学而思寒假八年级尖子班讲义第5讲函数基本概念.docx
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学而思寒假八年级尖子班讲义第5讲函数基本概念
数学故事
抛硬币的概率
硬币除了可以买东西，也可以用来解决各种争端．据说，遇到不可调解的分歧的时候，为了作出决定，人们的首选是猜拳，其次是抛硬币．足球场上开球方的决定，习惯上也用硬币决定的．
然而，硬币正反不一样！
如果硬币两面是完全一样的，显然掷出正面或者反面的可能性是均等的．我们常说，正反面出现的概率都是0.5．那么，这里的“概率”是什么意思呢？
如果我们不停地投掷硬币，并记录下每次的结果，我们会发现正面出现的数量大约是全部的一半．投掷的次数越多，“出现正面”所占的比例就越接近0.5．这就是概率的含义：
如果在许多次独立的试验中，某个特定的事件发生的比例会逐渐趋近一个特定的数值，那么这个数值就被称为这个特定事件的概率．
我们可能觉得掷硬币时，正反面出现的概率是一样的，其实不然．由于设计的原因，硬币正反面的花纹是不一样的，从而也导致了重心与中心的微小偏差．以人民币一元硬币来说，正面是代表面额的1字，反面是菊花，重心稍微偏向反面；欧元就更麻烦了，不同的铸币厂会铸出不同的背面花纹，重心偏向也因这些花纹而异．由于重心有偏向，所以掷硬币时，正反面出现的概率也会有些偏差．幸好花纹导致的概率偏差非常非常小，在日常生活中往往可以忽略不计．
尽管可以忽略不计，但有没有办法修正这个偏差昵？
换句话说，能不能找到一个方法，让有偏差的硬币产生无偏差的结果呢？
假设某枚硬币掷出正面的概率是p，我们用以下的方法产生抛硬币的结果：
掷两次硬币，如果两次的结果相反的话，取后掷出的为结果；否则重新掷两次．更具体地说，如果结果是“反正”的话，那就当作掷出了正面，如果是“正反”的话，那就当作反面，如果是“正正”或者“反反”的话，那就重新再来．这样的话，在一次尝试中，结果为正面和反面的概率都是p（1－p），结果是完全公平的．
正反抵消不容易
掷100次硬币，正面和反面相差多少次昵？
1000次昵？
10000次呢？
现实中的硬币，掷出正反面的概率略有偏差，但差别之小可以看作相同．你可能会觉得，掷出正面和反面的数目有很大概率是相等的．但事实如何？
虽然根据概率论中的大数定律，正反面出现次数的比应该很接近1，但这不代表正反面数目刚好抵消的概率很大．打个不太恰当的比方，地铁相对来说是很准时的，但是要它一天提前或者延误的时间刚好抵消的话，还是相当困难的．尽管得到正面和反面的概率相同，但是要它们恰好相互抵消，这也需要一点运气．稍稍用点数学知识可以知道，掷2n交硬币，恰好有n次正面n次反面的概率大概是l/
．当n越来越大，这个概率越来越趋近0．也就是说，虽然正反面出现的概率相同，但是它们恰好相等的概率会随着硬币的总次数变低，最后越来越接近0．
所以说，在表达数学问题时，一定要用精确的语言．意思上一点点微小的变动，也会产生截然不同的结果．我们说投掷硬时出现正面的概率是0.5，说的是在许许多多次投掷后，结果中正面所占的比例会非常接近0.5，投掷次数越多，比例越接近0.5．但这并不是说比例会非常凑巧地稳稳停在0.5．实际上，在很多情况下，这个比例会不停地在0.5周围浮动，但浮动的幅度会越来越小，也会越来越靠近0.5．某几次投掷之后正面恰好一半，这种情况发生的机会反而很小．
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5函数基本概念
知识目标
目标一
掌握函数的概念，理解函数的图象及解析式
目标二
掌握正比例函数和—次函数的图象和性质
目标三
体会数形结合思想在函数问题中的重要作用
模块一函数的基本概念
题型一函数的概念
知识导航
“万物皆变”——行星在宇宙中的位置随时间而变化，气温随海拔而变化，树高随树龄而变化……生活中，这种一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在．
思考下面几个具体的例子：
⑴电影票的售价为10元/张，第一场售出150张票，第二场售出205张票，第三场售出310张票，三场电影的票房收入各是多少元？
设一场电影售出x张票，票房收入为y元，y的值随x的变化而变化吗？
⑵某地的手机通话费为0.2元/min，小明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为tmin，话费卡中的余额为w元．w的值随t的变化而变化吗？
