初一第4讲有理数的加减运算.docx

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初一第4讲有理数的加减运算

有理数的加减运算

本次课学习有理数的加减法运算，通过探索有理数加法法则和运算律的过程，理解有理数的加法法则和运算律，利用有理数的加法法则进行有理数的加法运算，并利用运算律简化运算；通过探索有理数减法法则的过程，理解有理数的减法法则，利用有理数的减法法则进行有理数的减法运算；利用有理数的加、减法法则进行包括整数、分数或小数的有理数的加减混合运算，并适当利用运算律简化运算；综合运用有理数及其加法、减法的有关知识，解决简单的实际问题，体会数学与现实生活的联系．

重点知识归纳及讲解

1、有理数加法法则

　　同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.

　　异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并把较大的绝对值减去较小的绝对值.

　　一个数同0相加，仍得这个数.

2、有理数加法运算律

　　加法交换律：

a＋b=b＋a

　　加法结合律：

（a＋b）＋c=a＋（b＋c）

3、有理数减法法则

　　减去一个数，等于加上这个数的相反数，即：

a－b=a＋（－b）.

4、代数和的意义

　　几个正数或负数的和叫做代数和，代数和一般用省略加号、括号的和的形式来表示，代数和不仅表示有理数相加的结果，而且还可表示加法运算.

5、有理数加减混合运算步骤

（1）把加减混合运算统一成加法；

（2）写成省略加号、括号的代数和；

（3）利用加法法则及运算律进行计算.

三、难点知识剖析

1、有理数加法运算简化规律

（1）互为相反数的两数可以先相加；

（2）符号相同的数可以先相加；

（3）分母相同的数可以先相加．

（4）几个数相加能得到整数的可以先相加．

2、有理数的减法的意义

　　有理数的减法不像算术里那样直接相减，而是把它转化为加法，借助于加法进行计算.掌握有理数减法的关键是牢记“两变一不变”，“两变”即改变运算符号和改变减数的性质符号变为相反数；“一不变”是被减数和减数的位置不能交换改变.

四、典型例题解析

例1、计算：

（1）（＋8）＋（＋2）

（2）（－8）＋（－2）

　　（3）（－8）＋（＋2）

　　（4）（＋8）＋（－2）

　　（5）（－8）＋（＋8）

　　（6）（－8）＋0

分析：

进行两个有理数的加法运算时，要严格按照加法法则进行，待熟练后才可直接写出得数．

解：

（1）原式=＋（|＋8|＋|＋2|）=＋（8＋2）=＋10

（2）原式=－（|－8|＋|－2|）=－（8＋2）=－10

（3）原式=－（|－8|－|＋2|）=－（8－2）=－6

（4）原式=＋（|＋8|－|－2|）=＋（8－2）=＋6

（5）原式=0

（6）原式=－8

例2、计算

分析：

进行三个以上的有理数的加法运算时，常常运用加法的交换律和结合律，通过观察分析，根据题中数字的特点，重新组合，分别相加，使运算简便．

例3、计算

（1）（＋32）－（－78）

（2）（－7）－（－5）－（－15）－11

分析：

进行有理数的减法运算时，首先是把减法运算转化为加法运算，然后按照有理数加法法则运算．

解：

（1）原式=（＋32）＋（＋78）=110

（2）原式=（－7）＋（＋5）＋（＋15）＋（－11）

=[（－7）＋（－11）]＋（5＋15）

=（－18）＋20=2

例4、把下列式子写成省略加号和括号的形式，并说出这个和的读法.

（1）（－5）＋（－6）＋（－9）＋（＋4）

（2）（－4）－（＋3）－（－8）＋（－5）

分析：

遇到减法运算时，首先要根据减法法则把减法转化为加法，然后才能省略加号和括号，式子中的“＋”“－”号可读作“正”、“负”，也可以当作运算符号读作“加”“减”，但第一个加数的符号只能读作“正”“负”，不能读作“加”和“减”．

解：

（1）原式=－5－6－9＋4.

读作：

负5、负6、负9、正4的和.

或：

负5减6减9加4.

（2）原式=（－4）＋（－3）＋（＋8）＋（－5）=－4－3＋8－5

读作：

负4、负3、正8、负5的和.

或：

负4减3加8减5.

例5、计算

分析：

进行有理数加减混合运算时，应先把加减运算统一成加法运算，再写成省略加号和括号的代数和，最后运用有理数的加法法则及运算律进行计算，能够简化运算的尽量简化运算.

