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《地图投影》考前复习
第一章投影概论
地图的数学基础
是指使地图上各种地理要素与相应的地面景物之间保持一定对应关系的数学基础。
包括：
地图投影、经纬网、坐标网、大地控制点、比例尺等。
两个矛盾：
球面与平面之间的矛盾;大与小的矛盾.
可见,地球椭球面是不可展开的面.无论如何展开都会产生褶皱,拉伸或断裂等无规律变形,无法绘制科学,准确的地图.因此解决
球面与平面之间的矛盾——地图投影（将地球椭球面上的点转换成平面上的点）
大与小的矛盾——比例尺
地图投影:
就是建立平面上的点（用平面直角坐标或极坐标表示）和地球表面上的点（用纬度φ和经度λ表示）之间的函数关系，用数学式表达这种关系，就是：
地图投影的实质：
球面上的经纬网按照一定的数学法则转移到平面图纸上。
地图投影的基本任务：
研究将地理坐标描写到平面上建立地图数学基础的各种可能的方法；讨论这些方法的理论、变形规律、实用价值以及不同投影坐标的互相换算等问题。
地图制图的基本要求
地球椭球面是曲面，但地图是平面，需要用一定的数学方法把大地坐标系转化为某投影面上的平面直角坐标系。
GIS用各种平面坐标系统去描绘地球，而每种平面坐标均基于特殊的地图投影。
地图投影之后的结果记录是以地图作为保存形式的。
地图投影的使用保证了空间信息从地理坐标变换为平面坐标后能够保持在地域上的联系和完整性。
进行空间操作和空间分析的基本前提
虽然由于地球表面形态发生了变化，但在一定的空间范围内却提供了很好的近似，可以帮助人们对地理空间建立一个良好的视觉感，进行各种量算以及进一步的空间数据处理和分析。
地图精度的基本要求
随着GIS不断普及，应用层次多样化、应用人员复杂化，很多人因为不懂投影，而一筹莫展；而一部分人在似懂非懂中，不管什么来源的数据，只管数字化建库或者强行配准迭加。
关于数据精度只注意数字化和编辑过程中的偶然误差和外围设备的系统误差，而忽视了地图投影的所产生的变形误差。
其后果是：
显示或输出的图形文件发生变形或扭曲，有些变形在视觉上不易直接观察。
这一方面严重影响到地图的精度，属性数据空间顺序和空间联系分析结果的准确性；另一方面严重的影响到GPS的应用效果。
长度比：
投影面上一微小线段（变形椭圆半径）和球面上相应微小线段（球面上微小圆半径，已按规定的比例缩小）之比。
长度比是变量，随位置和方向的变化而变化。
长度变形：
面积比：
投影平面上微小面积（变形椭圆面积）dF′与球面上相应的微小面积（微小圆面积）dF之比。
面积变形
P=a·b=m·n（
=90）（主方向和经向纬向一致）
P=m·n·sin
（
≠90）（阿波隆尼定理）
a,b为主方向长度比；m,n为经纬线长度比。
面积比是变量，随位置的不同而变化。
角度变形：
投影面上任意两方向线所夹之角与球面上相应的两方向线夹角之差，称为角度变形。
以ω表示角度最大变形。
最大角度变形可用极值长度比a,b表示
实用上常以下公式求得：
长度变形是各种变形的基础！
地图投影中的主要矛盾
曲面（地球椭球体或球体表面）和平面（地图平面）之间的矛盾
变形椭圆：
取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的影响，把它当作平面看待），它投影到平面上通常会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图投影的变形状况。
这种图解方法就叫变形椭圆。
代入：
X2+Y2=1，得
该方程证明:
地球面上的微小圆，投影后通常会变为椭圆，即以O'为原点，以相交成q角的两共轭直径为坐标轴的椭圆方程式。
主方向（底索定律）：
无论采用何种转换方法，球面上每一点至少有一对正交方向线，在投影平面上仍然保持其正交关系”。
在投影后仍保持正交的一对线的方向成为主方向。
取主方向为作为微分椭圆的坐标
地形图对地图投影的要求
首先，应确保方向上的正确性，投影后应无角度变形，即形状保持相似；于是能满足图上内容与实地相应地物之间的相似关系。
其次，各类地理要素和地物彼此间的相关位置应该基本正确，例如对距离来说，即便有误差也应控制在规范所制订的容许范围之内。
如上所述，只有等角投影能满足地形图的基本要求，因为等角投影无角度变形，图上方向是确的，变形椭圆表现为圆，这充分说明在较小范围内图上的形状是与实地保持相似关系的。
选择地图投影的类型依据下列几个因素来决定：
1．制图区域的范围、形状和大小；
2．制图区域所占的具体地理位置；
3．所设计的地图对各类变形的特殊要求；
4．地图的用途及其使用效果；
5．地图所含的具体内容等。
第二章地球形状与投影变形
地球的形状:
地球并不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形的椭球体。
地球的物理表面
（一）大地水准面（一级逼近）
假想将静止的平均海水面延伸到大陆内部，形成一个连续不断的，与地球比较接近的形体，其表面称为大地水准面。
它实际是一个起伏不平的重力等位面——地球物理表面.