⑶水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，圆面积为S，圆周率为π．S的值r的变化而变化吗？
我们引入下列概念：
概念一：
变量与常量
变量：
在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量
常量：
在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量
在⑴中，可以发现：
x和y是两个变量，每当x取定一个值时，y就有唯一确定的值与其对应．例如，若x＝150，则y＝1500；若x＝205，则y＝2050；若x＝310，则y＝3100．
在⑵中，可以发现：
w和t是两个变量，每当t取定一个值时，w就有唯一确定的值与其对应．它们的关系式为w＝30－0.2t．据此可以算出t分别为50，100，120时，w分别为20，10，6．
在⑶中，可以发现：
r和S是两个变量，每当r取定一个值时，S就有唯一确定的值与之对应．它们的关系为S＝πr2．据此可以算出r分别为10cm，20cm，30cm时，S分别为100πcm2，400πcm2，900πcm2．
我们引入下列概念：
概念二：
函数
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数，如果当x＝a时y＝b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值．
特别的，自变量的取值范围是考试的重点，不仅仅要考虑函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义．
概念三：
解析式
像w＝30－0.2t，S＝πr2这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式．
例1
1．下列变量之间，不是函数关系的是（）
A．长方形的长一定，其面积与宽B．正方形的面积与周长
C．等腰三角形的面枳与底边的长D．圆的面积与直径的长
2．下列关系中，能表示y是x的函数的有
①y＝2x；②y＝x2；③y2＝x；④y＝|x|；⑤|y|＝x；⑥y＝
．
3．（2013年武汉二中八下期末）
若函数y＝
在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________．
4．（2013年武昌区八上期末）
某养鸡专业户计划用一段长为35米的竹篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场地，如图所示，墙长为20米，BC边有一个宽为1米的木门（木门用其它材料做不占用竹篱笆），设养鸡场AB边的长为x米，BC边的长为y米，BC的长度不小于10米且不超过墙长，求y关于x的函数解析式及x的取值范围
练
1．下列关系中，y不是x的函数的是（）．
A．y＝x＋1B．y＝2xC．y＝xD．|y|＝x
2．函数y＝
的自变量x的取值范围是_________．
3．已知一个长方形的周长为20cm，设长方形的一条边长为x，面积为y，则y与x的函数关系为___________（写出x的取值范围）．
题型二函数的图象
有些问题中的函数关系很难列式子表示，但是可以用图象来直观反映，例如用心电图表示心脏部位的生物电流与时间的关系．即使对于能列式表示的函数关系，如果也能画图表示，那么会使函数关系更直观．
函数图像：
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
问题探究：
画出函数y＝x＋1的图象．
第一步：
列表，在表格中给出一些自变量的值及其对应的函数值．
x
－3
－2
－1
0
1
2
y
－2
－1
0
1
2
3
第二步：
描点，在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点．
第三步：
连线，按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来．
练习：
⑴画出函数y＝x2的图象．
⑵画出函数y＝|x－1|的图象．
例2
⑴（2013年研口区八下期末）
下列各曲线中，不表示y是x的函数关系的是（）
⑵如图是某蓄水池的横断面示意图，分为深水池和浅水池，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面图像中，能大致表示水的最大深度h与时间t之间的关系的是（）
例3
甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示．
