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概率统计实验
§13.6概率统计实验
[学习目标]
1．会用Mathematica求概率、均值与方差；
2．能进行常用分布的计算；
3．会用Mathematica进行期望和方差的区间估计；
4．会用Mathematica进行回归分析。
概率统计是最需要使用计算机的领域，过去依靠计算器进行统计计算，由于计算机的普及得以升级换代。
本节介绍Mathematica自带的统计程序包，其中有实现常用统计计算的各种外部函数。
一、样本的数字特征
1.一元的情况
Mathematica的内部没有数理统计方面的功能，但是带有功能强大的数理统计外部程序，由多个程序文件组成。
它们在标准扩展程序包集的Statistic程序包子集中，位于目录
D：
\Mathematica\4.0\AddOns\StandardPackages\Statistics
下。
通过查看Help，可以找到包含所需外部函数的程序文件名。
在程序文件DescriptiveStatistics.m中，含有实现一元数理统计基本计算的函数，常用的有：
SampleRange[data]求表data中数据的极差（最大数减最小数）。
Median[data]求中值。
Mean[data]求平均值
。
Variance[data]求方差（无偏估计）
。
StandardDeviation[data]求标准差（无偏估计）
。
VarianceMLE[data]求方差
。
StandardDeviationMLE[data]求标准差
。
实际上程序文件中的函数很多，这里只列出了最常用的函数，其它计算函数可以通过Help浏览。
例1给出一组样本值：
6.5，3.8，6.6，5.7，6.0，6.4，5.3，计算样本个数、最大值、最小值、均值、方差、标准差等。
解：
In[1]：
=<In[2]：
=data={6.5，3.8，6.6，5.7，6.0，6.4，5.3}；
In[3]：
=Length[data]
Out[3]=7
In[4]：
=Min[data]
Out[4]=3.8
In[5]：
=Max[data]
Out[5]=6.6
In[6]：
=SampleRange[data]
Out[6]=2.8
In[7]：
=Median[data]
Out[7]=6.
In[8]：
=Mean[data]
Out[8]=5.75714
In[9]：
=Variance[data]
Out[9]=0.962857
In[10]：
=StandardDeviation[data]
Out[10]=0.981253
In[11]：
=VarianceMLE[data]
Out[11]=0.825306
In[12]：
=StandardDeviationMLE[data]
Out[12]=0.908464
说明：
在上例中，In[1]首先调入程序文件，求数据个数、最大值和最小值使用内部函数。
2.多元的情况
在程序文件MultiDescriptiveStatistics.m中，含有实现多元数理统计基本计算的函数，常用的有：
SampleRange[data]求表data中数据的极差。
Median[data]求中值。
Mean[data]求平均值。
Variance[data]求方差（无偏估计）。
StandardDeviation[data]求标准差（无偏估计）。
VarianceMLE[data]求方差。
StandardDeviationMLE[data]求标准差。
Covariance[xlist，ylist]求x，y的协方差（无偏估计）
。
CovarianceMLE[xlist，ylist]求x，y的协方差
。
Correlation[xlist，ylist]求x，y的相关系数
。
实际上程序文件中的函数很多，这里只列出了最常用的函数，其它计算函数可以通过Help浏览。
例2给出4个样本值：
{1.1，2.0，3.2}，{1.3，2.2，3.1}，{1.15，2.05，3.35}，{1.22，2.31，3.33}，计算样本个数、均值、方差、标准差等。
解：
In[1]：
=<In[2]：
=data={{1.1，2.0，3.2}，{1.3，2.2，3.1}，
{1.15，2.05，3.35}，{1.22，2.31，3.33}}；
Length[data]
Out[3]=4
In[4]：
=SampleRange[data]
Out[4]={0.2，0.31，0.25}
In[5]：
=Median[data]
Out[5]={1.185，2.125，3.265}
In[6]：
=Mean[data]
Out[6]={1.1925，2.14，3.245}
In[7]：
=Variance[data]
Out[7]={0.00755833，0.0200667，0.}
In[8]：
=VarianceMLE[data]
Out[8]={0.00566875，0.01505，0.010325}
In[9]：
=CentralMoment[data，2]
Out[9]={0.00566875，0.01505，0.010325}
In[10]：
=x=data[[All，1]]；y=data[[All，2]]；
z=data[[All，3]]；
In[11]：
=Covariance[x，y]
Out[11]=0.0093
In[12]：
=Covariance[z，z]
Out[12]=0.
