经典的数学建模例子.docx
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经典的数学建模例子
一、摘要拆分词条
SARS
SARS就是传染性非典型肺炎，全称严重急性呼吸综合症（SevereAcuteRespiratorySyndromes），简称SARS，是一种因感染SARS相关冠状病毒而导致的以发热、干咳、胸闷为主要症状，严重者出现快速进展的呼吸系统衰竭，是一种新的呼吸道传染病，传染性极强、病情进展快速。
当一种传染病流行的时候，会给人们的工作学习带来很大的不变，能有效地进行隔离、预防，会大大减少人员的得病率，当一种传染病开始流行时，在一定的条件下其趋势就像真菌的繁殖曲线，如果能通过计算预测但大概推算出其发病率高峰时期，及时的隔离预防。
那会给社会人力带来很大的方便，当年SARS的爆发给我们带来和大的不便和损失，因此本论文就以SARS为例，来研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件和帮助。
二、正文
1、模型的背景问题描述
SARS（SevereAcuteRespiratorySyndrome，严重急性呼吸道综合症,俗称：
非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。
SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。
表疫情的数据
日期
已确诊病例累计
现有疑似病例
死亡累计
治愈出院累计
4月20日
339
402
18
33
4月21日
482
610
25
43
4月22日
588
666
28
46
4月23日
693
782
35
55
4月24日
774
863
39
64
4月25日
877
954
42
73
4月26日
988
1093
48
76
4月27日
1114
1255
56
78
4月28日
1199
1275
59
78
4月29日
1347
1358
66
83
4月30日
1440
1408
75
90
5月1日
1553
1415
82
100
5月2日
1636
1468
91
109
5月3日
1741
1493
96
115
5月4日
1803
1537
100
118
5月5日
1897
1510
103
121
5月6日
1960
1523
107
134
5月7日
2049
1514
110
141
5月8日
2136
1486
112
152
5月9日
2177
1425
114
168
5月10日
2227
1397
116
175
5月11日
2265
1411
120
186
5月12日
2304
1378
129
208
5月13日
2347
1338
134
244
5月14日
2370
1308
139
252
5月15日
2388
1317
140
257
5月16日
2405
1265
141
273
5月17日
2420
1250
145
307
5月18日
2434
1250
147
332
5月19日
2437
1249
150
349
5月20日
2444
1225
154
395
5月21日
2444
1221
156
447
5月22日
2456
1205
158
528
5月23日
2465
1179
160
582
5月24日
2490
1134
163
667
5月25日
2499
1105
167
704
5月26日
2504
1069
168
747
5月27日
2512
1005
172
828
5月28日
2514
941
175
866
5月29日
2517
803
176
928
5月30日
2520
760
177
1006
5月31日
2521
747
181
1087
6月16日
2521
3
190
2053
6月17日
2521
5
190
2120
6月18日
2521
4
191
2154
6月19日
2521
3
191
2171
6月20日
2521
3
191
2189
6月21日
2521
2
191
2231
6月22日
2521
2
191
2257
6月23日
2521
2
191
2277
6月1日
2522
739
181
1124
6月2日
2522
734
181
1157
6月3日
2522
724
181
1189
6月4日
2522
718
181
1263
6月5日
2522
716
181
1321
6月6日
2522
713
183
1403
6月8日
2522
550
184
1543
6月9日
2522
451
184
1653
6月10日
2522
351
186
1747
6月13日
2522
71
187
1944
6月14日
2522
4
189
1994
6月15日
2522
3
189
2015
6月7日
2523
668
183
1446
