届天津市南开区高三一模理科数学试题及答案.docx

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届天津市南开区高三一模理科数学试题及答案

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页．

祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．

3．本卷共8小题，每小题5分，共40分．

参考公式：

·如果事件A，B互斥，那么·如果事件A，B相互独立，那么

P（A∪B）=P（A）+P（B）．P（AB）=P（A）•P（B）．

·棱柱的体积公式V柱体=Sh，·球的体积公式V球=

R3，

其中S表示棱柱的底面积，其中R表示球的半径．

h表示棱柱的高．

一、选择题：

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）i是虚数单位，复数

=（）．

（A）–i（B）i　

（C）–

–

i（D）–

+

i

（2）已知实数x，y满足约束条件

，则目标函数z=x–2y的最小值是（）．

（A）0（B）–6

（C）–8（D）–12

（3）设A，B为两个不相等的集合，条件p：

x（A∩B），条件q：

x（A∪B），则p是q的（）．

（A）充分不必要条件（B）充要条件

（C）必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件

（4）已知双曲线ax2–by2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是x–

y=0，它的一个焦点在抛物线y2=–4x的准线上，则双曲线的方程为（）．

（A）4x2–12y2=1（B）4x2–

y2=1

（C）12x2–4y2=1（D）

x2–4y2=1

（5）函数y=log0.4（–x2+3x+4）的值域是（）．

（A）（0，–2]（B）[–2，+∞）

（C）（–∞，–2]（D）[2，+∞）

（6）如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三

视图，则此棱锥的体积为（）．

（A）

（B）

（C）

（D）

（7）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2=a2+bc，A=

，则内角C=（）．

（A）

（B）

（C）

（D）

或

（8）已知函数f（x）=|mx|–|x–n|（0＜n＜1+m），若关于x的不等式f（x）＜0的解集中的整数恰有3个，则实数m的取值范围为（）．

（A）3＜m＜6（B）1＜m＜3

（C）0＜m＜1（D）–1＜m＜0

南开区2018～2018学年度第二学期高三年级总复习质量检测

（一）

答题纸（理工类）

题号

二

三

总分

（15）

（16）

（17）

（18）

（19）

（20）

得分

第Ⅱ卷

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；

2．本卷共12小题，共110分．

得分

评卷人

二、填空题：

本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上。

（9）如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率依次成等差数列，第2小组的频数为15，则抽取的学生人数为．

（10）已知a＞0，（x–

）6的二项展开式中，常数项等于60，则（x–

）6的展开式中各项系数和为（用数字作答）．

（11）如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S=．

（12）已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为：

（为参数），以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：

cos–sin=0，则圆C截直线l所得弦长为．

（13）如图，圆O的割线PAB交圆O于A、B两点，割线PCD经过圆心O．已知PA=AB=2

，PO=8．则BD的长为．

（14）已知正三角形ABC的边长为2，点D，E分别在边AB，AC上，且

=

，

=

．若点F为线段BE的中点，点O为△ADE的重心，则

•

=．

三、解答题：

（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

得分

评卷人

（15）（本小题满分13分）

设函数f（x）=cos（2x+

）+2cos2x，x∈R．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；

（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移

个单位长度后得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间

上的最小值．

得分

评卷人

（16）（本小题满分13分）

将编号为1，2，3，4的4个小球随机放到A、B、C三个不同的小盒中，每个小盒至少放一个小球．

（Ⅰ）求编号为1，2的小球同时放到A盒的概率；

（Ⅱ）设随机变量为放入A盒的小球的个数，求的分布列与数学期望．

得分

评卷人

（17）（本小题满分13分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，

PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中点．

（Ⅰ）求证：

平面EAC⊥平面PBC；

（Ⅱ）若二面角P-AC-E的余弦值为

，求直线

PA与平面EAC所成角的正弦值．

得分

评卷人

（18）（本小题满分13分）

已知椭圆C：

（a＞b＞0）与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），F为左焦点，原点O到直线FA的距离为

b．

（Ⅰ）求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）设b=2，直线y=kx+4与椭圆C交于不同的两点M，N，求证：

直线BM与直线AN的交点G在定直线上．

得分

评卷人

（19）（本小题满分14分）

设数列{an}满足：

a1=1，an+1=3an，n∈N*．设Sn为数列{bn}的前n项和，已知b1≠0，2bn–b1=S1•Sn，n∈N*．

（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅱ）设cn=bn•log3an，求数列{cn}的前n项和Tn；

