华师大版九年级数学下册二次函数yax2的图象与性质教案.docx
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华师大版九年级数学下册二次函数yax2的图象与性质教案
26．2 二次函数的图象与性质
26．2.1 二次函数y＝ax2的图象与性质
教学目标
☞知识与技能
1．会用描点法画出二次函数y＝ax2的图象，知道抛物线的有关概念.
2．掌握二次函数y＝ax2的图象和性质．
☞过程与方法
通过数形结合进一步理解二次函数的性质．
☞情感、态度与价值观
1．在画图、观察、比较等探究活动中，形成良好的思维习惯和学习方法．
2．在探究二次函数y＝ax2的性质活动中，体会通过探究得到发现问题的乐趣．
重点难点
☞重点
二次函数y＝ax2（a≠0）的图象和由图象概括二次函数y＝ax2的性质．
☞难点
二次函数y＝ax2性质的应用．
教学过程
一、自学导纲
1．前面我们研究了一些具体的函数，根据你的经验，学习了二次函数的概念后，接着要研究什么问题？
2．想一想，一次函数的性质是怎样研究的？
（先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质．）
3．我们能否类比一次函数性质来研究二次函数的性质呢？
如果可以，应先研究什么？
（可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象）
4．一次函数的图象是什么？
二次函数的图象是什么？
（由此引出课题．）
二、合作互动
问题1：
画二次函数y＝ax2的图象
请用描点法画出y＝x2的图象（学生画出）．
说明和建议：
1．在画图象前，可以指导学生复习描点法画函数图象的方法．
2．观察y＝x2的自变量x的取值范围．引导学生回忆前面学过的内容，列表时如何合理选值？
以什么数为中心？
3．列表时应注意描点的方便，可告诉学生x取整数，可以以1为间距取值．
4．列表时应注意到x取相反数时，y的值相同，这样列表就可简捷一些，连线前要观察所描的点位置，它们不在一条直线上，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或按自变量从大到小的顺序连接．
5．要引导学生讨论这样画出的y＝x2的图象是实际图象的一部分，还是它的全部？
所画函数图象是准确的，还是近似的？
6．在学生画完的基础上，教师板演画函数y＝ax2的图象．
（1）列表：
在x的取值范围内列出函数对应值表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y
…
9
4
1
0
1
4
9
…
（2）在直角坐标系中描点：
用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点．
（3）连线：
用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y＝x2的图象，如图所示．
问题2：
请观察y＝x2的图象，它有什么特点？
说明和建议：
1．这个问题具有开放性，不同层次的学生可总结概括出不同的结论．
2．让学生观察、思考、讨论、交流，归结为：
它有一条对称轴，且对称轴和图象有一个交点．
教师在学生发言的基础上，借助上面所画的图象，指出有关概念：
抛物线及这个函数图象的对称轴、开口方向、顶点坐标等．
归纳：
二次函数y＝x2的图象是一条曲线，这条曲线叫抛物线，它的开口向上，对称轴是y轴，抛物线与对称轴的交点叫抛物线的顶点，抛物线y＝x2的顶点是原点．
问题3：
（1）在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2与y＝－x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？
又有什么区别？
（2）在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝－2x2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么？
（3）将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么？
说明与建议：
对于
（1），在学生画函数图象的同时，教师要指导中下水平的学生，讲评时，要引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点．两个函数图象的共同点以及它们的区别，可分组讨论、交流，让学生发表不同的意见，达成共识，两个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，顶点坐标都是（0，0），区别在于函数y＝x2的图象开口向上，函数y＝－x2的图象开口向下．
对于
（2），教师要继续巡视，指导学生画函数图象，两个函数的图象的特点教师可引导学生类比
（1）得出．
对于（3），教师可引导学生从
（1）的共同点和
（2）的发现中得到结论：
四个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，它们的顶点坐标都是（0，0）．
在学生完成、交流的基础上，教师展示图象并归纳．
函数y＝ax2的图象是一条________，它关于________对称，它的顶点坐标是________．
思考：
如果要更细致地研究函数y＝ax2图象的特点和性质，应如何分类？
为什么？
让学生观察y＝x2、y＝2x2的图象，填空：
当a＞0时，抛物线y＝ax2开口________．在对称轴的左边，曲线自左向右________；在对称轴的右边，曲线自左向右________．________是抛物线上位置最低的点．
问题4：
观察图象，y随x的变化如何变化？
说明与建议：
1．可让学生观察y＝x2、y＝2x2的图象，填空：
当x＜0时，函数值y随着x的增大而________，当x＞0时，函数值y随x的增大而________；当x＝________时，函数值y＝ax2（a＞0）取得最小值，最小值y＝________．
以上结论就是当a＞0时，函数y＝ax2的性质．
思考以下问题：
观察函数y＝－x2、y＝－2x2的图象，试作出类似的概括，当a＜0时，抛物线y＝ax2有什么特点？
它反映了当a＜0时，函数y＝ax2具有哪些性质？
让学生思考、讨论、交流，达成共识，当a＜0时，抛物线y＝ax2开口向下．在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降．顶点是抛物线上位置最高的点．图象的这些特点，反映了当a＜0时，函数y＝ax2的性质：
当x＜0时，函数值y随x的增大而增大；当x＞0时，函数值y随x的增大而减小；当x＝0时，函数值y＝ax2取得最大值，最大值是y＝0.
