对图8-20所示的结构图，其中图（a）显见洛受U的控制，但X2与U无关，故系统不可控。
系统输出量丫=捲，但X!
是受X2影响的，y能间接获得X2的信息，故系统是可观测的。
图（b）中的，X2均受u的控制，故系统可控，但y与X2无关，故系统不可观测。
图
（c）中的Xi、X2均受u的控制，且在y中均能观测到Xi、X2，故系统是可控可观测的。
只有少数简单的系统可以从结构图或信号流图直接判别系统的可控性与可观测性，如果
系统结构复杂，就只能借助于数学方法进行分析与研究，才能得到正确的结论。
842线性定常系统的可控性
可控性分为状态可控性和输出可控性，若不特别指明，一般指状态可控性。
状态可控性
只与状态方程有关，与输出方程无关。
下面分别对离散、连续定常系统的可控性加以研究，先从单输入离散系统入手。
1•离散系统的可控性
（1）单输入离散系统的状态可控性n阶单输入线性定常离散系统状态可控性定义为：
在有限时间间隔内t[0,nT]，存在无约束的阶梯控制序列u（0）,…，u（n-1）,能使系
统从任意初态x（0）转移至任意终态x（n）,则称该系统状态完全可控，简称可控。
下面导出系统可控性的条件，设单输入系统状态方程为
x（k1）x（k）gu（k）
（8-87）
其解为
k1
x（k）kx（0）k1igu（i）
i0
（8-88）
定义
xx（n）nx（0）
（8-89）
由于x（0）和x（n）取值都可以是任意的，因此
X的取值也可以是任意的。
将（8-89）写成
矩阵形式，有
xn1gu（0）n2gu
（1）川gu（n1）u（n1）
mu（n2）（8-90）
ggg:
I
u（0）
记
S[gg|||n1g]（8-91）
称（nn）方阵S1为单输入离散系统的可控性矩阵。
式（8-90）是一个非齐次线性方程组，n个方程中有n个未知数u（0）,,u（n1），由线性方程组解的存在定理可知，当矩阵S1的秩
与增广矩阵S^x（0）的秩相等时，方程组有解（在此尚有惟一解），否则无解。
注意到在x为任意的情况下，要使方程组有解的充分必要条件是：
矩阵S1满秩，即
rankSn（8-92）
或矩阵S1的行列式不为零，或矩阵S1是非奇异的，即
detS10（8-93）
式（8-92）和式（8-93）都称为可控性判据。
当rankS1Vn时，系统不可控，表示不存在能使任意x（0）转移至任意x（n）的控制。
从以上推导看出，状态可控性取决于和g，当u（k）不受约束时，可控系统的状态转
移过程至多以n个采样周期便可以完成，有时状态转移过程还可能少于n个采样周期。
上述过程不仅导出了单输入离散系统可控性条件，而且式（8-90）还给出了求取控制输
入的具体方法。
（2）多输入离散系统的状态可控性
单输入离散系统可控性的方法可推广到多输入系统，设系统状态方程为
x（k1）
x（k）Gu（k）
（8-94）
可控性矩阵为
S2
GG川n1G
（8-95）
u（n1）
I
xG
G川％:
（8-96）
u（0）
该阵为nnp矩阵，由于列向量u（0）,,u（n1）构成的控制列向量是np维的。
式（8-96）
含有n个方程和np个待求的控制量。
由于x是任意的，根据解存在定理，矩阵S2的秩为n时，方程组才有解。
于是多输入线性定常散离系统状态可控的充分必要条件是
n1
rankS2rank[GGG]n（8-97）
或
detS2S；0（8-98）
S2的行数总小于列数，在列写S2时，若能知道S2的秩为n，便不必把S2的其余列都计算和列写出来。
另外，用（8-98）计算一次n阶行列式便可确定可控性了，这比可能需要多次计算S2的n阶行列式要简单些。
多输入线性定常离散系统的状态转移过程一般可少于n个采样周期（例8-31）。
例8-20设单输入线性定常散离系统状态方程为
1
0
0
1
x（k1）0
2
2
x（k）
0u（k）
1
1
0
1
试判断可控性；若初始状态x（0）
2
1
0T，
确定使x（3）0的控制序列u（0）,u
（1）
u
（2）;研究使x
（2）0的可能性。
解由题意知
10
0
1
02
2
7
g0
11
0
1
1
1
1
2
