常用逻辑用语 教案.docx
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常用逻辑用语教案
适用学科
高中数学
适用年级
高一
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
2课时
知识点
1、四种命题及其相互关系
2、充分条件和必要条件
3、简单的逻辑连接词
4、全称量词与存在量词
教学目标
1、了解命题的概念，会判断命题的真假．了解命题的四种形式，会分析四种命题之间的相互关系
2、掌握充分条件、必要条件、充要条件的概念及其判定
3、理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义
4、理解全称量词和存在量词，会用符号语言表示全称命题和特称命题
教学重点
判定命题的真假及其四种形式；充分条件、必要条件、充要条件的判定
教学难点
四种命题的相互关系以及四种命题的真假之间的关系、充分必要性的判定
【知识导图】
一、导入
1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其关系
（1）四种命题
一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用¬p和¬q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是
原命题：
若p则q（p⇒q）；
逆命题：
若q则p（q⇒p）；
否命题：
若¬p则¬q（¬p⇒¬q）；
逆否命题：
若¬q则¬p（¬q⇒¬p）．
（2）四种命题间的关系
（3）四种命题的真假性
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．
②两个命题为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件与必要条件
若p⇒q，则p叫做q的充分条件；若q⇒p，则p叫做q的必要条件；如果p⇔q，则p叫做q的充要条件．
4．逻辑联结词
命题中的或，且，非叫做逻辑联结词．“p且q”记作p∧q，“p或q”记作p∨q，“非p”记作¬p．
5．命题p∧q，p∨q，¬p的真假判断
p
q
p∧q
p∨q
¬p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
6．全称量词与存在量词
（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题，可用符号简记为∀x∈M，p（x），它的否定∃x∈M，¬p（x）．
（2）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做特称命题，可用符号简记为∃x∈M，p（x），它的否定∀x∈M，¬p（x）．
二、知识讲解
我们把用语言，符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。
其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。
考点2四种命题及其相互关系
（1）互逆命题
形式：
如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆命题为“若q，则p”。
（2）互否命题
形式：
如果原命题为“若p，则q”，那么它的否命题为“若¬p，则¬q”。
说明：
条件p的否定和结论q的否定分别记作“¬p”和“¬q”，读作“非p”和“非q”
（3）互为逆否命题
形式：
如果原命题为“若p，则q”，那么它的否命题为“若¬q，则¬p”。
考点3四种命题关系的真假判断
（1）原命题为真，它的逆命题可以为真，也可以为假。
（2）原命题为真，它的否命题可以为真，也可以为假。
（3）原命题为真，它的逆否命题一定为真。
（4）互为逆否的命题是等价命题，它们同真同假，同一个命题的逆命题和否命题是一对互为逆否的命题，所以它们同真同假。
（5）四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
考点4充分条件与必要条件
（1）如果p⇒q，那么p是q的充分条件
（2）如果p⇒q，那么q是p的必要条件
考点5“且”“或”“非”的概念
（1）且
①定义：
用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”
②含义：
逻辑联结词“且”与我们日常用语中的“并且”“及”“和”“同时”“公共”相当。
（2）或
①定义：
用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“p或q”
②含义：
在日常生活中“或者”有两种用法，其一是“不可兼”的，其二是“可兼”的，逻辑联结词“或”是“可兼”的“或”。
（3）非
①定义：
对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作¬p，读作“非p”或“p的否定”
含义：
逻辑联结词“非”的含义是有日常生活语言中的“不是”“否定”“问题的反面”“对立”等抽象而来的。
考点6复合命题“p或q”“p且q”“非p”的真假判断
（1）命题p∧q的真假：
p
q
p∧q
真
真
真
真
假
假
假
真
假
假
假
假
可用一句话概括为：
一假则假
（2）命题p∨q的真假
p
q
p∨q
真
真
真
真
假
真
假
真
真
假
假
假
可用一句话概括为：
一真则真
（3）命题¬p的真假
p
¬p
真
假
假
真
要点诠释：
真值表命题p∧q的真假可用一句话概括为：
一假则假
命题p∨q的真假可用一句话概括为：
一真则真
命题¬p的真假可用一句话概括为：
真假相对
考点7全称量词与存在量词
1、全称量词与全称命题
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词。
用符号“∀”表示。
含有全称量词的命题，叫做全称命题。
也可以理解为陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题。
全称命题的符号记法：
将含有变量x的语句用p（x），q（x），……表示，变量x的取值范围用M表示，那么，全称命题“对M中任意一个x，有p（x）成立”可用符号简记为：
∀x∈M，p（x），读作“对任意的x属于M，有p（x）成立”。
2、存在量词与特称命题
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词。
用符号“∃”表示。
含有存在量词的命题，叫做特称命题。
也可以理解为陈述在某集合中有（存在）一些元素具有某种性质的命题。
特称命题“存在M中的一个x，使p（x）成立”可用符号简记为：
∃x0∈M，p（x0），读作“存在一个x0属于M，使p（x0）成立”。
考点8含有一个量词的命题的否定
（1）全称命题p：
∀x∈M，p（x），它的否定¬p：
