第3讲机械能守恒定律toelc.docx
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第3讲机械能守恒定律toelc
第3讲 机械能守恒定律
曹新红
一、重力势能和弹性势能
1．重力做功的特点
（1）重力做功与无关，只与始、末位置的有关。
（2）重力做功不引起物体的变化。
2．重力势能
大小
Ep＝mgh
矢标性
重力势能是，但有正、负，其意义是表示物体的重力势能比它在大还是小，这与功的正、负的物理意义不同
系统性
重力势能是和共有的
相对性
重力势能的大小与的选取有关。
重力势能的变化是的，与参考平面的选取
与重力做
功的关系
WG＝－（Ep2－Ep1）＝－ΔEp，即重力对物体做的功物体重力势能的减少量
3.弹性势能
（1）大小：
弹簧的弹性势能的大小与弹簧的有关。
（2）弹力做功与弹性势能变化的关系：
弹力做，弹性势能减小，弹力做负功，弹性势能。
二、机械能守恒定律
1．内容
在只有做功的物体系统内，动能和势能可以互相，而总的机械能保持。
2．机械能守恒的条件
只有或做功。
3．守恒三种表达式
（1）E1＝E2（E1、E2分别表示系统初、末状态时的总机械能）。
（2）ΔEk＝－ΔEp或ΔEk增＝ΔEp减（表示系统势能的减少量等于系统动能的增加量）。
（3）ΔEA＝－ΔEB或ΔEA增＝ΔEB减（表示系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能）。
题组一：
机械能守恒的判断
1．[多选]（2011·全国新课标）一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离。
假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是（ ）
A．运动员到达最低点前重力势能始终减小
B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能增加
C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒
D．蹦极过程中，重力势能的改变与重力势能零点的选取有关
2．[多选]如图5-3-1所示，斜面置于光滑水平地面，其光滑斜面上有一物体由静止沿斜面下滑，在物体下滑过程中，下列说法正确的是（ ）
A．物体的重力势能减少，动能增加
B．斜面的机械能不变
C．斜面对物体的作用力垂直于接触面，不对物体做功
D．物体和斜面组成的系统机械能守恒
题组二：
机械能守恒定律的应用
3．（2014·渭南模拟）如图5-3-2所示，一根跨过光滑定滑轮的轻绳，两端各有一杂技演员（可视为质点）。
a站在地面上，b从图示的位置由静止开始向下摆动，运动过程中绳始终处于伸直状态。
当演员b摆至最低点时，a刚好对地面无压力，则演员a的质量与演员b的质量之比为（ ）
A．1∶1 B．2∶1 C．3∶1 D．4∶1
4．如图5-3-3所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架。
在A处固定质量为2m的小球，B处固定质量为m的小球，支架悬挂在O点，可绕与支架所在平面相垂直的固定轴转动。
开始时OB与地面相垂直。
放手后开始运动，在不计任何阻力的情况下，下列说法错误的是（ ）
A．A球到达最低点时速度为零
B．A球机械能的减少量等于B球机械能的增加量
C．B球向左摆动所能到达的最高位置应高于A球开始运动时的高度
D．当支架从左向右回摆时，A球一定能回到起始高度
5．[多选]如图5-3-4所示，光滑细杆AB、AC在A点连接，AB竖直放置，AC水平放置，两相同的中心有小孔的小球M、N，分别套在AB和AC上，并用一细绳相连，细绳恰好被拉直，现由静止释放M、N，在运动过程中下列说法中正确的是（ ）
A．M球的机械能守恒
B．M球的机械能减小
C．M和N组成的系统的机械能守恒
D．细绳的拉力对N做负功
要点一 机械能守恒条件的理解
机械能守恒的条件是只有重力、弹力做功，可以从以下四个方面理解
（1）只受重力作用，例如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动，物体的机械能守恒。
（2）只受弹力作用，弹力做功伴随着弹性势能的变化，并且弹力做的功等于弹性势能的减少量。
（3）物体同时受重力和弹力的作用，且系统内只有重力和弹力做功，系统机械能守恒。
（4）还受其他力，但其他力不做功，只有重力或弹力做功。
[典例1] [多选]（2014·杭州模拟）如图5-3-5所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是（ ）
A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒
B．乙图中，A置于光滑水平面，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力时A加速下落，B加速上升过程中，A、B系统机械能守恒
D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒
【总结提能】
“两法”判断机械能是否守恒
[训练1] [多选]如图5-3-6所示，质量分别为m和2m的两个小球A和B，中间用轻质杆相连，在杆的中点O处有一固定转动轴，把杆置于水平位置后释放，在B球顺时针摆动到最低位置的过程中（不计一切摩擦）（ ）
A．B球的重力势能减少，动能增加，B球和地球组成的系统机械能守恒
B．A球的重力势能增加，动能也增加，A球和地球组成的系统机械能不守恒
C．A球、B球和地球组成的系统机械能守恒
D．A球、B球和地球组成的系统机械能不守恒
要点二 物体机械能守恒定律的应用
1．机械能守恒定律的表达式比较
Ek＋Ep＝E′k＋E′p
ΔEk＝－ΔEp
ΔE增＝ΔE减
角度
守恒观点
转化观点
转移观点
意义
系统的初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等
表示系统（或物体）机械能守恒时，系统减少（或增加）的重力势能等于系统增加（或减少）的动能
一部分物体机械能的增加量与另一部分物体机械能的减少量相等
注意
事项
应用时应选好重力势能的零势能面，且初末状态必须用同一零势能面计算势能
应用时关键在于分清重力势能的增加量和减少量，可不选零势能面而直接计算初末状态的势能差
常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题
2.应用机械能守恒定律解题的一般步骤
[典例2] （2014·江门模拟）如图537所示，将一质量为m＝0.1kg的小球自水平平台右端O点以初速度v0水平抛出，小球飞离平台后由A点沿切线落入竖直光滑圆轨道ABC，并沿轨道恰好通过最高点C，圆轨道ABC的形状为半径R＝2.5m的圆截去了左上角127°的圆弧，CB为其竖直直径（sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，重力加速度g取10m/s2，空气阻力不计），求：
（1）小球经过C点速度vC的大小；
（2）小球运动到轨道最低点B时轨道对小球的支持力大小；
（3）平台末端O点到A点的竖直高度H。
【总结提能】
关于机械能守恒定律的三点提醒
（1）机械能守恒定律是一种“能——能转化”关系，其守恒是有条件的，因此，应用时首先要对研究对象在所研究的过程中机械能是否守恒做出判断。
（2）列方程时，选取的表达角度不同，表达式不同，对参考平面的选取要求也不一定相同。
（3）用机械能守恒定律能解决的问题，应用动能定理同样能解决，但其解题思路和表达式有所不同。
[训练2] （2014·三门峡调研）如图538所示，一固定在竖直平面内的光滑的半圆形轨道ABC，其半径R＝0.5m，轨道在C处与水平地面相切，在C处放一小物块，给它一水平向左的初速度v0＝5m/s，结果它沿CBA运动，通过A点，最后落在水平地面上的D点，求C、D的距离x（重力加速度g取10m/s2，空气阻力不计）。
要点三 非质点系统的机械能守恒
1．非质点系统
指的是“链条”、“井绳（缆绳）”、“液柱”等质量不可忽略、柔软的物体或液体。
2．重力势能变化的分析方法
在确认了系统机械能守恒之后，一般采用转化法列方程。
重力势能的变化与运动的过程无关，常常分段找等效重心的位置变化来确定势能的变化。
这种思想也是解决变力做功过程中势能变化的基本方法。
[典例3] （2014·济南质检）两个底面积都是S的圆桶，放在同一水平面上，桶内装水，水面高度分别为h1和h2，如图539所示。
已知水的密度为ρ。
现把连接两桶的阀门打开，不计摩擦阻力，当两桶水面第一次高度相等时，液面的速度为多大（连接两桶的阀门之间水质量不计）?
【总结提能】
分析非质点系统重力势能变化时的注意问题
[训练3]
长为L的均匀链条，放在光滑的水平桌面上，且使其长度的1/4垂在桌边，如图5-3-10所示，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为多大？
班级：
[课堂基础巩固]
高考题组练
1.[多选]（2012·山东高考）将地面上静止的货物竖直向上吊起，货物由地面运动至最高点的过程中，v-t图象如图5-3-12所示。
以下判断正确的是（ ）
A．前3s内货物处于超重状态
B．最后2s内货物只受重力作用
C．前3s内与最后2s内货物的平均速度相同
D．第3s末至第5s末的过程中，货物的机械能守恒
2．（2012·上海高考）如图，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍。
当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高。
将A由静止释放，B上升的最大高度是（ ）
A．2R B.
C.
D.
