第十五章 Fourier级数.docx
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第十五章Fourier级数
第十五章Fourier级数
【教学目的】
1.明确认识三角级数的产生及有关概念；
2.理解以
为周期的函数的Fourier级数的有关概念、定义和收敛定理；
3.明确2L为周期的函数的Fourier级数是
为周期的函数的Fourier级数的推广，并理解奇、偶函数的Fourier级数和Fourier级数的收敛定理。
【教学重点】将一个函数展开成Fourier级数
【教学难点】Fourier级数的收敛性的判别。
【教学时数】10学时
§1Fourier级数
一、三角级数与正交函数系.
1．背景
⑴波的分析：
频谱分析.基频
（
）.倍频.
⑵函数展开条件的减弱:
积分展开.
⑶
中用Descates坐标系建立坐标表示向量思想的推广:
调和分析简介:
十九世纪八十年代法国工程师Fourier建立了Fourier分析理论的基础.
2. 三角级数的一般形式:
一般的三角级数为
.
由于
设
得三角级数的一般形式
3.三角级数的收敛性
Th1若级数
收敛,则级数
在R内绝对且一致收敛.
证用M判别法.
4.三角函数正交系统
（1）内积和正交:
由R
中的内积与正交概念引入.
设函数
和
在区间
上（R）可积.定义内积为
.
当
时,称函数
和
在区间
上正交.
函数的正交性与区间有关.例如函数
和
在区间
上并不正交（因为
）,但在区间
却是正交的.
（2）正交函数系统:
标准正交系（幺正系）,完全系.
三角函数系统
是区间
上的正交系统.验证如下:
;
对
且
有
和
.
该系统不是标准正交系,因为
.
因此,三角函数系统
是标准正交系.（与R
中的坐标系
比较）
二、以
为周期函数的Fourier级数
1． 三角级数的系数与其和函数的关系：
Th2若在整个数轴上
且等式右端的级数一致收敛，则有如下关系式
，
，
证P64
2．Fourier系数和Fourier级数：
Euler―Fourier公式：
设函数
在区间
上（R）可积，称公式
，
，
为Euler―Fourier公式.称由Euler―Fourier公式得到的
和
为函数
的Fourier系数.并称以Fourier系数
和
为系数的三角级数
为函数
的Fourier级数,记为
～
例1
.求函数
的Fourier级数.
解
是
上的奇函数,
;
.
因此,
～
.
例2 设函数
满足条件
（称满足该条件的函数为反周期函数）.问这种函数在区间
内的Fourier系数具有什么特性.
解
.
而
.
因此,
.
时,
;
同理得
.
三、收敛定理
1.按段光滑函数
定义若
的导函数
在区间
上连续,则称函数
在区间
上光滑.若函数
在区间
上至多有有限个第一类间断点,且
仅在区间
上有限个点处不连续且为第一类间断点,则称
是区间
上的按段光滑函数.
按段光滑函数的性质:
设函数
在区间
上按段光滑,则
⑴
在区间
上可积;
⑵对
都存在,且有
（用Lagrange中值定理证明）
⑶
在区间
上可积.
2.收敛定理
Th3设函数
是以
为周期的周期函数且在区间
上按段光滑,则在
的Fourier级数
收敛于
在点
的左、右极限的算术平均值,即
其中
和
为函数
的Fourier系数.（证明放到以后进行）
系若
是以
为周期的连续函数,在
上按段光滑,且则
的Fourier级数在
内收敛于
.
3. 函数的周期延拓
四、展开举例
例3把函数
展开为Fourier级数.
解参阅例1,有
例4展开函数
.
解
;
.
函数
在
上连续且按段光滑,又
因此有
.
（倘令
就有
）
例5设
求函数
的Fourier级数展开式.P67.例1
例6
把函数
展开成Fourier级数.P68例2
例7在区间
内把函数
展开成Fourier级数.练习1
（2）（i）
解法一（直接展开）
;
;
.
函数
在区间
内连续且按段光滑,因此有
.
由于
该展开式在
上成立.
（在该展开式中,取
得
;取
.）
解法二（间接展开:
对例3中
的展开式作积分运算）由例3,在区间
内有
.对该式两端积分,由Fourier级数可逐项积分,有
.
为求得
上式两端在
上积分,有
因此,
.
五、作业
§2以
为周期的函数的展开式
一、以
为周期的函数的Fourier级数
设函数
以
为周期,在区间
上（R）可积.作代换
则函数
以
为周期.由
是线性函数,
在区间
上（R）可积.函数
的Fourier系数为..
～
还原为自变量
注意到
就有
～
其中
当函数
在区间
上按段光滑时,
可展开为Fourier级数.
注三角函数系
是区间
上的正交函数系统.
例1 把函数
展开成Fourier级数.P72例1
二、正弦级数和余弦级数
1. 区间
上偶函数和奇函数的Fourier级数:
2. 奇展开和偶展开:
例2 设
.求
的Fourier级数展开式.P74例2
例3 把定义在
上的函数
（其中之一
展开成正弦级数.
