高中数学最新北师大版高中数学必修二学案第一章 42 空间图形的公理二.docx

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高中数学最新北师大版高中数学必修二学案第一章42空间图形的公理二

4.2　空间图形的公理

（二）

学习目标

　1.掌握公理4及等角定理.2.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角．

知识点一　平行公理（公理4）

思考　在平面内，直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c.该结论在空间中是否成立？

梳理　平行公理

（1）文字表述：

平行于同一条直线的两条直线平行．

（2）符号表示：

⇒a∥c.

知识点二　空间两直线的位置关系

思考　在同一平面内，两条直线有几种位置关系？

观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？

梳理　异面直线的概念

（1）定义：

不同在______________平面内的两条直线．

（2）异面直线的画法（衬托平面法）

如图

（1）

（2）所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．

（3）判断两直线为异面直线的方法

①定义法；

②两直线既不平行也不相交．

（4）空间两条直线的三种位置关系

①从是否有公共点的角度来分：

②从是否共面的角度来分：

知识点三　等角定理

思考　观察图，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠D′A′B′的两边分别对应平行，

这两组角的大小关系如何？

梳理　等角定理

空间中如果两个角的两边分别对应________，则这两个角________或________．

知识点四　异面直线所成的角

思考　在长方体A1B1C1D1—ABCD中，BC1∥AD1，则“直线BC1与直线BC所成的角”与“直线AD1与直线BC所成的角”是否相等？

梳理　异面直线所成角的定义

定义

前提

两条异面直线a，b

作法

经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b

结论

我们把a′与b′所成的______________叫作异面直线a与b所成的角（或夹角）

范围

记异面直线a与b所成的角为θ，则________________．

特殊情况

当θ＝________时，a与b互相垂直，记作：

________.

类型一　公理4及等角定理的应用

例1　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别棱AD和A1D1的中点．求证：

∠BMC＝∠B1M1C1.

反思与感悟　

（1）空间两条直线平行的证明：

①定义法：

即证明两条直线在同一平面内且两直线没有公共点．②利用公理4找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．

（2）“等角”定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等，还是互补，还是两种情况都有可能．

跟踪训练1　如图，已知在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：

（1）四边形MNA1C1是梯形；

（2）∠DNM＝∠D1A1C1.

类型二　异面直线

例2　

（1）若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系是（　　）

A．异面B．相交或平行

C．平行或异面D．相交、平行或异面

（2）如图，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？

反思与感悟　判断两直线是否为异面直线，只需判断它们是否相交、平行．只要既不相交，也不平行，就是异面直线．

跟踪训练2　

（1）在四棱锥P－ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对．

（2）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？

分别是哪几对？

例3　如图所示，已知三棱锥A－BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M，N分别是BC，AD的中点，求直线AB和MN所成的角．

反思与感悟　

（1）异面直线一般依附于某几何体，所以在求异面直线所成的角时，首先将异面直线平移成相交直线，而定义中的点O常选取两异面直线中其中一个线段的端点或中点或几何体中的某个特殊点．

（2）求异面直线所成的角的一般步骤

①作角：

平移成相交直线．

②证明：

用定义证明前一步的角为所求．

③计算：

在三角形中求角的大小，但要注意异面直线所成的角的范围．

跟踪训练3　如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为平面A′B′C′D′与AA′D′D的中心，则EF与CD所成角的度数是______．

1．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（　　）

A．平行或异面B．相交或异面

C．异面D．相交

2．若OA∥O′A′，OB∥O′B′，且∠AOB＝130°，则∠A′O′B′为（　　）

A．130°B．50°C．130°或50°D．不能确定

3．下列四个结论中错误命题的个数是（　　）

①垂直于同一直线的两条直线互相平行；

②平行于同一直线的两直线平行；

③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；

④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．

A．1B．2C．3D．4

4．如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．（填序号）

5．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中．

（1）求A1C1与B1C所成角的大小；

（2）若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．

1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．

2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为（0°，90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小．

作异面直线所成的角．可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：

①直接平移法（可利用图中已有的平行线）；②中位线平移法；③补形平移法（在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线）．

答案精析

问题导学

知识点一

思考　成立．

知识点二

思考　平行与相交．

教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线；六角螺母中直线AB与CD.