⑴A，B两城相距多远？
⑵哪辆车先出发？
哪辆车先到B城？
⑶甲、乙两车的平均速度分别为多少？
A
练
（2012年江岸区八下期末）
如图，李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校．在课堂上，李老师请学生画出他行进的路程y（千米）与行进时间t（小时）的函数图象的示意图，同学们画出的图象如图所示，你认为正确的是（）
例4
（2015年武汉中考）
如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省________元．
A
练
（2011年武汉中考）
一个装有进水管和出水管的容器，从某一时刻起只打开进水管进水，经过一段时间，再打开出水管放水，至12分钟时，关停进水管．在打开进水管到关停进水管这段时间内，容器内的水量y（单位：
升）与时间x（单位：
分钟）之间的函数关系如图所示，关停进水管后，经过_________分钟，容器中的水恰好放完．
拓
（2012年武汉中考）
甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论；①a＝8；②b＝92；③c＝123．其中正确的是__________．
函数的三种表示方法：
⑴列表法：
一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律．
⑵解析式法：
简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示．
⑶图象法：
形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系．
模块二一次函数
题型一正比例函数
知识导航
一、定义；
一般地，形如y＝kx（k为常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
二、图像和性质
问题探究：
在同一坐标系中画出下列正比例函数的图象．
⑴y＝2x；⑵y＝
x；⑶y＝－1.5x；⑷y＝－4x.
A
由图象可以发现下列规律：
⑴四个函数都是经过______的直线．
⑵y＝2x和y＝
x的图象经过第____________象限，从左到右______．（“上升”或“下降”）；
y＝－1.5x和y＝－4x的图象经过第____________象限，从左到右______．（“上升”或“下降”）．
归纳总结：
⑴正比例函数的图像是一条经过原点的直线，我们称它为直线y＝kx（k≠0）
⑵当k>0时，直线y＝kx经过第三、第一象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；
当k<0时，直线y＝kx经过第二、第四象限，从左向右下降，即随着x的增大y却减小．
⑶由于两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数y＝kx（k≠0）的图象，一般地，过原点和点（1，k）（k为常数，k≠0）的直线，即正比例函数y＝kx（k≠0）的图像．
例5
用你认为最简单的方法画出下列函数的图象．
⑴y＝
x；⑵y＝－3x；⑶y＝|x|.
练
⑴下列函数中，一定是正比例函数的是（）
A．y＝3x2B．y＝－4xC．3x＋y＝1D．y＝
⑵下面给出的几个函数关系中，成正比例函数关系的是（）
A．正方体的体积与棱长B．正方形的周长与边长
C．长方形的面积一定，它的长和宽D．圆的面积和它的半径
⑶关于函数y＝x＋5m－3是正比例函数，则m＝_________．
⑷正比例函数y＝（3－m）x（脚为常数），若y随着x的增大而增大，则m的取值范围是____．
题型二一次函数
知识导航
一、定义
一般地，形如y＝kx＋b（k≠0，k，b为常数）的函数，叫做一次函数．
注意：
⑴k≠0；
⑵当b＝0时，y＝kx，y叫x的正比例函数，故正比例函数是一种特殊的一次函数．
二、图像和性质
问题探究一：
一次函数y＝kx＋b（k≠0）和正比例函数y＝kx（k≠0）之间的关系．
在同一坐标系中画出函数y＝－6x和y＝－6x＋5的图象
由图象可以发现下列规律：
⑴这两个函数的图象形状都是_______，并且倾斜程度_____________．
⑵函数y＝－6x象经过原点，函数y＝－6x＋5的图象与y轴交于点_________．即它可以看作由直线y＝－6x向______平移________个单位长度而得到．
归纳总结：