∃x0∈M，¬p（x0）。
（2）特称命题p：
∃x0∈M，p（x0），它的否定¬p：
∀x∈M，¬p（x）。
（3）全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，即它们互为否定形式。
类型一四种命题及其相互关系
写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．
（1）实数的平方是非负数；
（2）等底等高的两个三角形是全等三角形；
（3）弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．
【解析】
（1）逆命题：
若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．
否命题：
若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．
逆否命题：
若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．
（2）逆命题：
若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．真命题．
否命题：
若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．真命题．
逆否命题：
若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．假命题．
（3）逆命题：
若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．真命题．
否命题：
若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧．真命题．
逆否命题：
若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．真命题．
【总结与反思】给出一个命题，判断其逆命题、否命题、逆否命题等的真假时，如果直接判断命题本身的真假比较困难，则可以通过判断它的等价命题的真假来确定．
有下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．
其中真命题的序号为________．
【解析】①的逆命题是“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真；②的否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，假；③若q≤1，则Δ＝4－4q≥0，所以x2＋2x＋q＝0有实根，其逆否命题与原命题是等价命题，真；
④的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，假．
类型二充要条件的判断
给出下列命题，试分别指出p是q的什么条件．
（1）p：
x－2＝0；q：
（x－2）（x－3）＝0．
（2）p：
两个三角形相似；q：
两个三角形全等．
（3）p：
m＜－2；q：
方程x2－x－m＝0无实根．
（4）p：
一个四边形是矩形；q：
四边形的对角线相等．
【解析】
（1）∵x－2＝0⇒（x－2）（x－3）＝0；而（x－2）（x－3）＝0，x－2＝0．
∴p是q的充分不必要条件．
（2）∵两个三角形相似
两个三角形全等；但两个三角形全等⇒两个三角形相似．
∴p是q的必要不充分条件．
（3）∵m＜－2⇒方程x2－x－m＝0无实根；方程x2－x－m＝0无实根
m＜－2．
∴p是q的充分不必要条件．
（4）∵矩形的对角线相等，∴p⇒q；而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴q
p．
∴p是q的充分不必要条件．
下列各小题中，p是q的充要条件的是（ ）
①p：
m＜－2或m＞6；q：
y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点；
②p：
＝1；q：
y＝f（x）是偶函数；
③p：
cosα＝cosβ；q：
tanα＝tanβ；
④p：
A∩B＝A；q：
∁UB⊆∁UA．
A．①②B．②③C．③④D．①④
【解析】①q：
y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点⇔q：
Δ＝m2－4（m＋3）＞0⇔q：
m＜－2或m＞6⇔p；②当f（x）＝0时，由q
p；③若α，β＝kπ＋
，k∈Z时，显然cosα＝cosβ，但tanα≠+.β；④p：
A∩B＝A⇔p：
A⊆B⇔q：
∁UA⊇∁UB．故①④符合题意．
类型三充要条件的证明
设a，b，c为△ABC的三边，求证：
方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°．
【解析】
（1）必要性：
设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，
则x
＋2ax0＋b2＝0，x
＋2cx0－b2＝0，两式相减可得x0＝
，
将此式代入x
＋2ax0＋b2＝0，可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°，
（2）充分性：
∵∠A＝90°，∴b2＋c2＝a2，b2＝a2－c2．①
将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0，可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，即（x＋a－c）（x＋a＋c）＝0．
将①代入方程x2＋2cx－b2＝0，
可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，即（x＋c－a）（x＋c＋a）＝0．
故两方程有公共根x＝－（a＋c）．
所以方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°．
【总结与反思】有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件”⇒“结论”是证明命题的充分性，由“结论”⇒“条件”是证明命题的必要性．证明要分两个环节：
一是充分性；二是必要性．
类型四判断含有逻辑联结词的命题的真假
写出由下列各组命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“¬p”形式的复合命题，并判断真假．
（1）p：
1是素数；q：
1是方程x2＋2x－3＝0的根；
（2）p：
平行四边形的对角线相等；q：
平行四边形的对角线互相垂直；
（3）p：
方程x2＋x－1＝0的两
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