大地水准面的意义
1.地球形体的一级逼近：
对地球形状的很好近似，其面上高出与面下缺少的相当。
2.起伏波动在制图学中可忽略：
对大地测量和地球物理学有研究价值，但在制图中，均把地球当作正球体。
3.重力等位面：
可使用仪器测得海拔高程（某点到大地水准面的高度）。
（二）旋转椭球体（地球椭球体）（二级逼近）
地球的数学表面——对地球形体的二级逼近，用于测量计算的基准面
地球椭球体三要素：
长轴a（赤道半径）短轴b（极半径）椭球扁率：
f＝（a－b）/a
（三）地球椭球体定位（三级逼近）
通过数学方法将地球椭球体摆到与大地水准面最贴近的位置上，并求出两者各点垂直的偏差，从数学上给出对地球形状的三级逼近。
一、地理坐标
——用经纬度表示地面点位的球面坐标。
①天文经纬度
②大地经纬度
③地心经纬度
天文经纬度：
表示地面点在大地水准面上的位置，用天文经度和天文纬度表示。
•天文经度：
观测点天顶子午面与格林尼治天顶子午面间的两面角。
在地球上定义为本初子午面与观测点之间的两面角。
•天文纬度：
在地球上定义为铅垂线与赤道平面间的夹角。
大地经纬度：
表示地面点在参考椭球面上的位置，用大地经度λ、大地纬度j和大地高H表示。
•大地经度l：
指参考椭球面上某点的大地子午面与本初子午面间的两面角。
东经为正，西经为负。
•大地纬度j：
指参考椭球面上某点的垂直线（法线）与赤道平面的夹角。
北纬为正，南纬为负。
地心经纬度：
即以地球椭球体质量中心为基点，地心经度同大地经度λ，地心纬度是指参考椭球面上某点和椭球中心连线与赤道面之间的夹角y。
在大地测量学中，常以天文经纬度定义地理坐标。
在地图学中，以大地经纬度定义地理坐标。
在地理学研究及地图学的小比例尺制图中，通常将椭球体当成正球体看，采用地心经纬度。
曲率：
描述曲线的弯曲程度。
曲率半径：
一般称
为曲线在某一点的曲率半径。
经线圈曲率半径（子午圈曲率半径）M
卯酉圈曲率半径N
平均球体半径RA，
我们采用地球椭球三轴半径的算术平均值作为球体半径，即
等角投影条件
1）经纬线投影后正交，即
；
2）一点上任一方向的方位角投影前后保持相等，即α=α′。
方位投影变形特点：
①等变形线与纬圈一致；
②在切方位投影中，切点上无变形，随着远离切点，变形增大；
③在割方位投影中，在所割小圆上，角度变形与“切”的情况一样，其他变形（长度变形与面积变形）则自所割小圆向内与向外增大。
圆柱投影变形特点：
①变形随纬度变化，与经差无关；
②在切圆柱投影中，赤道无变形，变形自赤道向两侧随纬度的增加而增大；
③在割圆柱投影中，在两条标准纬线上无变形，变形自标准纬线向内和向外增大。
适宜于低纬度沿纬线伸展的地区。
圆锥投影变形特点:
①变形只与纬度有关，与经差无关，同一纬线上的变形是相同的；
②切圆锥投影中，标准纬线上长度比等于n。
=1，其余纬线上长度比均大于1，并向南、北方向增大；
③在割圆锥投影中，标准纬线n1=n2=1,变形自标准纬线向内、向外增大，在之间n<1,在之外n>1.
