华师大版九年级数学下册二次函数yax2的图象与性质教案.docx

1、华师大版九年级数学下册二次函数yax2的图象与性质教案262二次函数的图象与性质262.1二次函数yax2的图象与性质教学目标知识与技能1会用描点法画出二次函数yax2的图象，知道抛物线的有关概念. 2掌握二次函数yax2的图象和性质过程与方法通过数形结合进一步理解二次函数的性质情感、态度与价值观1在画图、观察、比较等探究活动中，形成良好的思维习惯和学习方法2在探究二次函数yax2的性质活动中，体会通过探究得到发现问题的乐趣重点难点重点二次函数yax2(a0)的图象和由图象概括二次函数yax2的性质难点二次函数yax2性质的应用教学过程一、自学导纲1前面我们研究了一些具体的函数，根据你的经验，

2、学习了二次函数的概念后，接着要研究什么问题？2想一想，一次函数的性质是怎样研究的？(先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质)3我们能否类比一次函数性质来研究二次函数的性质呢？如果可以，应先研究什么？(可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象)4一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么？(由此引出课题)二、合作互动问题1：画二次函数yax2的图象请用描点法画出yx2的图象(学生画出)说明和建议：1在画图象前，可以指导学生复习描点法画函数图象的方法2观察yx2的自变量x的取值范围引导学生回忆前面学过的内容，列表时如何合理选值？以什么数为中心？

3、3列表时应注意描点的方便，可告诉学生x取整数，可以以1为间距取值4列表时应注意到x取相反数时，y的值相同，这样列表就可简捷一些，连线前要观察所描的点位置，它们不在一条直线上，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或按自变量从大到小的顺序连接5要引导学生讨论这样画出的yx2的图象是实际图象的一部分，还是它的全部？所画函数图象是准确的，还是近似的？6在学生画完的基础上，教师板演画函数yax2的图象(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表：x3210123y9410149(2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点(3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数yx2

4、的图象，如图所示问题2：请观察yx2的图象，它有什么特点？说明和建议：1这个问题具有开放性，不同层次的学生可总结概括出不同的结论2让学生观察、思考、讨论、交流，归结为：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一个交点教师在学生发言的基础上，借助上面所画的图象，指出有关概念：抛物线及这个函数图象的对称轴、开口方向、顶点坐标等归纳：二次函数yx2的图象是一条曲线，这条曲线叫抛物线，它的开口向上，对称轴是y轴，抛物线与对称轴的交点叫抛物线的顶点，抛物线yx2的顶点是原点问题3：(1)在同一直角坐标系中，画出函数yx2与yx2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别？(2)在同一直角坐标系

5、中，画出函数y2x2与y2x2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么？(3)将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么？说明与建议：对于(1)，在学生画函数图象的同时，教师要指导中下水平的学生，讲评时，要引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点两个函数图象的共同点以及它们的区别，可分组讨论、交流，让学生发表不同的意见，达成共识，两个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，顶点坐标都是(0，0)，区别在于函数yx2的图象开口向上，函数yx2的图象开口向下对于(2)，教师要继续巡视，指导学生画函数图象，两个函数的图象的特点教师可引导学生类比(1)得出对于(3)，教师可引导学生从(1)的共

6、同点和(2)的发现中得到结论：四个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，它们的顶点坐标都是(0，0)在学生完成、交流的基础上，教师展示图象并归纳函数yax2的图象是一条_，它关于_对称，它的顶点坐标是_思考：如果要更细致地研究函数yax2图象的特点和性质，应如何分类？为什么？让学生观察yx2、y2x2的图象，填空：当a0时，抛物线yax2开口_在对称轴的左边，曲线自左向右_；在对称轴的右边，曲线自左向右_是抛物线上位置最低的点问题4：观察图象，y随x的变化如何变化？说明与建议：1可让学生观察yx2、y2x2的图象，填空：当x0时，函数值y随着x的增大而_，当x0时，函数值y随x的增大而_；当x

7、_时，函数值yax2(a0)取得最小值，最小值y_以上结论就是当a0时，函数yax2的性质思考以下问题：观察函数yx2、y2x2的图象，试作出类似的概括，当a0时，抛物线yax2有什么特点？它反映了当a0时，函数yax2具有哪些性质？让学生思考、讨论、交流，达成共识，当a0时，抛物线yax2开口向下在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降顶点是抛物线上位置最高的点图象的这些特点，反映了当a0时，函数yax2的性质：当x0时，函数值y随x的增大而增大；当x0时，函数值y随x的增大而减小；当x0时，函数值yax2取得最大值，最大值是y0.例在同一坐标系中，二次函数y3x2