3．（2013·浙江高考）山谷中有三块石头和一根不可伸长的轻质青藤，其示意图如图5-3-14所示。
图中A、B、C、D均为石头的边缘点，O为青藤的固定点，h1＝1.8m，h2＝4.0m，x1＝4.8m，x2＝8.0m。
开始时，质量分别为M＝10kg和m＝2kg的大、小两只滇金丝猴分别位于左边和中间的石头上，当大猴发现小猴将受到伤害时，迅速从左边石头的A点水平跳至中间石头。
大猴抱起小猴跑到C点，抓住青藤的下端，荡到右边石头上的D点，此时速度恰好为零。
运动过程中猴子均可看成质点，空气阻力不计，重力加速度g＝10m/s2，求：
（1）大猴子从A点水平跳离时速度的最小值；
（2）猴子抓住青藤荡起时的速度大小；
（3）猴子荡起时，青藤对猴子的拉力大小。
预测题组练
4．[多选]轻杆AB长2L，A端连在固定轴上，B端固定一个质量为2m的小球，中点C固定一个质量为m的小球。
AB杆可以绕A端在竖直平面内自由转动。
现将杆置于水平位置，如图5-3-15所示，然后由静止释放，不计各处摩擦与空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．AB杆转到竖直位置时，角速度为
B．AB杆转到竖直位置的过程中，B端小球的机械能的增量为
mgL
C．AB杆转动过程中杆CB对B球做正功，对C球做负功，杆AC对C球做正功
D．AB杆转动过程中，C球机械能守恒
5．如图5-3-16所示，为一传送装置，其中AB段粗糙，AB段长为L＝0.2m，动摩擦因数μ＝0.6，BC、DEN段均可视为光滑，且BC的始、末端均水平，具有h＝0.1m的高度差，DEN是半径为r＝0.4m的半圆形轨道，其直径DN沿竖直方向，C位于DN竖直线上，CD间的距离恰能让小球自由通过。
在左端竖直墙上固定有一轻质弹簧，现有一可视为质点的小球，小球质量m＝0.2kg，压缩轻质弹簧至A点后由静止释放（小球和弹簧不粘连），小球刚好能沿DEN轨道滑下。
求：
（1）小球到达N点时速度的大小；
（2）压缩的弹簧所具有的弹性势能。
[课下限时集训（十五）]
（限时：
45分钟）
一、单项选择题
1．（2014·南宁模拟）以下说法中哪些是正确的（ ）
A．物体做匀速运动，它的机械能一定守恒
B．物体所受合力的功为零，它的机械能一定守恒
C．物体所受合力不等于零，它的机械能可能守恒
D．物体所受合力等于零，它的机械能一定守恒
2.如图1所示，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止于水平面上，现将一小球从图示位置静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．斜劈对小球的弹力不做功
B．斜劈与小球组成的系统机械能守恒
C．斜劈的机械能守恒
D．小球重力势能的减少量等于斜劈动能的增加量
3．（2014·佛山调研）在一次课外趣味游戏中，有四位同学分别将四个质量不同的光滑小球沿竖直放置的内壁光滑的半球形碗的碗口内侧同时由静止释放，碗口水平，如图2所示。
他们分别记下了这四个小球下滑速率为v时的位置，则这些位置应该在同一个（ ）
A．球面 B．抛物面 C．水平面 D．椭圆面
4．（2012·福建高考）如图3所示，表面光滑的固定斜面顶端安装一定滑轮，小物块A、B用轻绳连接并跨过滑轮（不计滑轮的质量和摩擦）。
初始时刻，A、B处于同一高度并恰好处于静止状态。
剪断轻绳后A下落、B沿斜面下滑，则从剪断轻绳到物块着地，两物块（ ）
A．速率的变化量不同 B．机械能的变化量不同
C．重力势能的变化量相同D．重力做功的平均功率相同
5．（2014·徐州模拟）如图4所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环，圆环与竖直放置的轻弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，弹簧处于原长h。
让圆环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度刚好为零，则在圆环下滑过程中（ ）
A．圆环机械能守恒
B．弹簧的弹性势能一定先增大后减小
C．弹簧的弹性势能变化了mgh
D．弹簧的弹性势能最大时圆环的动能最大
二、多项选择题
6．（2012·海南高考）下列关于功和机械能的说法，正确的是（ ）
A．在有阻力作用的情况下，物体重力势能的减少不等于重力对物体所做的功
B．合力对物体所做的功等于物体动能的改变量
C．物体的重力势能是物体与地球之间的相互作用能，其大小与势能零点的选取有关
D．运动物体动能的减少量一定等于其重力势能的增加量
7．（2014·柳州联考）如图5所示，一根不可伸长的轻绳两端分别系着小球A和物块B，跨过固定于斜面体顶端的小滑轮O，倾角为θ＝30°的斜面体置于水平地面上。
A的质量为m，B的质量为4m。
开始时，用手托住A，使OA段绳恰处于水平伸直状态（绳中无拉力），OB绳平行于斜面，此时B静止不动。