6月11日
2523
257
186
1821
6月12日
2523
155
187
1876
要求：
（1）建立传染病传播的指数模型，评价其合理性和实用性。
（2）建立一个适合的模型，说明为什么优于问题1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？
对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：
提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。
表中提供的数据供参考。
（3）说明建立传染病数学模型的重要性。
2、模型假设
（一）答；
从上列图表可知道在4月20到5月7日期已确诊的发病人总数呈指数增长趋势5月20到6月1日增长缓慢，6月1日到6月12日总数几乎不变。
其形式与生物学中真菌繁殖总数相似。
从表格和准备中，作如下假设。
1、不考虑SARS在人体中的潜伏期，也就是说当人一旦传染就表现出来立即就具有传染性。
2、当健康者满足一地条件时，健康者才被传染。
3、整个发病期间为自然状态也就是无人为外界干扰，政府等其它形式进行隔离预防。
4、忽略特殊情况，如个别人体质弱或强的。
假定初始时刻得病例数为M0。
平均每位病人每天可传染N个人，可传染他人的时间为T天。
则在T天内，病例数目的增长随着时间t（单位天）的关系是；
M（t）=M0（1+N）t
如果不考虑对传染期的限制则病例数将按照指数规律增长考虑，当传染期T的作用后，变化将显著偏离指数规律，增长速度会放慢。
把达到T天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉，为了方便，从开始到高峰期间，均采用同样的N值，（从拟合这一阶段的数据库定出），到达高峰之后在10天的范围内逐步调整N值，到比较小，然后保持不变，拟合后在控制阶段的全部数据。
评价及其合理性和实用性；
本模型主要有三个参数M0、N、T，且都具有实际意义。
T可理解为平均每个病人在被发现前后可以造成直接传染的期限，在此期限后失去传染能力，可能原因是被隔离、病愈或死去等等。
N表示某种社会条件下平均每位病人每天传播的人数（但并非文中所述的一个病人的感染他人的平均概率）。
整个模型抓住了SARS传播过程中两个主要特征：
传染期T和传染率N，反映了SARS的传播过程。
使人很容易理解该模型。
模型灵活
通过调整M0、N、T值，就可以描述不同地区，不同环境下SARS的初期传播规律
预测准确
通过模型对表格的调查结果进行了分析，得到的预测值与实际统计数据较接近。
可大致预测出疫情的爆发点和发展趋势。
预期模型的缺点：
1、对于如何确定对于三个参数M0、N、T，未给出一般的原则或算法，只能通过对于已发病地区的数据进行拟合得出。
按照作者的表述，N值是以病发高峰为界取各段的平均值作为传染概率，虽然简化了运算，但是在现实情况下，不同地区的N值是不同的。
在实际应用中，如果没有一定量的数据，是无法得出N值的。
在我们对该模型进行拟合事发现，对于M0、N、T作者未给出调整的标准和相关理论，所以我们很难重复该求解过程。
2、当需要对某一地区进行疫情分析时，还需考虑到该地区相对于表格所给的人群这类人口密集，人员流动性大的城市之间的差异。
地域因素会造成不同地区的N值不同（如人口密度和人口流动大的城市若爆发传染病，初期的N值会比人口密度和人口流动小的城市大，等等），而很难找到地域因素几乎相同的两城市。
所以此作法可能导致预测结果相差较大。
综上所述，该模型能较好的反映SARS传染的特征性，具有一定的实际意义。
但是，参数的取值包含有一定的主观因素，且需要大量的数据进行拟合，且未给出调整的标准和相关理论，在实际应用中实用价值不大。
（二）答：
模型假设
1、在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，既不考虑生死，，也不考虑迁移。
人群分为易感染者和已感染者两类，时刻t这两类人在总人数中所占比例分别记为s（t）和i（t）。
2、每个病人每天有效接触的平均人数是常数k，k称为日接触率。
当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染为病人。
问题分析
根据假设，可知，人群分为两类，一是健康者，二是病人，只要一类人群随时间的变化规律知道，这另一类人群也可马上求解。
由于传染病过程中通常取病人为研究对象，所以决定求解病人随时间的变化规律。
3、模型分析、建立
对于t时刻，病人的增加率为kNsi，即
（1）
又因为
S（t）+i（t）=1
（2）
再令初始时刻的病人比例为i0，这
（3）
显然此为logistic模型，它的解为
（4）
参数的确定
通过对图表的累计病例数用spss进行曲线拟合，结果如下
模型汇总和参数估计值
因变量:
累计病例数
方程
模型汇总
参数估计值
R方
F
df1
df2
Sig.
