概率统计实验.docx

1、概率统计实验13.6 概率统计实验学习目标1 会用Mathematica求概率、均值与方差；2 能进行常用分布的计算；3 会用Mathematica进行期望和方差的区间估计；4 会用Mathematica进行回归分析。 概率统计是最需要使用计算机的领域，过去依靠计算器进行统计计算，由于计算机的普及得以升级换代。本节介绍Mathematica自带的统计程序包，其中有实现常用统计计算的各种外部函数。一、 样本的数字特征1. 一元的情况Mathematica的内部没有数理统计方面的功能，但是带有功能强大的数理统计外部程序，由多个程序文件组成。它们在标准扩展程序包集的Statistic程序包子集中，位

2、于目录D：Mathematica4.0AddOnsStandardPackagesStatistics下。通过查看Help，可以找到包含所需外部函数的程序文件名。在程序文件DescriptiveStatistics.m中，含有实现一元数理统计基本计算的函数，常用的有： SampleRangedata 求表data中数据的极差（最大数减最小数）。 Mediandata 求中值。 Meandata 求平均值。 Variancedata 求方差（无偏估计）。 StandardDeviationdata 求标准差（无偏估计）。 VarianceMLEdata 求方差。StandardDeviation

3、MLEdata 求标准差。实际上程序文件中的函数很多，这里只列出了最常用的函数，其它计算函数可以通过Help浏览。例1 给出一组样本值：6.5，3.8，6.6，5.7，6.0，6.4，5.3，计算样本个数、最大值、最小值、均值、方差、标准差等。 解：In1：= Statistics DescriptiveStatistics In2：= data = 6.5，3.8，6.6，5.7，6.0，6.4，5.3； In3：=Lengthdata Out3=7 In4：=Mindata Out4= 3.8 In5：=Maxdata Out5= 6.6 In6：=SampleRangedata Out6

4、= 2.8 In7：=Mediandata Out7= 6. In8：=Meandata Out8= 5.75714 In9：=Variancedata Out9= 0.962857 In10：=StandardDeviationdata Out10= 0.981253 In11：=VarianceMLEdata Out11= 0.825306 In12：= StandardDeviationMLEdata Out12= 0.908464 说明：在上例中，In1首先调入程序文件，求数据个数、最大值和最小值使用内部函数。2. 多元的情况 在程序文件MultiDescriptiveStatisti

5、cs.m中，含有实现多元数理统计基本计算的函数，常用的有： SampleRangedata 求表data中数据的极差。 Mediandata 求中值。 Meandata 求平均值。 Variancedata 求方差（无偏估计）。 StandardDeviationdata 求标准差（无偏估计）。 VarianceMLEdata 求方差。 StandardDeviationMLEdata 求标准差。 Covariancexlist，ylist 求x，y的协方差（无偏估计）。 CovarianceMLExlist，ylist 求x，y的协方差。Correlationxlist，ylist 求x，y

6、的相关系数。实际上程序文件中的函数很多，这里只列出了最常用的函数，其它计算函数可以通过Help浏览。例2 给出4个样本值：1.1，2.0，3.2，1.3，2.2，3.1，1.15，2.05，3.35，1.22，2.31，3.33，计算样本个数、均值、方差、标准差等。 解：In1：= Statistics MultiDescriptiveStatistics In2：= data = 1.1，2.0，3.2，1.3，2.2，3.1， 1.15，2.05，3.35，1.22，2.31，3.33； Lengthdata Out3=4 In4：=SampleRangedata Out4= 0.2，0.