In[13]：
=CovarianceMLE[y，y]
Out[13]=0.01505
In[14]：
=Correlation[y，z]
Out[14]=0.
In[15]：
=Correlation[x，x]
Out[15]=1.
二、常用分布的计算
在计算机出现以前，统计计算总是依赖一堆函数表。
使用本节介绍的函数可以取代查表，为实现各种统计计算的自动化做好了底层准备工作。
1.离散分布
程序文件DiscreteDistributions.m中，含有用于离散分布计算的函数。
其中常用的离散分布有：
BernoulliDistribution[p]贝努利分布。
BinomialDistribution[n，p]二项分布。
GeometricDistribution[p]几何分布。
HypergeometricDistribution[n，M，N]超几何分布。
PoissonDistribution[λ]泊松分布。
DiscreteUniformDistribution[n]离散的均匀分布。
NegativeBinomialDistribution[n，p]负二项分布。
以上函数中的参数，既可以是数值的，也可以是符号的。
使用这些函数只能按用户给出的参数建立一个表达式，并不能返回任何其它结果。
真正进行计算的是下面的求值函数，它们使用以上的分布表达式作为一个参数。
常用的求值函数有：
Domain[dist]求dist的定义域。
PDF[dist，x]求点x处的分布dist的密度值。
CDF[dist，x]求点x处的分布函数值。
Quantile[dist，q]求x，使CDF[dist，x]达到q。
Mean[dist]求分布dist的期望。
Variance[dist]求方差。
StandardDeviation[dist]求标准差。
ExpectedValue[f，dist，x]求Ef（x）。
CharacteristicFunction[dist，t]求特征函数φ（t）。
Random[dist]求具有分布dist的伪随机数。
RandomArray[dist，dims]求维数为dims的伪随机数的数组。
例3观察下面二项分布的各种基本计算。
In[1]：
=<In[2]：
=b=BinomialDistribution[n，p]
Out[2]=BinomialDistribution[n，p]
In[3]：
=Mean[b]
Out[3]=np
In[4]：
=Variance[b]
Out[4]=n（1-p）p
In[5]：
=CharacteristicFunction[b，t]
Out[5]=（1-p+eitp）n
In[6]：
=b=BinomialDistribution[10，0.3]
Out[6]=BinomialDistribution[10，0.3]
In[7]：
=Domain[b]
Out[7]={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}
In[8]：
=PDF[b，4]
Out[8]=0.200121
In[9]：
=CDF[b，3.9]
Out[9]=0.649611
In[10]：
=CDF[b，4]
Out[10]=0.849732
In[11]：
=Variance[b]
Out[11]=2.1
说明：
在上例中，首先调入程序文件。
In[2]用b表示具有符号参数的二项分布，这一步只是为了后面输入时方便，并非必需的，也可以使用嵌套省略这一步。
In[3]~In[5]进行的是符号运算，可以得到期望、方差等的一般公式。
这是本程序与一般统计软件的不同之处，充分体现了Mathematica的特色。
接下来给出具体的参数值，进行数值计算，这些计算取代了查表。
以下是一些更广泛、深入的例子。
例4观察下面离散分布的各种计算。
In[1]：
=<In[2]：
=h=HypergeometricDistribution[n，M，N]；
Mean[h]
Out[3]=
In[4]：
=Variance[h]
Out[4]=
In[5]：
=p=PoissonDistribution[5]；
PDF[p，2]
Out[6]=
In[7]：
=N[%]
Out[7]=0.0842243
In[8]：
=PDF[p，20]//N
Out[8]=2.64121×10-7
In[9]：
=N[CDF[p，20]，20]
Out[9]=0.999999912
In[10]：
=ExpectedValue[x^2，p，x]
Out[10]=30
In[11]：
=RandomArray[p，{2，10}]
Out[11]={{3，4，6，10，2，5，7，2，5，5}，
{4，3，2，11，5，4，2，2，4，6}}
说明：
在上例中表明，超几何分布的参数按我国教科书的习惯来表示，这里求出的期望和方差公式就与教科书上的相同了。
In[5]中给出的参数是准确数5，Mathematica在下面进行的仍是符号计算，得到准确结果。
如果参数改为5.0，则计算结果就都是近似值了。
In[10]是求Eξ2，ExpectedValue是一个很有用的函数，务必注意。
除了以上介绍的内容外，还有些不常用的函数本书没有列出，有兴趣的读者可以浏览He
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