例 在同一坐标系中，二次函数y＝3x2，y＝x2，y＝－4x2的图象的共同点是（ ）
A．关于y轴对称，开口方向向上
B．关于y轴对称，顶点坐标为（0，0）
C．关于y轴对称，最高点都是原点
D．关于y轴对称，x＜0时，y随x的增大而减小
分析：
二次函数y＝ax2，a＞0时，开口向上，a＜0时，开口向下，故A错误；开口向上时有最低点，开口向下时，有最高点，故C错误；当a＜0，x＜0时，y随x的增大而增大．故D错误．
解答：
选B
三、反馈训练
基础练习
1．二次函数y＝πx2的顶点坐标是____________，对称轴是________，图象在x轴的________（顶点除外），开口向________，当x________时，y随x的增大而减小，当x________时，y随x的增大而增大．
2．观察函数y＝x2的图象，则下列判断中正确的是（ ）
A．若a，b互为相反数，则x＝a与x＝b的函数值相等
B．对于同一个自变量x，有两个函数值与它对应
C．对于一个实数y，有两个x和它对应
D．对任意实数x，都有y＞0
3．在函数y＝ax2中，当a＜0时，设自变量x1、x2的对应值分别为y1，y2，当x1＞x2＞0时，必有y1＜y2吗？
为什么？
拓展练习
4．已知函数y＝（k2＋k）xk2－2k－1是二次函数，它的图象开口________，当x________时，y随x的增大而增大．
5．已知等边三角形的边长为2x，请将此三角形的面积S表示成x的函数，并画出图象．
四、导学归纳
本节课你学到了什么，还有什么困惑？
引导学生从二次函数y＝ax2的图象形状、画法、对称轴、顶点、开口方向和增减性总结．
五、作业
1．《名师学案》“综合练·能力提升”部分．
2．课下思考：
（1）已知y＝（k＋2）xk2＋k－4是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而增大，则k＝________．
（2）已知正方形周长为Ccm，面积为Scm2.
①求S和C之间的函数关系式，并画出图象；
②根据图象，求出S＝1cm2时，正方形的周长；
③根据图象，求出C取何值时，S≥4cm2.
课后反思：
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2的图象与性质，体会数学建模的数形结合的思想方法．
26．2.2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
第1课时 二次函数y＝ax2＋k的图象与性质
教学目标
☞知识与技能
1．会用描点法画二次函数y＝ax2＋k的图象.