适合中纬度处沿纬线伸展的制图区域之投影
变形椭圆：
伪方位投影：
在正轴方位投影的基础上，纬线仍投影为同心圆，根据某些条件改变经线形状而成，除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。
且交于纬线的共同圆心。
特点：
可设计等变形线与制图区域轮廓近似一致。
如：
椭圆形、卵形、三角形、三叶玫瑰形和方形等规则几何图形。
伪圆柱投影：
在正轴圆柱投影基础上，规定纬线仍为平行线，根据某些条件改变经线形状而成，除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。
举例：
桑逊投影：
（Sanson-Flamsteed）
特点①等面积；
②中央经线和赤道无长度变形；
③纬线越高之处变形越大。
适合沿赤道和沿中央经线方向伸展的地区
伪圆锥投影：
在圆锥投影基础上，规定纬线仍为同心圆弧，根据某些条件改变经线形状而成，除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。
举例：
彭纳（等面积伪圆锥投影）
多圆锥投影：
设想有更多的圆锥面与球面相切，投影后沿一母线剪开展平。
纬线投影为同轴圆弧，其圆心都在中央经线的延长线上。
中央经线为直线，其余经线投影为对称于中央经线的曲线。
按变形性质地图投影分类
等角投影等积投影任意投影
第三章方位投影
方位投影:
以平面作投影面，使平面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。
正轴方位投影投影表象
a、纬线投影后成为同心圆，
b、经线投影后成为交于一点的直线束（同心圆的半径），
c、两经线间的夹角与实地经度差相等。
方位投影分类：
A、透视投影：
正射、外心、球面（平射）、球心（日晷）等投影（视点位置不同）
B、非透视投影：
等角、等面积、任意（包括等距离）投影（投影性质）
按投影面与地球相对位置的不同，可分为：
正轴方位投影，此时Q与P重合，又称为极方位投影
；
横轴方位投影，此时Q点在赤道上，又称赤道方位投影
；
斜轴方位投影，此时Q点位于上述两种情况以外的任何位置，又称水平方位投影
。
根据投影面与地球相切或相割的关系又可分为切方位投影与割方位投影。
第四章圆柱投影
圆柱投影（Cylindricalprojections）：
假定以圆柱面作为投影面，把地球面上的经纬线网投影到圆柱面上，然后沿圆柱面的母线把圆柱切开展成平面，就得到圆柱投影。
墨卡托投影－－正轴等角切圆柱投影
∙经纬网形状：
∙经纬距变化规律：
纬距从赤道向两极急剧扩大。
∙特性：
等角航线投影为直线
∙用途：
制作航海图
正轴圆柱投影经纬线网特点
1、经线投影为平行直线，平行线间的距离和经差成正比。
2、纬线投影成为一组与经线正交的平行直线，平行线间的距离视投影性质（等角、等积或任意）和投影条件（透视、切或割等）而异。
3、和圆柱面相切的赤道弧长或相割的两条纬线的弧长为正长无变形。
高斯－－克吕格投影（即横轴等角切椭圆柱椭圆）
∙经纬网形状：
中央经线，赤道为直线；其它经纬线均为曲线。
∙经纬距变化规律：
中央经线上纬距相等；赤道上经距从中央经线向东西扩大。
∙变形分布规律：
中央经线无长度变形，同纬线距中经愈远变形愈大，同经度距赤道愈近变形愈大。
圆柱投影投影表象
在正轴圆柱投影中，纬线投影为平行直线，经线也是投影为平行直线且与纬线正交，两经线间的间隔与实地的经度差成正比。
等角航线：
地面上两点之间的一条特殊的定位线，它是两点间同所有经线构成相同方位角的一条曲线。
第六章圆锥投影
圆锥投影：
是假定以圆锥面作为投影面，使圆锥面和地球体相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后把圆锥面沿一条母线剪开展为平面而成。
经纬网的特征
∙经线为放射直线；纬线为同心圆。
∙等距：
纬距相等。
∙等积：
纬距从图幅中央向南北逐渐缩小。
∙等角：
纬距从图幅中央向南北逐渐扩大。
圆锥投影分类
①按圆锥面与地球相对位置的不同，可分正轴、横轴、斜轴圆锥投影
②按标准纬线分为切圆锥投影和割圆锥投影
③圆锥投影按变形性质分为等角、等积和等距圆锥投影三种.