（Ⅲ）证明：

对任意n∈N*且n≥2，有

+

+…+

＜

．

得分

评卷人

（20）（本小题满分14分）

已知函数f（x）=

，曲线y=f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程为x+（e–1）2y–e=0．

其中e=2.71828…为自然对数的底数．

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）如果当x≠0时，f（2x）＜

，求实数k的取值范围．

南开区2018～2018学年度第二学期高三年级总复习质量检测

（一）

数学试卷（理工类）参考答案04

一、选择题：

题号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

答案

A

C

C

D

B

A

B

B

二、填空题：

（9）60；（10）1；（11）2500；

（12）2

；（13）2

；（14）0

三、解答题：

（其他正确解法请比照给分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）=cos（2（x–

）+

）+1=cos（2x–

）+1．…………10分

因为0≤x≤

，

所以–

≤2x–

≤

，

所以–

≤cos（2x–

）≤1，…………12分

因此

≤cos（2x–

）+1≤2，即f（x）的取值范围为[

，2]．…………13分

（16）解：

（Ⅰ）设编号为1，2的小球同时放到A盒的概率为P，

P=

=

．…………4分

（Ⅱ）=1，2，…………5分

P（=1）=

=

，

P（=2）=

=

，

1

2

P

所以的分布列为

…………11分

的数学期望E（）=1×

+2×

=

．…………13分

（17）解：

（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC．

∵AB=4，AD=CD=2，∴AC=BC=

．

∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．

又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC．

∵AC⊂平面EAC，

∴平面EAC⊥平面PBC．…………5分

（Ⅱ）如图，以点C为原点，

，

，

分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（2，2，0），B（2，–2，0）．

设P（0，0，2a）（a＞0），则E（1，–1，a），

=（2，2，0），

＝（0，0，2a），

=（1，–1，a）．

取m=（1，–1，0），则m·

=m·

=0，m为面PAC的法向量．

设n=（x，y，z）为面EAC的法向量，则n·

=n·

=0，

即

，取x=a，y=–a，z=–2，则n=（a，–a，–2），

依题意，|cos|=

=

=

，则a=2．…………10分

于是n=（2，–2，–2），

=（2，2，–4）．

设直线PA与平面EAC所成角为，

则sin=|cos<

，n>|=

=

，

即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为

．…………13分

（18）解：

（Ⅰ）设F的坐标为（–c，0），依题意有bc=

ab，

∴椭圆C的离心率e=

=

．…………3分

（Ⅱ）若b=2，由（Ⅰ）得a=2

，∴椭圆方程为

．…………5分

联立方程组

化简得：

（2k2+1）x2+16kx+24=0，

由△=32（2k2–3）＞0，解得：

k2＞

由韦达定理得：

xM+xN=

…①，xMxN=

…②…………7分

设M（xM，kxM+4），N（xN，kxN+4），

MB方程为：

y=

x–2，……③

NA方程为：

y=

x+2，……④…………9分

由③④解得：

y=

…………11分

=

=

=1

即yG=1，

∴直线BM与直线AN的交点G在定直线上．…………13分

（19）解：

（Ⅰ）∵an+1=3an，∴{an}是公比为3，首项a1=1的等比数列，

∴通项公式为an=3n–1．…………2分

∵2bn–b1=S1•Sn，∴当n=1时，2b1–b1=S1•S1，

∵S1=b1，b1≠0，∴b1=1．…………3分

∴当n＞1时，bn=Sn–Sn–1=2bn–2bn–1，∴bn=2bn–1，

∴{bn}是公比为2，首项a1=1的等比数列，

∴通项公式为bn=2n–1．…………5分

（Ⅱ）cn=bn•log3an=2n–1log33n–1=（n–1）2n–1，…………6分

Tn=0•20+1•21+2•22+…+（n–2）2n–2+（n–1）2n–1……①

2Tn=0•21+1•22+2•23+……+（n–2）2n–1+（n–1）2n……②

①–②得：

–Tn=0•20+21+22+23+……+2n–1–（n–1）2n

=2n–2–（n–1）2n=–2–（n–2）2n

∴Tn=（n–2）2n+2．…………10分

（Ⅲ）

=

=

=

≤

+

+…+

＜

+

+…+

=

=

（1–

）＜

．…………14分

（20）解：

（Ⅰ）f（x）=

，………1分

由函数f（x）的图象在点（1，f

（1））处的切线方程为x+