常数
b1
Logistic
.926
792.908
1
63
.000
.001
.865
自变量为时间。
可得拟合的函数关系式为
，y=N*i
通过取一系列t来估计出相应的k值，结果如下
时间
20
30
40
50
60
k值大小
0.1919
0.1763
0.1685
0.1638
0.1607
由图像可知，当t较大时，曲线拟合的数据与实际测量值越接近，所以就取t=60时所对应的k值，即0.1607。
此值可以近似看做当政府没有采取措施，即传染病的自然传染能力大小。
但同时根据附件1的求解方法，我们计算了4月20日到4月29日期间每日的k值大小，再求平均，得
=0.169346。
对于k和
之间的差异，这是由于模型1并未考虑到政府控制前和控制后k值将改变，且k1>k2。
所以由于
只考虑控制前，所以比k要略大，我们考虑传染病的每天平均自然传染人数时，取值为
=0.169346。
但由于此模型未考虑到病人会被治愈而成为健康者，所以在模型1的基础上进行改进，建立了模型2。
模型2
在模型1的假设条件下增加的条件为，
1，每天被治愈的病人数或死于该传染病人数占病人总数的比例为常数p。
病人治愈后由于获得了免疫能力，同时也由于心理作用，更加保护自己，所以可以假设治愈后再次感染的几率为0，且该种人群在总人群中所占有的比例为u（t）。
不难看出，考虑到假设3，模型1中的
（1）式应修改为
（5）
而且对于健康者，其增加率为
（6）
对于移出者而言，其增加率为
（7）
由于人群只由健康者，病人和移出者组成，所以
S（t）+i（t）+u（t）=1（8）
4、模型求解
查资料，得到2003年北京市市区总人口数目为698.8万人
从而可以得到初始条件i0=339/（698.8*10^（-4））=4.851*10^（-5），s0=0.99995149（取4月20号为初始条件）
同时根据附件2中的死亡累计和治愈累计，求得每日的移出率p，在求平均值得到
=0.05121。
在模型一中求得
=0.169346；将上述参数代入（5）式和（6））式，求得数值解和绘制的图像
由图像可得i（t）随时间的推移先逐渐变大，之后变小，趋向于0，s（t）随时间的推移而逐渐减小，根据常识，一种传染病中的病人比例最终是为0，由此模型2还是比较符合客观事实的，但从图像中大致可以判断i（t）=0时大约要经过225多天。
这与实际过程中大约经过100多天北京的SARS就平息存在较大误差，仔细分析，我们发现该模型忽略了SARS的潜伏期，实际上健康人与SARS患者接触后虽然被感染了，但还处于潜伏期，没有传染能力。
所以将模型2进行改进，得到模型3。
模型3
模型假设
1，将人群分为四类，分别为健康人群，能感染的病人SARS，SARS潜伏者和移出者（包括SARS的死亡者和治愈者），他们在人群中的比重分别为s（t）,i（t）,w（t）,u（t）;其中已确诊病人和SARS潜伏者统称为SARS病毒携带者，记为x1（t）,表示其t时刻的人数，人口总人数为N。
2，每个病人每天有效接触的平均人数是常数k，k称为日接触率。
当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染为病人。
3,SARS潜伏者无传染能力，但最终会成为病人，具有传染能力。
问题分析
该模型比起模型2更为复杂，在该模型中还必须将SARS病毒携带者分为两类，显然增加了计算难度，在此中还应该考虑潜伏周期T。
模型求解
在t时刻SARS病毒携带者x1（t）=Ni（t）+Nw（t）（9）
SARS病毒携带者的增长率为
（10）
健康人的增长率为
（11）
移出者的增长率为
（12）
潜伏者的增长率为
（13）
确诊病人的增长率为
（14）
除此之外，还有一条公式，为
S（t）+i（t）+w（t）+u（t）=1（15）
由（9）到（16）式联立，可得到
（16）
将（14）和（17）式联立，可得
（17）
将t-T用t代替，可得
（18）
在对（16）式两边对t进行求导，可得
（19）
结合（11），（12），（18）可求得
（20）
最终对（11），（18），（20）联立的方程组进行数值求解，可得图像如下
从图像中我们可以观察到在300多天时i（t）会接近于0，这比模型2还要久，，因此，我们还把政府的干预考虑进来，也就得到了模型4。
由于时间限制，模型4中考虑的因素更多，所以一时没能解决，也就导致了第二问实际上还不能完全解决，但是我们已经有了思路，即再引入一类人群，就是隔离人群，通过引入该人群，实际上是改变了病人的有效接触人数k，我们根据4月29日之后的实际数据，求得每日的k值，再求平均，得
=0.019413；我们想采用分段函数，即确定一个时刻t，
值改变的时刻，在这个时刻前与后都可以适用模型3。
只是在考虑t时刻后，它的初始条件为4月29日的数据。
通过t的改变，可以解决第二问中政府早五天调控和晚五天调控的差别。
5、模型的应用与推广
模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物，集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。
数学建模就是指对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
其意义在于用数学方法解决实际问题。
能够合理有效地建立数学模型不仅在工业，商业，医疗卫生都有很大帮助。
就拿SARS而言，它可以使人们有效地采取方案措施进行解决。
可以高效，高质的完成事务。
它是从一个定量的角度分析解决问题，去解决人类的实际问题。
对人类的生活带来很大方便，能够很好的利用数学建模去解决生活生产，在科技方面也有很大的帮助。
用它去解决人们的生活生产会给人力带来很大的帮助，有效地解决实际问题。
感谢老师给了我们这次机会，通过这次学习对建模也有很大的乐趣，我会继续学习去解决更多实际问题为学习和生活带来方便。
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