rankErank[ggg]=rank0
2
23n
1
1
3
故该系统可控。
可得状
2
1
x
（1）
x（0）
gu（0）
2
0u（0）
1
1
2
1
1
x
（2）
x
（1）
gu
（1）
6
2u（0）
0
u
（1）
0
1
1
2
1
1
1
x（3）
x
（2）
gu
（2）
12
2u（0）
2u
（1）
0u
（2）
4
3
1
1
1
1
1u（0）
2
令x（3）0，即解下列方程组
2
2
0u
（1）
12
3
1
1u
（2）
4
按式（8-96）求出u（0）,u
（1）,u
（2）。
下面则用递推法来求控制。
令k=0,1,2,
态序列
其系数矩阵即可控性矩阵
Si,它的非奇异性可给出如下的解
i
u（0）1112
u
（1）22012
u
（2）3114
若令x
（2）0，即解下列方程组
1
0u（0）
彳u
（1）
1
容易看出其系数矩阵的秩为2，但增广矩阵
12
4
5
11
8
1
1
2
20
6的秩为3,两个秩不等,
1
1
0
组无解，意为不能在第二个采样周期内使给定初态转移至原点。
若该两个秩相等时,
着可用两步完成状态转移。
方程
便意味
例8-21多输入线性定常离散系统的状态方程为
x（k1）x（k）Gu（k）
2
2
1
0
0
0
2
0,G
0
1
1
4
0
1
0
试判断可控性，设初始状态为
[-1,0,2]T，研究使x
（1）0的可能性。
0
0
1
2
2
4
解
S2[GG2G]=0
1
0
2
0
4
1
0
0
4
1
10
由前三列组成的矩阵的行列式不为零,
故该系统可控，一定能求得控制使系统从任意初态
在三步内转移到原点。
由x
（1）
x（0）Gu（0）0，给出
x（0）
1Gu（0）
设初始状态为
U1（0）
u2（0）
U1（0）
u2（0）
1
2
1
2
1
T
1
1
102，由于rank0
=rank
0
0=2，可求得
2
2
2
3
2
3
2
U1（0）1,U2（0）0,在一步内使该初态转移到原点。
当初始状态为
2123T亦然,
只是U1（0）0,U2（0）1。
但本例不能一步内使任意初态转移到原点。
2•连续系统的可控性
（1）单输入连续系统的状态可控性
单输入线性连续定常系统状态可控性定义为:
t[t°,tf]，如果存在无约束的分段连续控制函数u（t），能使系统从任意
初态x（t。
）转移至任意终态x（tf），则称该系统是状态完全可控的，简称是可控的。
设状态方程为
有限时间间隔内
xAxbU
（8-99）
终态解为
x（tf）=eA（tft0）x（t°）tfeA（tf}bu（）d
t0
（8-100）
定义
xx（tf）e
A（tf
t0）
x（t°）
显然，x的取值也是任意的。
于是有
t0
feA（tf
）bu（）d
（8-101）
利用凯莱-哈密顿定理的推论
m（
）Am
Atf
xe
tf
t0
m（
）Ambu（）d
n1
Atfm.
eAb
tf
0m（）u（）d
对多输入系统
xAxBu
记可控性矩阵
S4BAB川An1B
状态可控的充要条件为
rankS4n或detSqS：
0
（2）多输入线性定常连续系统的可控性:
与离散系统一样，连续系统状态可控性只与状态方程中的
（8-106）
（8-107）
（8-108）
A、B矩阵有关。
令
Um
m（）u（）dm0,1,
to
n1
（8-102）
考虑到
Um是标量，
则有
u°
Atfe
X
n1
AmbumbAb
An1b
u1
（8-103）
m0
un1
记
S3
b
Ab川An1b
（8-104）
S3为单输入线性定常连续系统可控性矩阵，为（nn）矩阵。
可以证明：
由于各m（）
之间线性无关，利用（8-103）式得到的Um是无约束的阶梯序列。
同离散系统一样，根据解的存在定理，其状态可控的充分必要条件是
（8-105）
rankS3n
例8-22试用可控性判据判断图8-21所示桥式电路的可控性。
解选取状态变量：
x1iL,x2uc。
电路的状态方程如下:
X1
1（R1R2L（RR2
只3巳
R3R4
）X1
1（R1L（R1R2