解：

（1）原式=（－5）＋（－3）＋（－9）＋（＋7）

=－5－3－9＋7

=（－5－3－9）＋7

=－17＋7=－10

例6、计算：

分析：

含有绝对值的式子的加减运算，一般应先脱去绝对值的符号，而求出绝对值，关键是判定绝对值符号内的数的正负性．也可以先求出绝对值符号内的数，再脱去绝对值符号．

例7、某自行车厂本周计划每日生产400辆自行车，由于人数和操作原因，每日实际生产量分别为405辆，393辆，397辆，410辆，391辆，385辆，405辆．

（1）用正负数表示每日实际生产量与计划量的增减情况；

（2）该车厂本周实际共生产多少辆自行车？

平均每日实际生产多少辆自行车？

分析：

计算实际生产量与计划量的增减是用实际生产量减去计划量，在计算本周总产量时，以7×400为基数，加上总的增减量，这样计算较为简便，也可以将每天的产量直接相加.

解：

（1）本周每日生产量与计划量的增减情况如下表所示，其中把超过计划量的车辆数目用正数表示，低于计划量的车辆数用负数表示（单位：

辆）

星期

一

二

三

四

五

六

日

增减

＋5

－7

－3

＋10

－9

－15

＋5

（2）本周总增减量为

（＋5）＋（－7）＋（－3）＋（＋10）＋（－9）＋（－15）＋（＋5）=－14

本周实际总生产量为

400×7＋（－14）=2786（辆）

平均每日实际生产量为

2786÷7=398（辆）

例8、一病人发高烧进医院进行治疗，医生给他开了药并挂了水，同时护士每隔1小时对病人测体温，及时了解病人的好转情况，现护士对病人测体温的变化数据如下表：

时间

10:

11:

12:

13:

14:

15:

体温（℃）

升0.2

降1.0

降0.8

降1.0

降0.6

升0.4

降0.2

降0

　　注：

病人早晨6:

00进院，进院时医生测得病人体温是40.2℃，问：

（1）病人什么时候体温达到最高，最高体温是多少？

（2）病人中午12点时体温多高？

　　（3）病人几点后体温稳定正常？

（正常体温是37℃）

　　（4）请用折线统计图表示该病人这几小时的体温情况．

分析：

解题的关键是根据题意先求出每次测量的病人的体温，然后按要求回答问题，其中体温稳定正常是指体温稳定在37℃．

解：

根据题意可知每次测量病人的体温如下表：

时间

7：

8：

9：

10：

11：

12：

13：

14：

15：

体温（℃）

40.4

39.4

38.6

37.6

37.00

37.4

37.2

37.0

从表中可知：

（1）病人7:

00时体温达到最高，最高体温为40.4℃；

（2）病人12:

00时的体温是37.4℃；

（3）病人14:

00后体温稳定正常；

（4）折线统计图如图所示．

1、一天早晨气温为－5℃，中午上升了6℃，半夜又下降了8℃，则半夜的气温是（）

A．－8℃　　　　　B．－7℃C．7℃　　　　　D．－19℃

2、下列说法正确的是（）

A．同号两数相加，其和比加数大B．异号两数相加，其和比两个加数都小

C．两数相加，等于它们的绝对值相加D．两个正数相加和为正数，两个负数相加和为负数

3、如果|a|=3，|b|=2，则|a＋b|等于（）

A．5　　　　　　　　　　B．1C．5或1　　　　　　D．±5或±1

4、下列说法正确的是（）

A．两个数之差一定小于被减数B．减去一个负数，差一定大于被减数

C．减去一个正数，差不一定小于被减数D．0减去任何数，差都是负数

5、一个数是10，另一个数比10的相反数小2，则这两个数的和是（）

A．18　　　　　　　　B．－2C．－18　　　　　　D．2

6、绝对值大于2且小于5的所有整数的和是（）

A．7　　　　　　　B．－7C．0　　　　　　　　　D．5

7、－7,－12,＋12的和比它们的绝对值的和小（）

A．－38　　　　　B．－4C．38　　　　　　D．4

8、某运动员在东西走向的公路上练习跑步，跑步情况记录如下（向东为正，单位：

米）1000，－1200，1100，－800，1400，该运动员共跑的路程为（）

A．1500米　　　　　　B．5500米C．4500米　　　　　D．3700米

9、a、b、c、d在数轴上的对应点如图所示，且|a|=|b|，|d|>|c|>|a|，下列各式正确的是（）

A．a＋b>c　　　　　B．c＋a>bC．d＋c>a　　　　　D．b＋c>0

10、若|a－1|＋|b＋3|=0，则b－a－

的值是（）

A．－4

　　　　　B．－2

C．－1

　　　　D．1

答案BDCBBCCBAA

11、某天股票A开盘价是18元，上午11：

30跌1.5元，下午收盘时又涨了0.3元，则股票A这天的收盘价是_____________.