2．理解抛物线y＝ax2与y＝ax2＋k之间的位置关系．
3．体验抛物线的平移过程，形成良好的思维方法．
☞过程与方法
先画出y＝ax2＋k与y＝ax2的图象，然后综合对比观察图象，再归纳整理得出抛物线形状、位置规律．
☞情感、态度与价值观
1．结合探究函数y＝ax2＋k与y＝ax2的图象平移规律的过程继续渗透数形结合思想方法．
2．在探究二次函数y＝ax2＋k性质的过程中，成就学生的成就感，进一步增强学生学习的自信心．
重点难点
☞重点
二次函数y＝ax2＋k的图象和性质．
☞难点
理解抛物线y＝ax2与y＝ax2＋k之间的位置关系．
教学过程
一、自学导纲
1．二次函数y＝2x2的图象是__________，它的开口向________，顶点坐标是________，对称轴是________，在对称轴的左侧，y随x的增大而________，在对称轴的右侧，y随x的增大而________，当x＝________时，取最________值，其最________值是________．
2．二次函数y＝x2＋1的图象与二次函数y＝x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同？
二、合作互动
例 在同一坐标系中画出函数y＝x2，y＝x2＋2，y＝x2－2的图象，并指出它们的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，说出三个函数图象的异同点．
解答：
用描点法可以作出三个函数的图象，如图所示，y＝x2的图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点为原点（0，0）；y＝x2＋2的图象的开口向上，对称轴为y轴、顶点为点（0，2）；y＝x2－2的图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点为点（0，－2）．从三个函数的图象可以看出，它们的开口方向、形状大小、对称轴相同，只是顶点的位置不同．
总结反思：
二次函数y＝ax2，y＝ax2＋k的图象的对称轴相同，开口大小相同，开口方向相同，形状相同，顶点的位置不同．抛物线y＝ax2＋k可由抛物线y＝ax2向上或向下平移得到．
探究1 二次函数y＝ax2＋k的图象
（1）对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究？
（画出函数y＝x2＋1和函数y＝x2的图象，并加以比较．）
（2）请你在同一坐标系中画出函数y＝x2＋1和函数y＝x2的图象
说明：
①让学生回顾二次函数画图的三个步骤，按照画图步骤画出函数y＝x2和y＝x2＋1的图象．
②教师说明为什么两个函数自变量x可以取同一数值，为什么不必单独列出函数y＝x2＋1的对应值表，并让学生画出函数y＝x2＋1的图象．
③教师写出解题过程，与学生所画图象进行比较．
（3）当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？
反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？
说明：
①教师引导学生观察画函数图象时所列的表，当x依次取－3，－2，－1，0，1，2，3时，两个函数的函数值之间有什么关系？
由此让学生归纳得到，当自变量x取同一数值时，函数y＝x2＋1的函数值都比函数y＝x2的函数值大1.
②教师引导学生观察函数y＝x2＋1和y＝x2的图象，研究一些特殊点的位置关系，让学生归纳得到：
反映在图象上，函数y＝x2＋1的图象上的点都由函数y＝x2的图象上的相应点向上移动了一个单位．
（4）观察函数y＝x2＋1和y＝x2的图象，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有哪些是相同的？
又有哪些不同？
你能由此说出函数y＝x2＋1和y＝x2的图象之间的关系吗？
归纳：
①相同点：
开口方向相同，对称轴相同；不同点：
顶点坐标位置不同．
②y＝x2＋1的图象和y＝x2的图象形状相同，开口方向相同，y＝x2＋1的图象可以由y＝x2的图象向上平移1个单位得到．
探究2 根据上面讨论，你能由y＝x2的性质得到y＝x2＋1的性质吗？
说明：
让学生用类比的方法得到性质，可从对称轴左右两侧考虑．可让学生完成下列填空：
当x________时，函数值y随x的增大而减小；当x________时，函数值y随x的增大而增大；当x________时，函数取得最________值，最________值y＝________．
以上就是函数y＝x2＋1的性质
探究3 你能说出y＝－x2＋1的图象与性质吗？
说明：
小组合作交流，得出结论，并发言回答．最后教师归纳．
y＝－x2＋1的图象是一条抛物线，开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，1）；当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＝0时，y取最大值．
思考：
根据上面的讨论，你能得出二次函数y＝ax2＋k的图象与性质吗？
归纳：
二次函数y＝ax2＋k的图象是一条抛物线，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，k）．当a＞0时，它的开口向上；x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大；当x＝0时，y取最小值，最小值为k.当a＜0时，它的开口向下；x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＝0时，y取最大值，最大值为k.
三、反馈训练
在同一直角坐标系中，画出函数y＝－x2＋1与y＝－x2－1的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线y＝－x2＋1得到抛物线y＝－x2－1.