一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象可以由直线y＝kx平移|b|个单位长度得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象也是一条直线，称之为直线y＝kx＋b
问题探究二：
一次函数y＝kx＋b（k≠0）的性质
在同一坐标系中画出下列函数的图象．
⑴y＝x＋1；⑵y＝－x＋1；⑶y＝2x＋1；⑷y＝－2x＋1
归纳总结：
⑴当k>0时，直线y＝kx＋b从左向右上升，y随x的增大而增大
⑵当k<0时，直线y＝kx＋b从左向右下降，y随x的增大而减小
我们先通过观察发现图象（形）的规律，再根据这些规律得出关于数值大小的性质，这种数形结合的研究方法在数学学习中很重要．
三、图像和性质的深入探究
⑴k表示直线的倾斜程度，也即直线的斜率，如果两条直线（不重合）斜率相等，那么这两条直线平行．
⑵b表示直线与y轴交点的纵坐标，也即直线在y轴上的截距．
⑶k、b对一次函数y＝kx＋b图像的控制
k>0,b>0
k>0,b<0
k<0,b>0
k<0,b<0
经过第一、二、三象限
经过第一、三、四象限
经过第一、二、四象限
经过第二、三、四象限
例6
⑴当m为何值时，函数y＝－（m－2）xm2－3＋（m－4）是关于x的一次函数？
⑵（2016年武昌区八下期末）
若一次函数y＝（m－3）x＋5的函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是_______．
⑶（2015年武汉二中八下期末）
已知一次函数y＝（m＋4）x＋2m－1的图象与y轴交点在x轴下方且y随x的增大而增大，则m的取值范围是________．
练
⑴当m为何值时，函数y＝（m＋2）x|m|－1＋m－2是一次函数？
⑵（2015年江汉区八下期末）
点（3，y1），（1，y2）在直线y＝2x＋1上，则y1与y2的大小关系为________．
例7
⑴（2015年武昌区八下期末）
一次函数y＝kx－k（k<0）的图像大致是（）
⑵（2014年江汉区八下期末）
已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y＝－x－k的图象大致是（）
练
⑴若实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a⑵直线y＝mx＋n如图所示，化简：
|m－n|－
．
拓
（2015年青山区八下期末）
已知一次函数y＝kx＋b的图象经过一、二、四象限，则直线y＝bx－k的图象可能是（）
例8
⑴已知一次函数y＝（m－3）x＋2m－1的图象经过一、二、四象限，求m的取值范围．
⑵已知一次函数y＝kx＋b的图象不经过第三象限，求k、b的取值范围
练
（2014年武汉二中八下期末）
已知一次函数y＝（m－4）x＋2m＋1的图象不过第三象限，求m的取值范围．
[课后作业]
第5讲函数基本概念
1．【2014二中期末】下列函数中，（）是一次函数。
A.y＝－
＋4B、y＝－
C.y＝－x2＋1D.y＝kx＋1
2．【2014东西湖期末】已知一次函数y＝（a－1）x＋b的图象如图所示，那么a的取值范围是（）
A.a>1B．a<1C．a>0D.a<0
3．【2013武昌区期末】已知直线y＝kx＋b经过一三四象限，则直线y＝bx－k的图像只能是（）
4．【2014江汉期末】一次函数y＝kx＋b中，y随x的增大而减小，b<0，则这个函数的图像不经过（）
A.第一象限B.第二象限C．第三象限D.第四象限
5．【2012武昌区期末】
已知A、B两地相距4千米，上午8:
00，甲从A地出发步行到B地，8:
20乙从B地出发骑自行车到A地，甲乙两人离A地的距离（千米）与甲所用的时间（分）之间的关系如图所示。
由图中的信息可知，乙到达A地的时间为（）
A.8:
30B.8:
35C.8:
40D.8:
45
A
6．【2014东西湖期末】式子
在实数范围内有意义，则x的取值范围是________.
7．若y＝（m＋2）xm
－3＋m是一次函数，则m＝______.
8．若一次函数y＝kx＋1（k为常数且k≠0）的图像经过第一、二、三象限，则k的取值范围为_______.
9．己知一次函数y＝（2k＋4）x＋（3－b）.
（1）k、b是什么数时，y随x的增大而增大？
（2）k、b是什么数时，函数图象经过原点？
（3）若图像经过一、二、三象限，求k、b的取值范围？
（4）若图像不经过第四象限，求k、b的取值范围？
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