第十五章 Fourier级数.docx

1、第十五章 Fourier级数第十五章 Fourier级数【教学目的】1.明确认识三角级数的产生及有关概念；2.理解以 为周期的函数的Fourier级数的有关概念、定义和收敛定理；3.明确2L为周期的函数的Fourier级数是 为周期的函数的Fourier级数的推广，并理解奇、偶函数的Fourier级数和Fourier级数的收敛定理。 【教学重点】将一个函数展开成Fourier级数【教学难点】Fourier级数的收敛性的判别。 【教学时数】10学时 1 Fourier级数一、三角级数与正交函数系. 1背景 波的分析：频谱分析 . 基频 ( ) . 倍频. 函数展开条件的减弱 : 积分展开 . 中

2、用Descates坐标系建立坐标表示向量思想的推广: 调和分析简介: 十九世纪八十年代法国工程师Fourier建立了Fourier分析理论的基础. 2.三角级数的一般形式: 一般的三角级数为 . 由于 , 设 , 得三角级数的一般形式 3. 三角级数的收敛性Th1 若级数 收敛 , 则级数 在R 内绝对且一致收敛 .证 用M 判别法. 4. 三角函数正交系统（1）内积和正交: 由R 中的内积与正交概念引入.设函数 和 在区间 上 ( R)可积 . 定义内积为 .当 时 , 称函数 和 在区间 上正交 .函数的正交性与区间有关 . 例如函数 和 在区间 上并不正交( 因为 ) , 但在区间 却是

3、正交的 . （2）正交函数系统 : 标准正交系 ( 幺正系 ) , 完全系 . 三角函数系统 是区间 上的正交系统 . 验证如下:, ; , 对 且 ,有和 . 该系统不是标准正交系 , 因为 , . 因此 , 三角函数系统 是标准正交系. （与R 中的坐标系 比较 ）二、以 为周期函数的Fourier级数1 三角级数的系数与其和函数的关系： Th2 若在整个数轴上 且等式右端的级数一致收敛，则有如下关系式 ， ， 证 P64 2Fourier系数和Fourier级数： EulerFourier公式： 设函数 在区间 上（R）可积，称公式 ， ， 为EulerFourier公式. 称由Eule

4、rFourier公式得到的 和 为函数 的Fourier系数. 并称以Fourier系数 和 为系数的三角级数 为函数 的Fourier级数 , 记为 例1 , . 求函数 的Fourier级数.解 是 上的奇函数, ; .因此, . 例2 设函数 满足条件 ( 称满足该条件的函数为反周期函数 ). 问这种函数在区间 内的Fourier系数具有什么特性.解 .而 .因此, .时, , ;同理得 .三、收敛定理1. 按段光滑函数定义 若 的导函数 在区间 上连续 , 则称函数 在区间 上光滑.若函数 在区间 上至多有有限个第一类间断点, 且 仅在区间 上有限个点处不连续且为第一类间断点, 则称

5、是区间 上的按段光滑函数.按段光滑函数的性质: 设函数 在区间 上按段光滑, 则 在区间 上可积; 对 , 都存在 , 且有 , ( 用Lagrange中值定理证明 ) 在区间 上可积 . 2. 收敛定理Th3 设函数 是以 为周期的周期函数且在区间 上按段光滑 , 则在, 的Fourier级数 收敛于 在点的左、右极限的算术平均值 , 即 , 其中 和 为函数 的Fourier系数. ( 证明放到以后进行 )系 若 是以 为周期的连续函数 , 在 上按段光滑,且 则 的Fourier级数在 内收敛于 .3.函数的周期延拓四、展开举例例3 把函数 展开为Fourier级数.解 参阅例1 , 有

6、 例4 展开函数 .解 ; . 函数 在 上连续且按段光滑, 又 , 因此有 . ( 倘令 , 就有 , )例5 设 求函数 的Fourier级数展开式. P67 .例1 例6 把函数 展开成Fourier级数. P68例2 例7 在区间 内把函数 展开成Fourier级数.练习1（2）（i）解法一 ( 直接展开 ) ; ; . 函数 在区间 内连续且按段光滑, 因此有 , .由于 , 该展开式在 上成立.( 在该展开式中, 取 得 , ;取 , . ) 解法二 ( 间接展开: 对例3中 的展开式作积分运算 ) 由例3 , 在区间内有 . 对该式两端积分, 由Fourier级数可逐项积分,有

7、.为求得 , 上式两端在 上积分, 有 , 因此 , , .五、作业2 以为周期的函数的展开式一、以 为周期的函数的Fourier级数设函数 以 为周期 , 在区间 上 (R )可积 . 作代换 , 则函数以 为周期. 由 是线性函数, 在区间 上(R )可积 .函数 的Fourier系数为 . . , , 还原为自变量 , 注意到 , 就有 其中 , , 当函数 在区间 上按段光滑时, 可展开为Fourier级数.注 三角函数系 是区间 上的正交函数系统 .例1 把函数 展开成Fourier级数. P72例1二、正弦级数和余弦级数1.区间 上偶函数和奇函数的Fourier级数:2.奇展开和偶

8、展开:例2 设 , . 求 的Fourier级数展开式. P74 例2例3 把定义在 上的函数 ( 其中之一 展开成正弦级数. 例4 把函数 在 内展开成: 正弦级数; 余弦级数.P76 例 4 三、作业3 收敛定理的证明我们来证明收敛定理Dini定理 设以 为周期的函数 在区间 上按段光滑, 则在每一点, 的Fourier级数收敛于 在点 的左、右极限的算术平均值, 即 ,其中 和 为 的Fourier系数.证明思路: 设 对每个 , 我们要证明 . 即证明 .方法是把该极限表达式化为积分, 利用RiemannLebesgue定理证明相应积分的极限为零. 施证方案: 1.写出 的简缩形式.