投影表象
在正轴圆锥投影中，纬线投影为同心圆圆弧，经线投影为过同心圆圆心的放射直线，两经线间夹角与实地经度差成正比。
举例：
等角圆锥投影（Theconformalconicprojection，兰勃特Lambert）
在等角圆锥投影中，微分圆的表象保持为圆形，也就是同一点上各方向的长度比均相等，或者说保持角度没有变形。
本投影亦称为兰勃脱（Lambert）正形圆锥投影。
亚尔勃斯（Albers）投影（正轴等面积割圆锥投影）
由于我国位于中纬度地区，中国地图和分省地图经常采用割圆锥投影（Lambert或Albers投影），中国地图的中央经线常位于东经105度（110度），两条标准纬线分别为北纬25度和北纬47度，而各省的参数可根据地理位置和轮廓形状初步加以判定。
例如甘肃省的参数为：
中央经线为东经101度，两条标准纬线分别为北纬34度和41度。
常见圆锥投影及其用途
∙等积割圆锥投影－－中国政区图。
标准纬线分别为25°、45°（47°）
∙等角割圆锥投影－－小比例尺地形图。
国际百万分一地形图规定每幅图内有两条标准纬线，并指定标准纬线的纬度为。
式中φS，φN为图幅南、北边纬线的纬度。
第五章高斯—克吕格投影（Gauss-KrugerProjection）（等角横切椭圆柱投影）
概念：
将椭圆柱面套在地球椭球的外面，并与某一子午线相切（此子午线叫中央子午线或中央经线），椭圆柱的中心轴通过地球椭球的中心，然后用等角条件将中央子午线东西两侧各一定经差范围内的地区投影到柱面上，并将此柱面展成平面。
高斯—克吕格投影的三个条件
•
（1）中央经线和赤道投影后互相垂直，且为对称轴
•
（2）等角投影
•（3）中央经线无长度变形
高斯投影特征：
1.经纬线特征：
中央经线和赤道为互相垂直的直线，其他经线均为凹向并对称于中央经线的曲线，其他纬线均为以赤道为对称轴的向两极弯曲的曲线，经纬线成直角相交。
2.变形分布规律：
①中央经线没有长度变形。
其余经线长度比均大于1，距中央经线愈远变形愈大；
②在同一条经线上，长度变形随纬度的降低而增大；
③在同一条纬线上，长度变形随距中央经线距离的增大而增大。
最大变形在边缘经线与赤道的交点上；
3.3度带和6度带
Ø从0度开始，自西向东每6度分为一个投影带。
Ø从东经1度30分开始，自西向东每3度分为一个投影带。
通用横轴墨卡托投影（UniversalTransverseMercatarProjection）横轴等角割圆柱投影
UTM与高斯投影相比较所具有的优点：
改善高斯-克吕格投影的低纬度地区变形，使得在，处的最大长度变形小于+0．001。
该投影已被许多国家、地区和集团采用为地形图的数学基础，例如美国、日本、加拿大、泰国、阿富汗、巴西、法国、瑞士等约80个国家。
有的国家则局部地采用该投影作为地图数学基础。
UTM投影与高斯投影的主要区别
在南北格网线的比例系数上，高斯-克吕格投影的中央经线投影后保持长度不变，即比例系数为1，而UTM投影的比例系数为0.9996。
UTM投影沿每一条南北格网线比例系数为常数，在东西方向则为变数，中心格网线的比例系数为0.9996，在南北纵行最宽部分的边缘上距离中心点大约363公里，比例系数为1.00158。
高斯-克吕格投影与UTM投影可近似采用Xutm=0.9996*X高斯，Yutm=0.9996*Y高斯进行坐标转换。
以下举例说明（基准面为WGS84）：
注：
坐标点（32,121）位于高斯投影的21带，高斯投影Y值21310996.8中前两位“21”为带号；坐标点（32,121）位于UTM投影的51带，上表中UTM投影的Y值没加带号。