8、，yx2，y4x2的图象的共同点是()A关于y轴对称，开口方向向上B关于y轴对称，顶点坐标为(0，0)C关于y轴对称，最高点都是原点D关于y轴对称，x0时，y随x的增大而减小分析：二次函数yax2，a0时，开口向上，a0时，开口向下，故A错误；开口向上时有最低点，开口向下时，有最高点，故C错误；当a0，x0时，y随x的增大而增大故D错误解答：选B三、反馈训练基础练习1二次函数yx2的顶点坐标是_，对称轴是_，图象在x轴的_(顶点除外)，开口向_，当x_时，y随x的增大而减小，当x_时，y随x的增大而增大2观察函数yx2的图象，则下列判断中正确的是()A若a，b互为相反数，则xa与xb的函数值相

9、等B对于同一个自变量x，有两个函数值与它对应C对于一个实数y，有两个x和它对应D对任意实数x，都有y03在函数yax2中，当a0时，设自变量x1、x2的对应值分别为y1，y2，当x1x20时，必有y1y2吗？为什么？拓展练习4已知函数y(k2k)xk22k1是二次函数，它的图象开口_，当x_时，y随x的增大而增大5已知等边三角形的边长为2x，请将此三角形的面积S表示成x的函数，并画出图象四、导学归纳本节课你学到了什么，还有什么困惑？引导学生从二次函数yax2的图象形状、画法、对称轴、顶点、开口方向和增减性总结五、作业1名师学案“综合练能力提升”部分2课下思考：(1)已知y(k2)xk2k4是二

10、次函数，且当x0时，y随x的增大而增大，则k_(2)已知正方形周长为Ccm，面积为Scm2.求S和C之间的函数关系式，并画出图象；根据图象，求出S1cm2时，正方形的周长；根据图象，求出C取何值时，S4cm2.课后反思：教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数yax2的图象与性质，体会数学建模的数形结合的思想方法262.2二次函数yax2bxc的图象与性质第1课时二次函数yax2k的图象与性质教学目标知识与技能1会用描点法画二次函数yax2k的图象. 2理解抛物线yax2与yax2k之间的位置关系3体验抛物线的平移过程，形成良好的思维方法过程与方法先画出yax2k与yax2

11、的图象，然后综合对比观察图象，再归纳整理得出抛物线形状、位置规律情感、态度与价值观1结合探究函数yax2k与yax2的图象平移规律的过程继续渗透数形结合思想方法2在探究二次函数yax2k性质的过程中，成就学生的成就感，进一步增强学生学习的自信心重点难点重点二次函数yax2k的图象和性质难点理解抛物线yax2与yax2k之间的位置关系教学过程一、自学导纲1二次函数y2x2的图象是_，它的开口向_，顶点坐标是_，对称轴是_，在对称轴的左侧，y随x的增大而_，在对称轴的右侧，y随x的增大而_，当x_时，取最_值，其最_值是_2二次函数yx21的图象与二次函数yx2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否

12、相同？二、合作互动例在同一坐标系中画出函数yx2，yx22，yx22的图象，并指出它们的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，说出三个函数图象的异同点解答：用描点法可以作出三个函数的图象，如图所示，yx2的图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点为原点(0，0)；yx22的图象的开口向上，对称轴为y轴、顶点为点(0，2)；yx22的图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点为点(0，2)从三个函数的图象可以看出，它们的开口方向、形状大小、对称轴相同，只是顶点的位置不同总结反思：二次函数yax2，yax2k的图象的对称轴相同，开口大小相同，开口方向相同，形状相同，顶点的位置不同抛物线yax2k可由抛物线yax2向

13、上或向下平移得到探究1二次函数yax2k的图象(1)对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究？(画出函数yx21和函数yx2的图象，并加以比较)(2)请你在同一坐标系中画出函数yx21和函数yx2的图象说明：让学生回顾二次函数画图的三个步骤，按照画图步骤画出函数yx2和yx21的图象教师说明为什么两个函数自变量x可以取同一数值，为什么不必单独列出函数yx21的对应值表，并让学生画出函数yx21的图象教师写出解题过程，与学生所画图象进行比较(3)当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？说明：教师引导学生观察画函数图象时

14、所列的表，当x依次取3，2，1，0，1，2，3时，两个函数的函数值之间有什么关系？由此让学生归纳得到，当自变量x取同一数值时，函数yx21的函数值都比函数yx2的函数值大1.教师引导学生观察函数yx21和yx2的图象，研究一些特殊点的位置关系，让学生归纳得到：反映在图象上，函数yx21的图象上的点都由函数yx2的图象上的相应点向上移动了一个单位(4)观察函数yx21和yx2的图象，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有哪些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数yx21和yx2的图象之间的关系吗？归纳：相同点：开口方向相同，对称轴相同；不同点：顶点坐标位置不同yx21的图象和yx2的图象形状相同，