7、31，0.25 In5：=Mediandata Out5= 1.185，2.125，3.265 In6：=Meandata Out6= 1.1925，2.14，3.245 In7：=Variancedata Out7= 0.00755833，0.0200667，0. In8：=VarianceMLEdata Out8= 0.00566875，0.01505，0.010325 In9：=CentralMomentdata，2 Out9= 0.00566875，0.01505，0.010325 In10：=x=dataAll，1；y=dataAll，2； z=dataAll，3； In11：=Co

8、variancex，y Out11=0.0093 In12：=Covariancez，z Out12=0. In13：=CovarianceMLEy，y Out13=0.01505 In14：=Correlationy，z Out14=0. In15：=Correlationx，x Out15=1.二、 常用分布的计算 在计算机出现以前，统计计算总是依赖一堆函数表。使用本节介绍的函数可以取代查表，为实现各种统计计算的自动化做好了底层准备工作。1. 离散分布 程序文件DiscreteDistributions.m中，含有用于离散分布计算的函数。其中常用的离散分布有： BernoulliDistr

9、ibutionp 贝努利分布。 BinomialDistributionn，p 二项分布。 GeometricDistributionp 几何分布。 HypergeometricDistributionn，M，N 超几何分布。 PoissonDistribution 泊松分布。 DiscreteUniformDistributionn 离散的均匀分布。 NegativeBinomialDistributionn，p 负二项分布。 以上函数中的参数，既可以是数值的，也可以是符号的。使用这些函数只能按用户给出的参数建立一个表达式，并不能返回任何其它结果。真正进行计算的是下面的求值函数，它们使用以上

10、的分布表达式作为一个参数。 常用的求值函数有： Domaindist 求dist的定义域。 PDFdist，x 求点x处的分布dist的密度值。 CDFdist，x 求点x处的分布函数值。 Quantiledist，q 求x，使CDFdist，x达到q。Meandist 求分布dist的期望。 Variancedist 求方差。 StandardDeviationdist 求标准差。 ExpectedValuef，dist，x 求Ef（x）。 CharacteristicFunctiondist，t 求特征函数（t）。 Randomdist 求具有分布dist的伪随机数。 RandomArra

11、ydist，dims 求维数为dims的伪随机数的数组。例3 观察下面二项分布的各种基本计算。 In1：= Statistics DiscreteDistributions In2：= b=BinomialDistributionn，p Out2=BinomialDistributionn，p In3：=Meanb Out3=np In4：=Varianceb Out4= n（1-p）p In5：=CharacteristicFunctionb，t Out5= (1-p+e it p）n In6：=b=BinomialDistribution10，0.3 Out6= BinomialDistr

12、ibution10，0.3 In7：=Domainb Out7= 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 In8：=PDFb，4 Out8= 0.200121 In9：=CDFb，3.9 Out9= 0.649611 In10：=CDFb，4 Out10= 0.849732 In11：=Varianceb Out11= 2.1说明：在上例中，首先调入程序文件。In2用b表示具有符号参数的二项分布，这一步只是为了后面输入时方便，并非必需的，也可以使用嵌套省略这一步。In3In5进行的是符号运算，可以得到期望、方差等的一般公式。这是本程序与一般统计软件的不同之处，充分体现了Mathemati

13、ca的特色。接下来给出具体的参数值，进行数值计算，这些计算取代了查表。以下是一些更广泛、深入的例子。例4 观察下面离散分布的各种计算。 In1：= Statistics DiscreteDistributions In2：= h=HypergeometricDistributionn，M，N； Meanh Out3= In4：=Varianceh Out4= In5：= p=PoissonDistribution5； PDFp，2 Out6= In7：=N% Out7=0.0842243 In8：=PDFp，20 /N Out8=2.6412110-7 In9：=NCDFp，20，20 Out

14、9=0.999999912 In10：=ExpectedValuex2，p，x Out10=30 In11：=RandomArrayp，2，10 Out11=3，4，6，10，2，5，7，2，5，5， 4，3，2，11，5，4，2，2，4，6说明：在上例中表明，超几何分布的参数按我国教科书的习惯来表示，这里求出的期望和方差公式就与教科书上的相同了。In5中给出的参数是准确数5，Mathematica在下面进行的仍是符号计算，得到准确结果。如果参数改为5.0 ，则计算结果就都是近似值了。In10是求E2，ExpectedValue是一个很有用的函数，务必注意。除了以上介绍的内容外，还有些不常用的函数本书没有列出，有兴趣的读者可以浏览He