因坐标纵轴西移了500000米，转换时必须将Y值减去500000乘上比例因子后再加500000。
第七章伪投影与多圆锥投影
一伪投影的共同特点
1纬线投影与原投影一致
2经线投影均将过去的直经线改为对称于中央直经线的曲线
3均无等角性质
伪圆锥投影的定义：
纬线投影为一组同心圆圆弧，经线为对称于中央直经线的曲线。
•按变形性质来分析伪圆锥投影，因为伪圆锥投影的经纬线不正交，故不可能有等角投影，而只能有等面积和任意投影。
在伪圆锥投影的实际应用中，最常见的是彭纳等面积伪圆锥投影。
下面我们仅介绍这种投影。
纬线长度保持不变的等面积伪圆锥投影——彭纳投影（BonneProjection）
1）中央经线投影为直线，并保持长度无变形，即m0=1
2）纬线投影为同心圆圆弧且保持长度无变形，即n=1
3）中央经线与所有纬线正交，而中间纬线（切纬线）则与所有经线正交
4）面积比P=1
彭纳投影曾以用于法国地形图而著名。
其后因发现它由于不是等角投影而不适宜于军事方面使用，故现很少用于地形图。
现在一般用于小比例尺地图。
例如地图出版社出版的《世界地图集》中的亚洲政区图，单幅的亚洲地图，英国《太晤士世界地图集》中澳洲与西南太平洋图，均用此投影。
在其他国家出版的地图和地图集中，也常可看到用该投影编制的欧洲、亚洲、北美洲和南美洲以及个别地区的地图。
伪圆柱投影
伪圆柱投影中纬线投影为平行直线，经线投影为对称于中央直经线的曲线。
伪圆柱投影可视为伪圆锥投影的特例，当后者的纬圈半径为无穷大时，即成为伪圆柱投影。
根据经纬线形状可知，伪圆柱投影中不可能有等角投影，而只能有等面积和任意投影。
在伪圆柱投影，纬线的投影仅为纬度φ的函数，而经线的投影是经、纬度的函数。
故可写出。
x=f1（φ） y=f2（φ，λ）
本投影中通常以中央经线为x轴，赤道为y轴。
几种等面积伪圆柱投影
1）正弦曲线等面积伪圆柱投影——桑逊投影（Sanson-FlamsteedProjection）
本投影纬线投影后为间隔相等且互相平行的直线，中央经线为垂直于各纬线的直线，其他经线投影后为正弦曲线，并对称于中央经线。
该投影有以下特性：
–n=1，P=1，m0=1，
–纬线投影为间隔相等的平行直线
–经线投影为对称于中央直经线的正弦曲线
–适合沿中央经线和赤道延伸的区域的地图投影，高纬度地区变形大
上图是正弦曲线等面积伪圆柱投影略图。
由图可见，在该投影中远离中央经线和纬度愈高之处变形愈大。
故该投影最适宜于沿赤道或沿中央经线伸展的地区。
2）极点投影成线的等面积伪圆柱投影——爱凯特投影（EckertProjection）
由上述桑逊投影可见，高纬度处角度变形甚大。
为使角度变形改善一些，有一种设想使各经线不是交于一点而是终止于两条线上，称为极线。
这就是本投影的特点，显然它不能保持n=1的条件。
本投影中P=1，规定
（参见图）。
即两极投影成极线，极线的长度等于赤道长度的一半。
•极点投影成线，其长度等于赤道长的一半
•P=1
本投影在高纬度处变形较桑逊投影小，值其极点投影不成点而成线。
该投影主要应用于编制小比例尺世界图。
3）椭圆经线等面积伪圆柱投影——摩尔威德投影（MollweideProjection）
本投影中经线投影为对称于中央直经线的椭圆，离中央经线经差为±90°的经线投影后合成一个圆，其面积等于地球的半球面积。
纬线是平行于赤道的一组平行直线。
•椭圆经线，离中央经线经差+90的经线投影后合成一个圆，其面积为地球表面积的一半
•P=1
上图是该投影的经纬线网略图。
该投影常用于编制小比例世界地图。
伪方位投影的投影表象
在伪方位投影中，正常位置下纬线投影为同心圆，经线为对称于中央直经线的曲线，并交于纬线圆心。