15、开口方向相同，yx21的图象可以由yx2的图象向上平移1个单位得到探究2根据上面讨论，你能由yx2的性质得到yx21的性质吗？说明：让学生用类比的方法得到性质，可从对称轴左右两侧考虑可让学生完成下列填空：当x_时，函数值y随x的增大而减小；当x_时，函数值y随x的增大而增大；当x_时，函数取得最_值，最_值y_以上就是函数yx21的性质探究3你能说出yx21的图象与性质吗？说明：小组合作交流，得出结论，并发言回答最后教师归纳yx21的图象是一条抛物线，开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标是(0，1)；当x0时，y随x的增大而减小；当x0时，y随x的增大而增大；当x0时，y取最大值思考：根据上面的讨

16、论，你能得出二次函数yax2k的图象与性质吗？归纳：二次函数yax2k的图象是一条抛物线，对称轴是y轴，顶点坐标是(0，k)当a0时，它的开口向上；x0时，y随x的增大而减小；当x0时，y随x的增大而增大；当x0时，y取最小值，最小值为k.当a0时，它的开口向下；x0时，y随x的增大而增大；当x0时，y随x的增大而减小；当x0时，y取最大值，最大值为k.三、反馈训练在同一直角坐标系中，画出函数yx21与yx21的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线yx21得到抛物线yx21.四、导学归纳1通过本节学习，你有哪些收获？2你对本节课有什么疑惑？五、作业必做题1名师学案“综合练能力提升”部分2

17、函数y2x25，当x_时，函数值y随x的增大而减小；当x_时，函数值y取最_值_选做题3试说出函数yx2，yx22，yx22的图象所具有的共同性质课后反思：教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数yax2k的图象与性质，体会抛物线yax2与yax2k之间的联系与区别第2课时二次函数ya(xh)2的图象与性质教学目标知识与技能1会用描点法画二次函数ya(xh)2的图象2理解抛物线ya(xh)2与yax2之间的位置关系3体验抛物线的平移过程，形成良好的思维方法过程与方法先画出yax2k与yax2的图象，然后综合对比观察图象，再归纳整理得出抛物线形状、位置规律情感、态度与价值观1

18、结合探究函数ya(xh)2与yax2的图象平移规律的过程继续渗透着数形结合思想方法2在探究二次函数ya(xh)2性质的过程中，造就学生的成就感，进一步培养学生学习数学的兴趣和增强学生学习的自信心重点难点重点二次函数ya(xh)2图象和性质难点把抛物线yax2通过平移后得到ya(xh)2时，确定平移的方向和距离教学过程一、自学导纲1已知yx2，yx21，回答：(1)两条抛物线的位置关系；(2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标；(3)说出它们所具有的公共性质2二次函数y(x2)2的图象是怎样的一条抛物线，它与二次函数yx2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗？这两个函数的图象之间有什

19、么关系？二、合作互动1思考：你将用什么方法来研究上面提出的问题2?(画出二次函数y(x2)2和二次函数yx2的图象，并加以观察)2画图：在同一直角坐标系中，画出二次函数y(x2)2和二次函数yx2的图象说明：(1)学生完成表格.x3210123yx2y(x2)2(2)画出图象(3)解决情景引入第2题教师引导学生观察画出的两个函数图象根据所画出的图象，完成以下填空：函数开口方向对称轴顶点坐标yx2y(x2)2让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：函数y(x2)2与yx2的图象开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数y(x2)2的图象可以看作是函数yx2的图象向右平移2个单位得

20、到的，它的对称轴是直线x2，顶点坐标是(2，0)3探究例已知二次函数y(xb)2，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x123456y410149(1)求b的值及该二次函数的解析式；(2)当x为何值时，y取最小值？最小值是多少？(3)若点A(m，y1)，B(m1，y2)都在该函数的图象上，试比较y1与y2的大小解答：(1)把x3，y0代入关系式，0(3b)2，解得b3，所以该函数为y(x3)2.(2)当x3时，y取最小值，最小值为0.(3)当m2.5时，y1y2；当m2.5时y1y2；当m2.5时，y1y2.4探讨：(1)你可以由函数yx2的性质，得到函数y(x2)2的性质吗？教师引导学生回顾

21、二次函数yx2的性质，并观察二次函数y(x2)2的图象；让学生完成以下填空：当x_时，函数值y随x的增大而减小；当x_时，函数值y随x的增大而增大；当x_时，函数取得最_值y_(2)在同一直角坐标系中，函数y(x2)2的图象与函数yx2的图象有什么关系？y(x2)2有哪些性质？4总结：二次函数ya(xh)2的图象与性质一般规律ya(xh)2的图象特点如下表：开口方向对称轴顶点坐标a0向上a0向下xh(h，0)性质：若a0，当xh时，函数值y随x的增大而减小；当xh时，函数值y随x的增大而增大；当xh时，函数取得最小值，最小值y0.若a0，当xh时，函数值y随x的增大而增大；当xh时，函数值y随