R3
）X2
X2
C（R
R2
R2
R4）x丄
R3R41CR1R2
1
RT
R4
）X2
丄
可控性矩阵为S3bAb=L
0
1（R1R2
L2（R1R2
1（R2LC（R1R2
R3R4
R3R4
R4
R3R4
当R1R4R2R3时，rankS32=n，系统可控；反之当R1Rt
R2R3，即电桥处于平衡状态
时，rankS3
rankbAbL
0
1（R1R2
L2（R1R2
0
R3R4）
Rsr/，系统不可控，显然，u不
能控制X2。
图8-21电桥电路
图8-22并联电路
例8-23试判断图8-22所示并联网络的可控性。
解网络的微分方程为x1R1C1x1x2R2C2x2u
式中，
X1Uc1
1i1dt
C1
X2
1
Uc2
C2
i2dt
1
1
X1
X1
u
R1C1
rC1
状态方程为
1
1
X2
X2
u
R2C2
R2C2
1
1
于是
rankb
Ab=rank
rC1
22
R1C1
1
1
R2C2
、
当r1c1
R2C2时，
系统可控。
当R1
R2,C1C2，有R1C1R2C2，
rankb
Ab1
n，系统不可控；实际上，设初始状态X1（t。
）X2（t。
），u只能使
Xi（t）X2（t），而不能将X1（t）与X2（t）分别转移到不同的数值，即不能同时控制住两个状态。
例8-24判断下列状态方程的可控性
X
1
3
2
X1
2
1
X2
0
2
0
X2
1
1
u1
X3
0
1
3
X3
1
1
u2
2
1
3
2
5
4
解
S4
B
AB
a2b
1
1
2
2
4
4
1
1
2
2
4
4
显见S4矩阵的第二、三行元素绝对值相同，rankS323，系统不可控。
1.A为对角阵或约当阵时的可控性判据
当系统矩阵A已化成对角阵或约当阵时，由可控性矩阵能导出更简洁直观的可控性判据。
下面先来研究两个简单的引例。
10b
设二阶系统A、b矩阵为A1,b
0Jb2
bi1b1
其可控性矩阵S3的行列式为detS,detbAbb1b2（21）
b?
2匕2
由detS,0时系统可控，于是要求：
当A有相异特征值（21）时，应存在b10,
b?
0，意为A阵对角化且有相异元素时，只需根据输入矩阵没有全零行即可判断系统可
控。
若2i时，则不能这样判断，这时detS,0,系统总是不可控的。
11
又设二阶系统A、b矩阵为A1,b
01
b2
其可控性矩阵S,的行列式为detS,detbAb
b1b1b2
b；
b21b2
detS,0时系统可控，于是要求，b20,与bi是否为零无关，即当A矩阵约当化且相
同特征值分布在一个约当快时，只需根据输入矩阵中与约当块最后一行所对应的行不是全零
行，即可判断系统可控，与输入矩阵中的其它行是否为零行是无关的。
以上判断方法可推广到
A阵对角化、
约当化的
n阶系统。
设系统状态方程为
X1
1
0
X1
r11
r1p
U1
X2
2
X2
r21
r2p
U2
（8-109）
Xn
0
n
Xn
rn1
rnp
Up
式中1,,n，为系统相异特征值。
将式（8-109）展开，每个方程只含一个状态变量，状态变量之间解除了耦和，只要每
个方程中含有一个控制分量，则对应状态变量便是可控的，而这意味着输入矩阵的每一行都
是非零行。
当第i行出现全零时，Xj方程中不含任何控制分量，Xj不可控。
于是A矩阵为
对角阵时的可控性判据又可表为：
A矩阵为对角阵且元素各异时，输入矩阵不存在全零行。
当A为对角阵且含有相同元素时，上述判据不适用，应根据可控性矩阵的秩来判断。
设系统状态方程为
X1
11
X1
r11
r1p
U1
X2
1
X2
r21
r2p
U2
X3
3
X,
「31
r3p
U3（8-110）
Xn
n
Xn
rn1
r叩
up
式中，1为系统的
一重特征值且构成一个约当块，
3,
n为系统的相异特征值。
展开式
（8-110）可见，x2,,xn各方程的状态变量是解耦的，上述A对角化的判据仍适；而X!
方
程中既含X!
又含X2，在X2受控条件下，即使X!
方程中不存在任何控制分量，也能通过X2
间接传递控制作用，使X!