在横轴或斜轴投影中，等高圈表现为同心圆，垂直圈表现为交于等高圈圆心的对称曲线，而经纬线均为较复杂的曲线。
伪方位投影等变形线的特点：
•等变形线可以设计为心形、三角形、方形、椭圆形、三叶玫瑰形等规则的几何图形
•伪方位投影不可能有等角或等面积投影，而只存在任意投影
应用实例——中国全图
多圆锥投影
•多圆锥投影中纬线表象为同心圆圆弧，圆心位于中央直经线上，经线为对称于中央经线的曲线。
多圆锥投影：
设想有更多的圆锥面与球面相切，投影后沿一母线剪开展平。
纬线投影为同轴圆弧，其圆心都在中央经线的延长线上。
中央经线为直线，其余经线投影为对称于中央经线的曲线。
1普通多圆锥投影（美国多圆锥投影）
2用于编制世界政区图的多圆锥投影
1）等差分纬线多圆锥投影
2）正切差分纬线多圆锥投影
第八章地图投影的变换
•学习目标与要求
1．掌握地图投影变换的一般概念
2．掌握地图投影变换的三种方法思想
•学习重点
1．掌握地图投影变换的解析变换方法
•学习难点
1．地图投影变换的概念
2．地图投影变换的解析变换方法
地图投影变换是指从一种地图投影点的坐标变换为另一种地图投影点的坐标。
解析法、数值反转加解析正算法及数值法
1．用解析方法直接建立新旧两投影间的坐标关系式的变换叫解析变换。
它的必须条件是新旧两投影的函数表达式已知，若能解得这种关系，计算起来既严密又方便。
即使这样，由于解析求解两投影间的坐标关系式并非总能直接办到，即使能办到也不都很容易；但是已知旧投影公式情况下，采用直接反解或迭代反解φ、λ的函数式，却一般总能办到，再使用新投影解析式正算，这是一个较直接但计算量较大的方法。
又分为反解和正解两种变换法（P210例3）
2．数值反转加解析正算法也简称半数值法，必须已知新投影的表达式，旧投影已知或未知表达式都无仿，但要有它足够的准确的数值表现，也即有其实际地图或它的经纬线投影图，这时均可采用数值方法反解其旧投影的反函数式；从而采用通常的新投影的解析正算完成新旧坐标转换。
这种已知条件适合大多数实际应用场合，但整个变换实施的复杂性与变换本身的复杂性是不匹配的。
3．数值法并不必须已知新、旧投影的函数式，但要有它们各自足够的准确的数值表现代替，也即有其实际地图或它的经纬线投影图，这时直接采用数值方法完成新旧坐标转换，这种已知条件适合广泛的实际应用。
它原则上适合两二维场坐标之间有收敛级数对应的拓扑变换，可用于影像纠正、坐标换带或新旧坐标转换、投影变换等相应场合。
第九章地图投影的判别与选择
•学习目标与要求
1．掌握判别、选择地图投影的一般原则
2．了解中国分省（区）地图投影的选择
3．了解中国常用的地图投影举例
•学习重点
1．掌握选择地图投影的一般原则
完整地判别一种投影，一般可从以下几个方面来考虑：
1．首先确定投影系统，如属方位、圆柱或圆锥；或为多圆锥、伪方位投影等；
2．其次了解投影的变形性质，如属等角、等面积或任意、等距离投影等；
3．还需确定投影形式：
诸如投影常数、标准纬线和无变形点的地理位置，投影面和地球表面相切或相割的位置以及投影中心的经纬度等。
确定地图投影系统
确定投影变形性质
利用变形一般较大的图幅边缘部分和变形较小的图幅中间部分进行比较和对照
确定投影形式
投影形式包含诸如投影常数、标准纬圈或等高圈、投影中心（或新极位置）、无变形点或无变形线等。
投影判别的过程可以归纳为：
了解并掌握各类投影的特点——参考投影分类表——参阅各类投影的标准样图——图上量算（长度
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