四、导学归纳
1．通过本节学习，你有哪些收获？
2．你对本节课有什么疑惑？
五、作业
必做题
1．《名师学案》“综合练·能力提升”部分．
2．函数y＝－2x2＋5，当x________时，函数值y随x的增大而减小；当x＝________时，函数值y取最________值________．
选做题
3．试说出函数y＝x2，y＝x2＋2，y＝x2－2的图象所具有的共同性质．
课后反思：
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2＋k的图象与性质，体会抛物线y＝ax2与y＝ax2＋k之间的联系与区别．
第2课时 二次函数y＝a（x－h）2的图象与性质
教学目标
☞知识与技能
1．会用描点法画二次函数y＝a（x－h）2的图象．
2．理解抛物线y＝a（x－h）2与y＝ax2之间的位置关系．
3．体验抛物线的平移过程，形成良好的思维方法．
☞过程与方法
先画出y＝ax2＋k与y＝ax2的图象，然后综合对比观察图象，再归纳整理得出抛物线形状、位置规律．
☞情感、态度与价值观
1．结合探究函数y＝a（x－h）2与y＝ax2的图象平移规律的过程继续渗透着数形结合思想方法．
2．在探究二次函数y＝a（x－h）2性质的过程中，造就学生的成就感，进一步培养学生学习数学的兴趣和增强学生学习的自信心．
重点难点
☞重点
二次函数y＝a（x－h）2图象和性质．
☞难点
把抛物线y＝ax2通过平移后得到y＝a（x－h）2时，确定平移的方向和距离．
教学过程
一、自学导纲
1．已知y＝－x2，y＝－x2－1，回答：
（1）两条抛物线的位置关系；
（2）分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标；
（3）说出它们所具有的公共性质．
2．二次函数y＝（x－2）2的图象是怎样的一条抛物线，它与二次函数y＝x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗？
这两个函数的图象之间有什么关系？
二、合作互动
1．思考：
你将用什么方法来研究上面提出的问题2?
（画出二次函数y＝（x－2）2和二次函数y＝x2的图象，并加以观察．）
2．画图：
在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝（x－2）2和二次函数y＝x2的图象．
说明：
（1）学生完成表格.
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x2
y＝（x－2）2
（2）画出图象．
（3）解决情景引入第2题．
①教师引导学生观察画出的两个函数图象．根据所画出的图象，完成以下填空：
函数
开口方向
对称轴
顶点坐标
y＝x2
y＝（x－2）2
②让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：
函数y＝（x－2）2与y＝x2的图象开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数y＝（x－2）2的图象可以看作是函数y＝x2的图象向右平移2个单位得到的，它的对称轴是直线x＝2，顶点坐标是（2，0）．
3．探究
例 已知二次函数y＝（x＋b）2，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x
…
1
2
3
4
5
6
…
y
…
4
1
0
1
4
9
…
（1）求b的值及该二次函数的解析式；
（2）当x为何值时，y取最小值？
最小值是多少？
（3）若点A（m，y1），B（m＋1，y2）都在该函数的图象上，试比较y1与y2的大小．
解答：
（1）把x＝3，y＝0代入关系式，0＝（3＋b）2，解得b＝－3，所以该函数为y＝（x－3）2.
（2）当x＝3时，y取最小值，最小值为0.
（3）当m＜2.5时，y1＞y2；当m＝2.5时y1＝y2；当m＞2.5时，y1＜y2.
4．探讨：
（1）你可以由函数y＝x2的性质，得到函数y＝（x－2）2的性质吗？
①教师引导学生回顾二次函数y＝x2的性质，并观察二次函数y＝（x－2）2的图象；
②让学生完成以下填空：
当x________时，函数值y随x的增大而减小；当x________时，函数值y随x的增大而增大；当x＝________时，函数取得最________值y＝________．
（2）在同一直角坐标系中，函数y＝－（x＋2）2的图象与函数y＝－x2的图象有什么关系？
y＝－（x＋2）2有哪些性质？
4．总结：
二次函数y＝a（x－h）2的图象与性质．
一般规律
①y＝a（x－h）2的图象特点如下表：
开口方向
对称轴
顶点坐标
a＞0
向上
a＜0
向下
x＝h
（h，0）
②性质：
若a＞0，当x＜h时，函数值y随x的增大而减小；当x＞h时，函数值y随x的增大而增大；当x＝h时，函数取得最小值，最小值y＝0.
若a＜0，当x＜h时，函数值y随x的增大而增大；当x＞h时，函数值y随x的增大而减小；当x＝h时，函数取得最大值，最大值y＝0.