仍可控。
于是A阵约当化时的可控性判据又可表为：
输入矩阵中与约当块最后一行所对应的行不是全零行（与约当块其它行所对应的行允许是全零行）；输入矩阵中与相异特征值所对应的行不是全零行。
当A阵的相同特征值分布在两个或更多个约当块时,适用，也应根据可控性矩阵的秩来判断。
例8-25下列系统是可控的，试自行说明。
例如
0
0，以上判据不
1）
X1
X2
20x11
u
2）
3）
X1
X2
110x1
010X2
002X3
U1
U2
X1
11
X1
0
0
0
U1
X2
1
X2
0
0
1
U2
X3
2
X3
0
1
0
U3
X4
3
1
X4
0
0
0
U4
X5
3
1X5
0
0
0
U5
X6
X6
3
1
0
0
U6
X3
03X22
程为
在前面研究状态空间表达式的建立问题时，曾对单输入
-单输出定常系统建立的状态方
例8-26下列系统不可控的，试自行说明。
X1
2
0
X1
1
1）
0
1
U
X2
X2
0
X1
10
X1
1
2）
01
U
X2
X2
1
X1
3
1
0
X1
2
1
u
3）
X2
0
3
0
X2
0
0
U
X3
0
0
1
X3
3
2
4•可控标准型问题
Xi
Xi
X2
X2
（8-111）
其可控性矩阵为
S3b
Ab
a。
a1
a2
an
Xn1
Xn
an1
III
（8-112）
an
an
an
与该状态方程对应的可控性矩阵
定是可控的，这就是式（8-111）
S3是
称为可控标准型的由来。
个右下三角阵，且其副对角线元素均为
1，系
843线性定常系统的可观测性
如果某个状态可直接用仪器测量，它必然是可观测的。
在多变量系统中，能直接测量的状态一般不多，大多数状态往往只能通过对输出量的测量间接得到，有些状态变量甚至根本就不可观测。
须要注意的是，出现在输出方程中的状态变量不一定可观测，不出现在输出方程中的状态变量也不一定就不可观测。
1•离散系统的状态可观测性
其定义为：
已知输入向量序列u（0）,,u（n1）及有限采样周期内测量到的输出向量序
列y（0）,,y（n1），能惟一确定任意初始状态向量x（0），则称系统是完全可观测的，简称
系统可观测。
下面研究多输入-多输出离散系统的可观测条件。
（8-113）
x（k1）x（k）Gu（k）y（k）Cx（k）Du（k）
因为是讨论可观性，可假设输入为0,其解为
x（k）kx（0）y（k）ckx（0）
将y（k）写成展开式
y（0）Cx（0）
y
（1）cx（0）
（8-114）
y（n1）Cn1x（0）
C
X1（0）
y（0）
其向量-矩阵形式为
C
X2（0）
y
（1）
Cn1
Xn（0）
y（n1）
C
令
TC
V1
Cn
1
（8-115）
（8-116）
称（nqn）矩阵V：
为线性定常离散系统的可观测性矩阵。
式（8-115）展开后有nq个方程,若其中有n个独立方程，便可惟一确定一组的x1（0）,,xn（0）。
当独立方程个数多于n时,解会出现矛盾；当独立方程个数少于n时，便有无穷解。
故可观测的充分必要条件为
（8-117）
rankV|Tn
由于rankV「rank*，故离散系统可观测性判据又可以表示为
rankVrankCT
TCT|||（T）n1CTn
（8-118）
例8-27判断下列线性定常离散系统的可观测性，并讨论可观测性的物理解释。
矩阵有两种情况。
其输出
x（k1）
x（k）
gu（k）,
y（k）Ci（k）,
（i1,2）
C1
10,
C2
解计算可观测性矩阵
（1）当i1时:
0
GT
TCT
2,（
1
T）2C；
detV1
故系统可观测。
由输出方程
y（k）
X2（k）可见,
在第
k步便可由输出确定状态变量
x2（k）o
由于
y（k1）X2（k
故在第（k+1）步便可确定
1）
X3（k）o
2x2（k）X3（k）
由于
y（k2）X2（k
2）
2x2（k1）X3（k
1）
4x2（k）3x1（k）
y（k）,y（k+1）,y（k+2）的
故在第（k+2）步便可确定
x1（k）。
该系统为三阶系统，可观测意味着至多观测三步便能由
输出测量值来确定三个状态变量。
（2）
当
i
2时：
0
1
3
1
9
2
0
0
Tc；
0
0
（
T）2C；
0
0
1
0
2
1
1
3
0
1
3
1
9
2
ran
ikV1
0
0
0
0
0
02
3
1
0
2
1
1
3
故系统不可观测。
由输出方程
y（k）
X3（k）xdk）
y（k1）
X3（k
1）
3x1（k）
2x3（k）
X1（k
1）
X1（k）
X3（k）
y（k2）
X3（k
2）
3%（k
1）2x3（k
1）
9xMk）
X3（k）
xdk
2）
X1（k
1）X3（k
1）
2xdk）
3x3
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