将A由静止释放，在其下摆过程中，斜面体始终保持静止，下列判断中正确的是（ ）
A．物块B受到的摩擦力先减小后增大
B．地面对斜面体的摩擦力方向一直向右
C．小球A的机械能守恒
D．小球A的机械能不守恒，A、B系统的机械能守恒
三、非选择题
8．（2014·哈尔滨模拟）如图6所示，一个半径为R的半球形的碗固定在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的。
一根轻质细线跨在碗口上，线的两端分别系有小球A和B，当它们处于平衡状态时，小球A与O点的连线与水平线的夹角为60°。
（1）求小球A与小球B的质量比mA∶mB；
（2）若将A球质量改为2m、B球质量改为m，且开始时A球位于碗口C点，由静止沿碗下滑，当A球滑到碗底时，求两球的速率为多大？
（3）在满足第
（2）问中的条件下，求A球沿碗壁运动的最大位移是多少？
9．（2014·十堰模拟）如图7所示，粗糙弧形轨道和两个光滑半圆轨道组成翘尾巴的S形轨道。
光滑半圆轨道半径为R，两个光滑半圆轨道连接处CD之间留有很小空隙，刚好能够使小球通过，CD之间距离可忽略。
粗糙弧形轨道最高点A与水平面上B点之间的高度为h。
从A点静止释放一个可视为质点的小球，小球沿翘尾巴的S形轨道运动后从E点水平飞出，落到水平地面上，落点到与E点在同一竖直线上B点的距离为s。
已知小球质量m，不计空气阻力，求：
（1）小球从E点水平飞出时的速度大小；
（2）小球运动到半圆轨道的B点时对轨道的压力；
（3）小球沿翘尾巴S形轨道运动时克服摩擦力做的功。
10.如图8所示，有一条长为L的均匀金属链条，一半长度在光滑斜面上，斜面倾角为θ，另一半长度沿竖直方向下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，求链条刚好全部滑出斜面时的速度是多大。
第4讲 功能关系 能量守恒定律
一、功和能
1．功和能
（1）做功的过程就是的过程，能量的转化必须通过来实现。
（2）功是的量度，即做了多少功，就有多少发生了转化。
2．功能关系
（1）重力做功等于重力势能的改变，即WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
（2）弹簧弹力做功等于弹性势能的改变，即WF＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
（3）除了重力和弹簧弹力之外的其他力所做的总功，等于物体机械能的改变，即W其他力＝E2－E1＝ΔE。
二、能量守恒定律
1．内容：
能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只会从一种形式转化为其他形式，或者从一个物体转移到另一个物体，而在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变。
2．表达式：
ΔE减＝ΔE增。
题组一：
功和能
1．（2013·杭州模拟）已知货物的质量为m，在某段时间内起重机将货物以a的加速度加速升高h，则在这段时间内，下列叙述正确的是（重力加速度为g）（ ）
A．货物的动能一定增加mah－mgh
B．货物的机械能一定增加mah
C．货物的重力势能一定增加mah
D．货物的机械能一定增加mah＋mgh
2．[多选]（2013·山东高考）如图5 4 1所示，楔形木块abc固定在水平面上，粗糙斜面ab和光滑斜面bc与水平面的夹角相同，顶角b处安装一定滑轮。
质量分别为M、m（M>m）的滑块，通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接，轻绳与斜面平行。
两滑块由静止释放后，沿斜面做匀加速运动。
若不计滑轮的质量和摩擦，在两滑块沿斜面运动的过程中（ ）
A．两滑块组成系统的机械能守恒
B．重力对M做的功等于M动能的增加
C．轻绳对m做的功等于m机械能的增加
D．两滑块组成系统的机械能损失等于M克服摩擦力做的功
题组二：
能量守恒定律
3.（2012·安徽高考）如图5 4 2所示，在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道，半径OA水平、OB竖直，一个质量为m的小球（视为质点）自A的正上方P点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力。
已知AP＝2R，重力加速度为g，则小球从P到B的运动过程中（ ）
A．重力做功2mgR B．机械能减少mgR
C．合力做功mgR D．克服摩擦力做功
mgR
4．（2014·潍坊模拟）如图5-4-3所示，ABCD是一个盆式容器，盆内侧壁与盆底BC的连接处都是一段与BC相切的圆弧，B、C在水平线上，其距离d＝0.50m。
盆边缘的高度为h＝0.30m。
在A处放一个质量为m的小物块并让其从静止出发下滑。
已知盆内侧壁是光滑的，而盆底BC面与小物块间的动摩擦因数为μ＝0.10。
小物块在盆内来回滑动，最后停下来，则停下的位置到B的距离为多少？