③y＝a（x－h）2平移规律：
当h＞0时，将抛物线y＝ax2向右平移h个单位；当h＜0时，将抛物线y＝ax2向左平移|h|个单位．
三、反馈训练
1．基础练习
抛物线y＝（x－1）2的开口________，对称轴是________，顶点坐标是________，它可以看作是由抛物线y＝x2向________平移________个单位得到的．
2．拓展练习
（1）怎样平移函数y＝－（x－2）2的图象，就可得到函数y＝－（x＋5）2的图象？
（2）将抛物线y＝ax2向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为－2，且新抛物线经过点（1，3），求a的值．
四、导学归纳
1．在同一直角坐标系中，函数y＝a（x－h）2的图象与函数y＝ax2的图象有什么联系和区别？
2．你能说出函数y＝a（x－h）2图象的性质吗？
3．谈谈本节课的收获和体会．
五、作业
1．不画出图象，请你说明抛物线y＝5x2与y＝5（x－4）2之间的关系．
2．已知函数y＝－x2，y＝－（x＋2）2和y＝－（x－2）2.
（1）在同一直角坐标系中画出它们的函数图象；
（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（3）试说明，分别通过怎样的平移，可以由函数y＝－x2的图象得到函数y＝－（x＋2）2和函数y＝－（x－2）2的图象？
（4）分别说出各个函数的性质．
选做题
3．试说出二次函数y＝x2＋2x＋1图象的对称轴、顶点坐标、开口方向，最大（或最小）值；当x取什么值时，y随x增大而增大．
（提示：
将y＝x2＋2x＋1化为y＝（x＋1）2后求．）
课后反思：
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝a（x－h）2的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法．
第3课时 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象与性质
教学目标
☞知识与技能
会用描点法画二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象，并通过图象认识函数的性质．
☞过程与方法
先由y＝a（x－h）2＋k型的五个特例入手，再推广到一般，归纳出结论．
☞情感、态度与价值观
结合函数y＝a（x－h）2＋k与y＝ax2的图象平移规律的探究过程，继续渗透数形结合的方法．
重点难点
☞重点
二次函数y＝a（x－h）2＋k的性质．
☞难点
二次函数y＝a（x－h）2＋k图象与y＝ax2图象之间的关系．
教学过程
一、自学导纲
我们学习了形如y＝ax2，y＝ax2＋k，y＝a（x－h）2的函数，知道了它们可以经过相互平移得到．二次函数y＝a（x－h）2＋k又是怎样的一条抛物线呢？
它与这三条抛物线之间有什么关系？
二、合作互动
1．探究
例 已知函数y＝2（x－3）2－8.
（1）写出函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标；
（2）求出图象与x轴的交点坐标；
（3）当x取何值时，y随x的增大而增大；x取何值时，y随x的增大而减小；
（4）当x取何值时，函数有最大值或最小值？
并求出最大（小）值；
（5）函数图象可由y＝2x2的图象经过怎样的平移得到．
分析：
本题综合考查函数y＝a（x－h）2＋k的图象及性质，特别注意图象与x轴的交点坐标即要求出y＝0时的x的值，则需解一元二次方程求得．
解答：
（1）∵a＝2＞0，
∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝3，顶点坐标是（3，－8）．
（2）令y＝0，即2（x－3）2－8＝0，
整理，得x2－6x＋5＝0，
解得x1＝1，x2＝5.
故图象与x轴交于（1，0），（5，0）．
（3）当x＞3时y随x的增大而增大，当x＜3时，y随x的增大而减小．
（4）当x＝3时，y有最小值，最小值是－8.
（5）函数图象可由y＝2x2的图象先向右平移3个单位，再向下平移8个单位得到．
总结反思：
综合运用函数y＝a（x－h）2＋k的图象特点及性质求解，熟记这些基础知识是解题关键．
在同一坐标系中画出函数y＝x2，y＝x2＋1，y＝（x－2）2＋1的图象，并写出它们的开口方向、对称轴及顶点．
说明：
在画图时，可引导学生注意以下问题：
①列表时，要合理选值，选值时先考虑对称性质，其次尽量选整数，方便计算、描点．前两个函数的对称轴是y轴，选值以x＝0为中心．第三个函数的对称轴尚不清楚，可对照y＝a（x－h）2，作出初步的判断．计算y值，只要计算对称轴一侧的值，另一侧由对称性直接填空．另外，注意观察三个函数解析式的特点，后两个函数值的计算，可以利用第一个函数的运算结果．
②描点时，一般可先定顶点，然后利用对称性，描出各对称点．
③连线时，特别要注意顶点附近的大致趋向，最后画得抛物线应平滑、对称、并且符合抛物线的特点．
④让学生完成下列填空：
它们的开口方向都向________，对称轴分别为________、________、________，顶点坐标分别为________、________、________．
观察归纳：
观察上面所画函数的图象并进行比较，你认为函数y＝（x－2）2＋1的图象有何特
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