梳理　

（1）任何一个　（4）①平行　异面

相交　②平行　相交　异面

知识点三

思考　从图中可以看出，∠ADC＝∠A′D′C′，∠ADC＋∠D′A′B′＝180°.

梳理　平行　相等　互补

知识点四

思考　相等．

梳理　锐角（或直角）　0°<θ≤90°　90°

a⊥b

题型探究

例1　证明　在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴A1M1綊AM，

∴四边形AMM1A1是平行四边形，

∴A1A綊M1M.

又∵A1A綊B1B，

∴M1M綊B1B，

∴四边形BB1M1M为平行四边形．

∴B1M1∥BM.

同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，

∴C1M1∥CM.

由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．

∴∠BMC＝∠B1M1C1.

跟踪训练1　证明　

（1）如图，连接AC，

在△ACD中，

∵M，N分别是CD，AD的中点，

∴MN是△ACD的中位线，

∴MN∥AC，

MN＝

AC.

由正方体的性质得

AC∥A1C1，AC＝A1C1.

∴MN∥A1C1，且MN＝

A1C1，

即MN≠A1C1，

∴四边形MNA1C1是梯形．

（2）由

（1）可知MN∥A1C1.

又∵ND∥A1D1，∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．

而∠DNM与∠D1A1C1均为锐角，

∴∠DNM＝∠D1A1C1.

例2　D　[异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明a、b异面，直线c的位置可如图所示．]

（2）解　由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线．

跟踪训练2　

（1）8

解析　与AB异面的有侧棱PD和PC，同理，与底面的各条边异面的都有两条侧棱，故共有异面直线4×2＝8（对）．

（2）解　还原的正方体如图所示．

异面直线有三对，分别为AB与CD，

AB与GH，EF与GH.

例3　解　如图，取AC的中点P，连接PM，PN，

因为点M，N分别是BC，AD的中点，

所以PM∥AB，且PM＝

AB；

PN∥CD，且PN＝

CD，

所以∠MPN（或其补角）为AB与CD所成的角．

所以∠PMN（或其补角）为AB与MN所成的角．

因为直线AB与CD成60°角，

所以∠MPN＝60°或∠MPN＝120°.

又因为AB＝CD，所以PM＝PN.

（1）若∠MPN＝60°，则△PMN是等边三角形，

所以∠PMN＝60°，

即AB与MN所成的角为60°.

（2）若∠MPN＝120°，

则易知△PMN是等腰三角形，

所以∠PMN＝30°，

即AB与MN所成的角为30°.

综上，直线AB与MN所成的角为60°或30°.

跟踪训练3　45°

解析　连接B′D′，则E为B′D′的中点，连接AB′，则EF∥AB′，又CD∥AB，所以∠B′AB为异面直线EF与CD所成的角，即∠B′AB＝45°.

当堂训练

1．B　[如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1与BC是异面直线，故选B.]

2．C　[根据定理，∠A′O′B′与∠AOB相等或互补，即∠A′O′B′＝130°或∠A′O′B′＝50°.]

3．B　[①④均为错误命题．①可举反例，如a、b、c三线两两垂直．

④如图甲所示，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面；

当点A在直线l1上运动（其余三点不动）时，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交．]

4．②④

解析　①中，∵G，M是中点，∴AG綊BM，∴GM綊AB綊HN，∴GH∥MN，即G，H，M，N四点共面；②中，∵H，G，N三点共面，且都在平面HGN内，而点M显然不在平面HGN内，∴H，G，M，N四点不共面，即GH与MN异面；③中，

∵G，M是中点，∴GM綊

CD，∴GM綊

HN，即GMNH是梯形，则GH，MN必相交，∴H，G，M，N四点共面；④中，同②，G，H，M，N四点不共面，即GH与MN异面．

5.解　

（1）如图所示，连接AC，AB1.

由六面体ABCD－A1B1C1D1是正方体知，四边形AA1C1C为平行四边形，

∴AC∥A1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角．

在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，

可知∠B1CA＝60°，

即A1C1与B1C所成的角为60°.

（2）如图所示，连接BD.

由

（1）知AC∥A1C1，

∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角．

∵EF是△ABD的中位线，∴EF∥BD.

又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，∴EF⊥A1C1，

即A1C1与EF所成的角为90°.