要点一 功能关系的应用
1．对功能关系的进一步理解
（1）做功的过程是能量转化的过程。
不同形式的能量发生相互转化是通过做功来实现的。
（2）功是能量转化的量度，功和能的关系，一是体现到不同的力做功，对应不同形式的能转化，具有一一对应关系，二是做功的多少与能量转化的多少在数量上相等。
2．各种功能关系的对比
各种力功
对应能的变化
定量的关系
合力的功
动能变化
合力对物体做功等于物体动能的增量W合＝Ek2－Ek1
重力的功
重力势
能变化
重力做正功，重力势能减少，重力做负功，重力势能增加，且WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
弹簧弹力的功
弹性势
能变化
弹力做正功，弹性势能减少，弹力做负功，弹性势能增加，且W弹＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
只有重力、弹簧弹力的功
不引起机
械能变化
机械能守恒ΔE＝0
非重力和弹力的功
机械能变化
非重力和弹力之外的力做正功，物体的机械能增加，做负功，机械能减少，且W除G、弹力外＝ΔE
电场力的功
电势能变化
电场力做正功，电势能减少，电场力做负功，电势能增加，且W电＝－ΔEp
3．摩擦力做功的特点及其与能量的关系
静摩擦力
滑动摩擦力
能量的转化方面
只有能量的转移，而没有能量的转化
既有能量的转移，又有能量的转化
一对摩擦力的总功
一对静摩擦力所做功的代数总和等于零
代数和不为零，总功W＝－Ff·l相对，即摩擦时产生的热量
正功、负功、
不做功方面
两种摩擦力对物体可以做正功、负功，还可以不做功
[典例1] [多选]（2013·全国高考）如图5-4-4所示，一固定斜面倾角为30°，一质量为m的小物块自斜面底端以一定的初速度，沿斜面向上做匀减速运动，加速度的大小等于重力加速度的大小g。
若物块上升的最大高度为H，则此过程中，物块的（ ）
A．动能损失了2mgH B．动能损失了mgH
C．机械能损失了mgHD．机械能损失了
mgH
【总结提能】
功能关系的选用原则
（1）在应用功能关系解决具体问题的过程中，若只涉及动能的变化用动能定理分析。
（2）只涉及重力势能的变化用重力做功与重力势能变化的关系分析。
（3）只涉及机械能变化用除重力和弹力之外的力做功与机械能变化的关系分析。
（4）只涉及电势能的变化用电场力做功与电势能变化的关系分析。
[训练1] [多选]（2014·烟台模拟）升降机底板上放一质量为100kg的物体，物体随升降机由静止开始竖直向上移动5m时速度达到4m/s，则此过程中（g取10m/s2）（ ）
A．升降机对物体做功5800J
B．合外力对物体做功5800J
C．物体的重力势能增加5000J
D．物体的机械能增加800J
要点二 能量守恒定律的应用
1.应用能量守恒定律的基本思路
（1）某种形式的能减少，一定存在其他形式的能增加，且减少量和增加量一定相等；
（2）某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
2．应用能量守恒定律解题的步骤
（1）分清有多少形式的能（动能、势能、内能等）发生变化。
（2）明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少，并且列出减少的能量ΔE减和增加的能量ΔE增的表达式。
（3）列出能量守恒关系式ΔE减＝ΔE增。
[典例2] （2014·廊坊模拟）如图5-4-5所示，光滑水平面AB与竖直面内的半圆形导轨在B点相切，半圆形导轨的半径为R。
一个质量为m的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右的速度后脱离弹簧，当它经过B点进入导轨的瞬间对轨道的压力为其重力的8倍，之后向上运动恰能到达最高点C。
（不计空气阻力）试求：
（1）物体在A点时弹簧的弹性势能；
（2）物体从B点运动至C点的过程中产生的内能。
[训练2] （2014·三门峡模拟）如图5-4-6所示，斜面的倾角为θ，质量为m的滑块距挡板P的距离为s0，滑块以初速度v0沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，滑块所受摩擦力小于重力沿斜面向下的分力。
若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，求滑块经过的总路程。
[课堂基础巩固]
高考题组练
1.（2013·安徽高考）质量为m的人造地球卫星与地心的距离为r时，引力势能可表示为
Ep＝－
，其中G为引力常量，M为地球质量。
该卫星原来在半径为R1的轨道上绕地球做匀速圆周运动，由于受到极稀薄空气的摩擦作用，飞行一段时间后其圆周运动的半径变为R2，此过程中因摩擦而产生的热量为（ ）
A．GMm
B．GMm
C.
D.
2．[多选]（2013·江苏
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