【规律方法】 1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.
2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.
【训练1】
（1）（2019·洛阳二模）已知点
在幂函数f（x）＝（a－1）xb的图象上，则函数f（x）是（ ）
A.奇函数B.偶函数
C.定义域内的减函数D.定义域内的增函数
（2）（2018·上海卷）已知α∈
，
.若幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，＋∞）上递减，则α＝______.
考点二 二次函数的解析式
【例2】（一题多解）已知二次函数f（x）满足f
（2）＝－1，f（－1）＝－1，且f（x）的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.
【规律方法】 求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：
【训练2】已知二次函数f（x）的图象经过点（4，3），它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f（2－x）＝f（2＋x），则f（x）＝________.
考点三 二次函数的图象及应用
【例3】
（1）对数函数y＝logax（a>0且a≠1）与二次函数y＝（a－1）x2－x在同一坐标系内的图象可能是（ ）
（2）设函数f（x）＝x2＋x＋a（a>0），已知f（m）<0，则（ ）
A.f（m＋1）≥0B.f（m＋1）≤0
C.f（m＋1）>0D.f（m＋1）<0
【规律方法】1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.
2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.
【训练3】一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是（ ）
考点四 二次函数的性质
角度1 二次函数的单调性与最值
【例4－1】已知函数f（x）＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6].
（1）当a＝－2时，求f（x）的最值；
（2）求实数a的取值范围，使y＝f（x）在区间[－4，6]上是单调函数.
角度2 二次函数的恒成立问题
【例4－2】（2019·浙江“超级全能生”模拟）已知在（－∞，1]上递减的函数f（x）＝x2－2tx＋1，且对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，总有|f（x1）－f（x2）|≤2，则实数t的取值范围是（ ）
A.[－
，
]B.[1，
]
C.[2，3]D.[1，2]
【规律方法】 1.二次函数最值问题的解法：
抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.
2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
（1）一般有两个解题思路：
一是分离参数；二是不分离参数.
（2）两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：
a≥f（x）恒成立⇔a≥f（x）max，a≤f（x）恒成立⇔a≤f（x）min.
【训练4】已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋1（a，b∈R），x∈R.
（1）若函数f（x）的最小值为f（－1）＝0，求f（x）的解析式，并写出单调区间；
（2）在
（1）的条件下，f（x）>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的取值范围.
【反思与感悟】
1.幂函数y＝xα（α∈R）图象的特征
α>0时，图象过原点和（1，1）点，在第一象限的部分“上升”；α<0时，图象不过原点，经过（1，1）点在第一象限的部分“下降”，反之也成立.
2.求二次函数的解析式就是确定函数式f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）中a，b，c的值.应根据题设条件选用适当的表达形式，用待定系数法确定相应字母的值.
3.二次函数与一元二次不等式密切相关，借助二次函数的图象和性质，可直观地解决与不等式有关的问题.
4.二次函数的单调性与对称轴紧密相连，二次函数的最值问题要根据其图象以及所给区间与对称轴的关系确定.
【易错防范】
1.幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.
2.对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况.
【分层训练】
【基础巩固题组】（建议用时：
40分钟）
一、选择题
1.（2019·济宁联考）下列命题正确的是（ ）
A.y＝x0的图象是一条直线
B.幂函数的图象都经过点（0，0），（1，1）
C.若幂函数y＝xα是奇函数，则y＝xα是增函数
D.幂函数的图象不可能出现在第四象限
2.若函数f（x）＝x2＋ax＋b的图象与x轴的交点为（1，0）和（3，0），则函数f（x）（ ）
A.在（－∞，2]上递减，在[2，＋∞）上递增
B.在（－∞，3）上递增
C.在[1，3]上递增
D.单调性不能确定
3.（2019·北京朝阳区模拟）已知函数f（x）＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f（x）有最小值－2，则f（x）的最大值为（ ）
A.1B.0C.－1D.2
4.（2019·岳阳一中）已知函数y＝ax2＋bx－1在（－∞，0]是单调函数，则y＝2ax＋b的图象不可能是（ ）
5.已知p：
|m＋1|<1，q：
幂函数y＝（m2－m－1）xm在（0，＋∞）上单调递减，则p是q的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
二、填空题
6.已知函数f（x）为幂函数，且f（4）＝
，则当f（a）＝4f（a＋3）时，实数a等于________.
7.（2019·泉州质检）若二次函数f（x）＝ax2－x＋b（a≠0）的最小值为0，则a＋4b的取值范围是________.
8.已知二次函数f（x）满足f（2＋x）＝f（2－x），且f（x）在[0，2]上是增函数，若f（a）≥f（0），则实数a的取值范围是________.
三、解答题
9.已知幂函数f（x）＝（m－1）2xm2－4m＋2在（0，＋∞）上单调递增，函数g（x）＝2x－k.
（1）求m的值；
（2）当x∈[1，2）时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，设p：
x∈A，q：
x∈B，若p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围.
10.已知奇函数y＝f（x）定义域是R，当x≥0时，f（x）＝x（1－x）.
（1）求出函数y＝f（x）的解析式；
（2）写出函数y＝f（x）的单调递增区间.（不用证明，只需直接写出递增区间即可）
【能力提升题组】（建议用时：
20分钟）
11.（2019·武汉模拟）幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点A（1，0），B（0，1），连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝xb的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么a－
＝（ ）
A.0B.1C.
D.2
12.已知函数f（x）＝x2＋ax＋b（a，b∈R），若存在非零实数t，使得f（t）＋f
＝－2成立，则a2＋4b2的最小值为（ ）
A.
B.
C.16D.4
13.已知函数f（x）＝mx2＋（2－m）x＋n（m>0），当－1≤x≤1时，|f（x）|≤1恒成立，则f
＝________.
14.已知二次函数f（x）满足f（x＋1）－f（x）＝2x，且f（0）＝1.
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[－1，1]时，函数y＝f（x）的图象恒在函数y＝2x＋m的图象的上方，求实数m的取值范围.
【新高考创新预测】
15.（思维创新）若函数f（x）＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m（ ）
A.与a有关，且与b有关
B.与a有关，但与b无关
C.与a无关，且与b无关
D.与a无关，但与b有关
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