12、若a=－6，b=－3，则|a|＋b=_____________，a＋|b|=_____________,|a|＋|b|=___________,|a＋b|=_____________.

13、若|a|=3，|b|=1，则当a、b同号时，|a－b|=_____________，当a、b异号时，|a－b|=_____________.

14、某一河段的警戒水位为50.2米，最高水位为55.4米，平均水位为43.5米，最低水位为28.3米，如果取警戒水位作为O点，高于警戒水位取正数，则最高水位为_____________，平均水位为_____________，最低水位为_____________.

11、16.8元　　　　　12、3，－3，9，9

13、2，4　　　　　　14、5.2米，－6.7米，－21.9米

【巩固练习】

1、计算

2、计算

（1）18－（－23）－（－112）－108

（2）（－17）－（－18）－49－（－78）

3、计算

4、已知a=3，b=－4.1，c=－7.3，求下列各式的值.

（1）a＋b＋c；

（2）a－b－c；

　　（3）a＋b－c；（4）－a－b＋c.　

5、时差是指两个地区在同一时刻的时间差，已知日本东京与北京的时差为＋1h，美国纽约与北京的时差为－13h.（时差为正数表示同一时刻比北京时间早的时数）

（1）如果现在的北京时间是中午12:

00，那么东京时间是多少？

（2）如果小华给远在纽约的舅舅打电话，他在北京时间下午14：

00打电话，你认为合适吗？

6、某检修小组乘汽车检修供电线路，约定前进为正，后退为负，某天自A地出发到收工时，所走路程（单位：

千米）为：

＋22，－3，＋4，－2，－8，＋17，－2，－3，＋12，＋7，－5，问收工时距A地多远？

若每公里耗油4升，问从A点出发到收工共耗油多少升？

1、

（1）－100　　

（2）0　　　（3）－6.9（4）0

2、

（1）45　　　

（2）30

3、

（1）－10　　

（2）1.1　　　（3）－

（4）

4、

（1）－8.4　　

（2）14.4　　（3）6.2（4）－6.2

5、

（1）∵12＋1=13，

　　　　　∴北京时间12:

00时，东京时间为13:

00.

（2）∵14－13=1，

　　　　　∴北京时间14:

00时，纽约时间为半夜1:

00，这个时间打电话不合适.

6、

（1）＋22－3＋4－2－8＋17－2－3＋12＋7－5=39（公里）

（2）|＋22|＋|－3|＋|＋4|＋|－2|＋|－8|＋|＋17|＋|－2|＋|－3|＋|＋12|＋|＋7|＋|－5|=85（公里）,85×4=340（升）.

7、若b>0，a<0，c<0，且|c|>|b|>|a|，试比较a、b、c，a＋b、a＋c的大小.

分析：

　　要比较a、b、c、a＋b、a＋c五个有理数的大小，需先判断它们当中哪些是正数，哪些数是负数，然后分“正数”和“负数”两组分别比较，并将两组数分别用“<”号连接起来，最后将得到的两个不等式用“<”号连接起来．也可以利用数轴比较这五个数的大小，关键是要弄清a、b、c、a＋b、a＋c在数轴上的位置关系.

解法1：

∵a<0，c<0，∴a＋c<0

∵b>0，a<0，|b|>|a|，∴a＋b>0

∴在这五个数中，a<0，c<0，a＋c<0；b>0，a＋b>0.

在a、c、a＋c这三个负数中,

∵a<0，c<0，∴|a＋c|=|a|＋|c|；

∵|c|>|a|，∴|a＋c|>|c|>|a|

∴a＋c

在b，a＋b这两个正数中，

∵a<0，b>0,|b|>|a|，∴|a＋b|=|b|－|a|

∴|a＋b|<|b|，∴a＋b

故这五个数的大小关系是：

a＋c

解法2：

　　由已知b>0，a<0，c<0，且|c|>|b|>|a|，可知a、b、c在数轴上的大致位置如图所示：

∵a<0，c<0

∴a＋c<0，且|a＋c|=|a|＋|c|

∴a＋c在原点的左边，距原点（|a|＋|c|）个单位，如图所示.

∵a<0，b>0且|b|>|a|，∴a＋b>0且|a＋b|=|b|－|a|．

∴a＋b在原点的右侧，距原点（|b|－|a|）个单位，如图所示.

根据a、b、c、a＋b、a＋c在数轴上的位置关系，

可知它们的大小关系是：

a＋c

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