例4 把函数
在
内展开成:
ⅰ>正弦级数;ⅱ>余弦级数.
P76例4
三、作业
§3收敛定理的证明
我们来证明收敛定理
Dini定理设以
为周期的函数
在区间
上按段光滑,则在每一点
的Fourier级数收敛于
在点
的左、右极限的算术平均值,即
其中
和
为
的Fourier系数.
证明思路:
设
～
对每个
我们要证明
.即证明
.
方法是把该极限表达式化为积分,利用Riemann—Lebesgue定理证明相应积分的极限为零.
施证方案:
1. 写出
的简缩形式.称这一简缩形式为
的积分形式,或称为Dirichlet积分,即
.
利用该表示式,式
可化为
+
于是把问题归结为证明
和
.
这两式的证明是相同的,只证第一式.
2. 为证上述第一式,先利用三角公式
建立所谓Dirichlet积分
利用该式把
表示为积分,即把
表示为Dirichlet积分
.
于是又把上述1中所指的第一式左端化为
.
3. 利用所谓Riemann—Lebesgue定理证明上述极限为零.为此,先证明Bessel不等式（P78预备定理1）,再建立Riemann—Lebesgue定理,然后把以上最后的式子化为
.
4. 把上式化为应用Riemann—Lebesgue定理的形式,即令
则
.
为使最后这一极限等于零,由Riemann—Lebesgue定理,只要函数
在区间
上可积.因此希望
存在.由函数
在区间
上按段光滑,可以验证
存在.
预备定理及其推论:
为实施以上证明方案,我们先建立以下预备定理和其推论.
预备定理1（Bessel不等式）若函数
在区间
上可积,则有Bessel不等式
其中
和
为函数
的Fourier系数.
证P78.
推论1（Riemann—Lebesgue定理）若函数
在区间
上可积,则有
.
证P79.
推论2若函数
在区间
上可积,则有
.
证P79.
预备定理2若
是以
为周期的周期函数,且在区间
上可积,则函数
的Fourier级数部分和
有积分表示式
.
当
时,被积函数中的不定式由极限
来确定.
证P80—81.
Dirichlet积分:
.
证由三角公式
.
Dini定理的证明:
P81—82.
附註
1. Parseval等式（或称Ляпинов等式）设可积函数
的Fourier级数
在区间
上一致收敛于
则成立Parseval等式
.
证法一注意到此时函数
在区间
可积,由Bessel不等式,有
.
现证对
有
.
事实上,令
由
一致收敛于
对
对
有
因此,
.
即当
时有
.
令
.由
的任意性,有
.
综上即得所证.
证法二由
一致收敛于
.
而
.
因此,
.
由双逼原理,即得所证等式.
证法三利用内积的连续性（可参阅一般泛函书）,有
=
.
Parseval等式还可用公式
（其中
、
与
、
分别是函数
和
的Fourier系数（参阅吉林大学邹承祖等编《数学分析习题课讲义》上册P427）证明；也可用所谓卷积函数证明.
Parseval等式的意义：
设在幺正系
下函数
的Fourier系数为
和
，可见
，
；
，
；
同理有
;其中
和
为函数
的通常Fourier系数.
于是,Parseval等式即成为
.
注意到
就有
这是勾股定理的推广,即在坐标系
中的勾股定理.因此,可称Parseval等式是无穷维空间中的勾股定理.（与三维空间中的勾股定理做比较）.
2. Fourier级数与三角级数:
Fourier级数与三角级数的区别：
Fourier级数是三角级数，但收敛的三角级数却未必是某个可积函数的Fourier级数.
一个三角级数是Fourier级数（即是某个可积函数的Fourier级数）的必要条件为:
若三角级数
为Fourier级数,则数项级数
收敛.（参阅复旦大学编《数学分析》下册P116—117）.比如正弦级数
是收敛的三角级数（利用Dirichlet判别法）,由级数
发散,正弦级数
不是Fourier级数.
例证明:
当
时,三角级数
在R内收敛,但其和函数
在区间
上不是（R）可积的.
证由Dirichlet判别法,可得该级数在
内收敛.反设和函数
在区间在
上（R）可积,则该三角级数是函数
的Fourier级数.由于
也在
上（R）可积,则有Bessel不等式
.
即有上式左端的正项级数收敛.但由
矛盾.可见,函数
在区间在
上不是（R）可积的.因此,本例中的三角级数不是Fourier级数.
一个三角级数是否为Fourier级数,与所用积分有关.在某种积分意义下不是Fourier级数,或许在另一种积分意义下是Fourier级数.近代或现代有些积分的建立,其动因就是为了使某些三角级数在该积分意义下成为Fourier级数.最新的一个研究结果是:
在所谓SCP积分（SymmetricCesaroPerron积分）意义下,上例中的三角级数是Fourier级数.
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