9、称这一简缩形式为的积分形式, 或称为Dirichlet积分, 即 . 利用该表示式, 式 可化为 + , 于是把问题归结为证明 , 和 . 这两式的证明是相同的, 只证第一式. 2.为证上述第一式, 先利用三角公式 建立所谓Dirichlet积分 , 利用该式把 表示为积分,即把 表示为Dirichlet积分 . 于是又把上述1中所指的第一式左端化为 . 3.利用所谓Riemann Lebesgue定理证明上述极限为零. 为此 , 先证明Bessel不等式(P78预备定理1 ), 再建立Riemann Lebesgue定理, 然后把以上最后的式子化为 . 4.把上式化为应用Riemann Le

10、besgue定理的形式, 即令 , 则 . 为使最后这一极限等于零, 由Riemann Lebesgue定理, 只要函数 在区间上可积. 因此希望 存在. 由函数 在区间 上按段光滑, 可以验证 存在. 预备定理及其推论: 为实施以上证明方案, 我们先建立以下预备定理和其推论. 预备定理1 ( Bessel 不等式) 若函数 在区间 上可积, 则有Bessel 不等式 ,其中 和 为函数 的Fourier系数. 证 P78 . 推论1 ( Riemann Lebesgue定理 ) 若函数 在区间 上可积, 则有 , .证 P79 . 推论2 若函数 在区间 上可积, 则有 , .证 P79.

11、预备定理2 若 是以 为周期的周期函数, 且在区间 上可积, 则函数的Fourier级数部分和 有积分表示式 . 当 时, 被积函数中的不定式由极限 来确定. 证 P8081.Dirichlet积分: . 证 由三角公式 , . Dini定理的证明: P8182 . 附註 1. Parseval等式 ( 或称等式 ) 设可积函数 的Fourier级数在区间 上一致收敛于 , 则成立Parseval等式 .证法一 注意到此时函数在区间 可积 ,由Bessel 不等式, 有 .现证对 , 有 .事实上, 令 由 一致收敛于 ,对 对 , 有 , 因此 ,.即当 时有 .令 , . 由 的任意性,

12、有 .综上即得所证 . 证法二 由 一致收敛于 , . 而 .因此, .由双逼原理, 即得所证等式 . 证法三 利用内积的连续性( 可参阅一般泛函书 ) , 有 = .Parseval等式还可用公式 ( 其中 、与 、 分别是函数和的Fourier系数（ 参阅吉林大学邹承祖等编数学分析习题课讲义上册P427）证明；也可用所谓卷积函数证明.Parseval等式的意义：设在幺正系 下函数 的Fourier系数为 和 ，可见 ， ； ， ； 同理有 ; 其中 和 为函数 的通常Fourier系数.于是 , Parseval等式即成为 .注意到 , 就有 ,这是勾股定理的推广, 即在坐标系 中的勾股定

13、理. 因此, 可称Parseval等式是无穷维空间中的勾股定理 . ( 与三维空间中的勾股定理做比较 ) . 2. Fourier级数与三角级数: Fourier级数与三角级数的区别：Fourier级数是三角级数，但收敛的三角级数却未必是某个可积函数的Fourier级数. 一个三角级数是Fourier级数( 即是某个可积函数的Fourier级数 ) 的必要条件为:若三角级数 为Fourier级数, 则数项级数 收敛.( 参阅复旦大学编数学分析下册P116117 ). 比如正弦级数 是收敛的三角级数(利用Dirichlet判别法), 由级数 发散, 正弦级数 不是Fourier级数.例 证明:

14、当 时, 三角级数 在R内收敛, 但其和函数 在区间 上不是( R )可积的 .证 由Dirichlet判别法, 可得该级数在 内收敛. 反设和函数 在区间在 上( R )可积, 则该三角级数是函数 的Fourier级数 . 由于 也在上( R )可积 , 则有Bessel 不等式 .即有上式左端的正项级数收敛 . 但由 , 矛盾. 可见, 函数在区间在 上不是( R )可积的 . 因此, 本例中的三角级数不是Fourier级数.一个三角级数是否为Fourier级数 , 与所用积分有关. 在某种积分意义下不是Fourier级数, 或许在另一种积分意义下是Fourier级数. 近代或现代有些积分的建立,其动因就是为了使某些三角级数在该积分意义下成为Fourier级数. 最新的一个研究结果是: 在所谓SCP积分( Symmetric Cesaro Pe rron积分 ) 意义下, 上例中的三角级数是Fourier级数.