22、x的增大而减小；当xh时，函数取得最大值，最大值y0.ya(xh)2平移规律：当h0时，将抛物线yax2向右平移h个单位；当h0时，将抛物线yax2向左平移|h|个单位三、反馈训练1基础练习抛物线y(x1)2的开口_，对称轴是_，顶点坐标是_，它可以看作是由抛物线yx2向_平移_个单位得到的2拓展练习(1)怎样平移函数y(x2)2的图象，就可得到函数y(x5)2的图象？(2)将抛物线yax2向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为2，且新抛物线经过点(1，3)，求a的值四、导学归纳1在同一直角坐标系中，函数ya(xh)2的图象与函数yax2的图象有什么联系和区别？2你能说出函数ya(xh)2图象的

23、性质吗？3谈谈本节课的收获和体会五、作业1不画出图象，请你说明抛物线y5x2与y5(x4)2之间的关系2已知函数yx2，y(x2)2和y(x2)2.(1)在同一直角坐标系中画出它们的函数图象；(2)分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；(3)试说明，分别通过怎样的平移，可以由函数yx2的图象得到函数y(x2)2和函数y(x2)2的图象？(4)分别说出各个函数的性质选做题3试说出二次函数yx22x1图象的对称轴、顶点坐标、开口方向，最大(或最小)值；当x取什么值时，y随x增大而增大(提示：将yx22x1化为y(x1)2后求)课后反思：教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探

24、究二次函数ya(xh)2的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法第3课时二次函数ya(xh)2k的图象与性质教学目标知识与技能会用描点法画二次函数ya(xh)2k的图象，并通过图象认识函数的性质过程与方法先由ya(xh)2k型的五个特例入手，再推广到一般，归纳出结论情感、态度与价值观结合函数ya(xh)2k与yax2的图象平移规律的探究过程，继续渗透数形结合的方法重点难点重点二次函数ya(xh)2k的性质难点二次函数ya(xh)2k图象与yax2图象之间的关系教学过程一、自学导纲我们学习了形如yax2，yax2k，ya(xh)2的函数，知道了它们可以经过相互平移得到二次函数ya(xh)2k

25、又是怎样的一条抛物线呢？它与这三条抛物线之间有什么关系？二、合作互动1探究例已知函数y2(x3)28.(1)写出函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标；(2)求出图象与x轴的交点坐标；(3)当x取何值时，y随x的增大而增大；x取何值时，y随x的增大而减小；(4)当x取何值时，函数有最大值或最小值？并求出最大(小)值；(5)函数图象可由y2x2的图象经过怎样的平移得到分析：本题综合考查函数ya(xh)2k的图象及性质，特别注意图象与x轴的交点坐标即要求出y0时的x的值，则需解一元二次方程求得解答：(1)a20，抛物线的开口向上，对称轴是直线x3，顶点坐标是(3，8)(2)令y0，即2(x3)280

26、，整理，得x26x50，解得x11，x25.故图象与x轴交于(1，0)，(5，0)(3)当x3时y随x的增大而增大，当x3时，y随x的增大而减小(4)当x3时，y有最小值，最小值是8.(5)函数图象可由y2x2的图象先向右平移3个单位，再向下平移8个单位得到总结反思：综合运用函数ya(xh)2k的图象特点及性质求解，熟记这些基础知识是解题关键在同一坐标系中画出函数yx2，yx21，y(x2)21的图象，并写出它们的开口方向、对称轴及顶点说明：在画图时，可引导学生注意以下问题：列表时，要合理选值，选值时先考虑对称性质，其次尽量选整数，方便计算、描点前两个函数的对称轴是y轴，选值以x0为中心第三个函数的对称轴尚不清楚，可对照ya(xh)2，作出初步的判断计算y值，只要计算对称轴一侧的值，另一侧由对称性直接填空另外，注意观察三个函数解析式的特点，后两个函数值的计算，可以利用第一个函数的运算结果描点时，一般可先定顶点，然后利用对称性，描出各对称点连线时，特别要注意顶点附近的大致趋向，最后画得抛物线应平滑、对称、并且符合抛物线的特点让学生完成下列填空：它们的开口方向都向_，对称轴分别为_、_、_，顶点坐标分别为_、_、_观察归纳：观察上面所画函数的图象并进行比较，你认为函数y(x2)21的图象有何特