初三数学思维方法.docx
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初三数学思维方法
初三数学思维方法
一、在解题中有不可忽视的作用
解题的学习过程通常的程序是：
阅读数学知识理解概念;在对例题和老师的讲解进行反思思考例题的方法、技巧和解题的规范过程;然后做数学练习题。
基本题要练程序和速度;典型题尝试一题多解开发数学思维;最后要及时总结反思改错交流学习好的解法和技巧。
著名的数学教育家波利亚说如果没有反思就错过了解题的的一次重要而有意义的方面。
教师在教学设计中要让解学生好数学问题就要对数学思维方法有清楚的认识才能更好的挖掘题目的功能引导学生发现总结题目的解法和技巧提高解题能力。
1.函数与方程的思维
函数与方程的思维是中学数学最基本的思维。
所谓函数的思维是指用运动变化的观点去分析和研究数学中的数量关系建立函数关系或构造函数再运用函数的图像与性质去分析、解决相关的问题。
而所谓方程的思维是分析数学中的等量关系去构建方程或方程组通过求解或利用方程的性质去分析解决问题。
2.数形结合的思维
数与形在一定的条件下可以转化。
如某些代数问题、三角问题往往有几何背景可以借助几何特征去解决相关的代数三角问题;而某些几何问题也往往可以通过数量的结构特征用代数的方法去解决。
因此数形结合的思维对问题的解决有举足轻重的作用。
3.分类讨论的思维
分类讨论的思维之所以重要原因一是因为它的逻辑性较强原因二是因为它的知识点的涵盖比较广原因三是因为它可培养学生的分析和解决问题的能力。
原因四是实际问题中常常需要分类讨论各种可能性。
解决分类讨论问题的关键是化整为零在局部讨论降低难度。
常见的类型：
类型1：
由数学概念引起的的讨论如实数、有理数、绝对值、点（直线、圆）与圆的位置关系等概念的分类讨论;类型2：
由数学运算引起的讨论如不等式两边同乘一个正数还是负数的问题;类型3：
由性质、定理、公式的限制条件引起的讨论如一元二次方程求根公式的应用引起的讨论;类型4：
由图形位置的不确定性引起的讨论如直角、锐角、钝角三角形中的相关问题引起的讨论。
类型5：
由某些字母系数对方程的影响造成的分类讨论如二次函数中字母系数对图象的影响二次项系数对图象开口方向的影响一次项系数对顶点坐标的影响常数项对截距的影响等。
分类讨论思维是对数学对象进行分类寻求解答的一种思维方法其作用在于克服思维的片面性全面考虑问题。
分类的原则：
分类不重不漏。
分类的步骤：
①确定讨论的对象及其范围;②确定分类讨论的分类标准;③按所分类别进行讨论;④归纳小结、综合得出结论。
注意动态问题一定要先画动态图。
4.转化与化归的思维
转化与化归市中学数学最基本的数学思维之一数形结合的思维体现了数与形的转化;函数与方程的思维体现了函数、方程、不等式之间的相互转化;分类讨论思维体现了局部与整体的相互转化所以以上三种思维也是转化与化归思维的具体呈现。
但是转化包括等价转化和非等价转化等价转化要求在转化的过程中前因和后果是充分的也是必要的;不等价转化就只有一种情况因此结论要注意检验、调整和补充。
转化的原则是将不熟悉和难解的问题转为熟知的、易解的和已经解决的问题将抽象的问题转为具体的和直观的问题;将复杂的转为简单的问题;将一般的转为特殊的问题;将实际的问题转为数学的问题等等使问题易于解决。
但是转化包括等价转化和非等价转化等价转化要求在转化的过程中前因和后果是充分的也是必要的;不等价转化就只有一种情况因此结论要注意检验、调整和补充。
转化的原则是将不熟悉和难解的问题转为熟知的、易解的和已经解决的问题将抽象的问题转为具体的和直观的问题;将复杂的转为简单的问题;将一般的转为特殊的问题;将实际的问题转为数学的问题等等使问题易于解决。
常见的转化方法有
（1）直接转化法：
把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.
（2）换元法：
运用换元把式子转化为有理式或使整式降幂等把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题.
（3）数形结合法：
研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系通过互相变换获得转化途径.
（4）等价转化法：
把原问题转化为一个易于解决的等价命题达到化归的目的.
（5）特殊化方法：
把原问题的形式向特殊化形式转化并证明特殊化后的问题使结论适合原问题.
（6）构造法：
构造一个合适的数学模型把问题变为易于解决的问题.
（7）坐标法：
以坐标系为工具用计算方法解决几何问题也是转化方法的一个重要途径
转化与化归的指导思维
（1）把什么问题进行转化即化归对象.
（2）化归到何处去即化归目标.
（3）如何进行化归即化归方法.
化归与转化思维是一切数学思维方法的核心.
二、中学数学解题中的的基本方法
1.观察与实验
（1）观察法：
有目的有计划的通过视觉直观的发现数学对象的规律、性质和解决问题的途径。
（2）实验法：
实验法是有目的的、模拟的创设一些有利于观察的数学对象通过观察研究将复杂的问题直观化、简单化。
它具有直观性强特征清晰同时可以试探解法、检验结论的重要优势。
2.比较与分类
（1）比较法
是确定事物共同点和不同点的思维方法。
在数学上两类数学对象必须有一定的关系才好比较。
我们常比较两类数学对象的相同点、相异点或者是同异综合比较。
（2）分类的方法
分类是在比较的基础上依据数学对象的性质的异同把相同性质的对象归入一类不同性质的对象归为不同类的思维方法。
如上图中一次函数的k在不等于零的情况下的分类是大于零和小于零体现了不重不漏的原则。
3.特殊与一般
（1）特殊化的方法
特殊化的方法是从给定的区域内缩小范围甚至缩小到一个特殊的值、特殊的点、特殊的图形等情况再去考虑问题的解答和合理性。
（2）一般化的方法
4.联想与猜想
（1）类比联想
类比就是根据两个对象或两类事物间存在着的相同或不同属性联想到另一事物也可能具有某种属性的思维方法。
通过类比联想可以发现新的知识;通过类比联想可以寻求到数学解题的方法和途径：
（2）归纳猜想
牛顿说过：
没有大胆的猜想就没有伟大的发明。
猜想可以发现真理发现论断;猜想可以预见证明的方法和思路。
初中数学主要是对命题的条件观察得出对结论的猜想或对条件和结论的观察提出解决问题的方案与方法的猜想。
归纳是对同类事物中的所蕴含的同类性或相似性而得出的一般性结论的思维过程。
归纳有完全归纳和不完全归纳。
完全归纳得出的猜想是正确的不完全归纳得出的猜想有可能正确也有可能错误因此作为结论是需要证明的。
关键是猜之有理、猜之有据。
5.换元与配方
（1）换元法
解数学题时把某个式子看成一个整体用一个变量去代替它从而使问题得到简化这叫换元法。
换元的实质是转化关键是构造元和设元理论依据是等量代换目的是变换研究对象将问题移至新对象的知识背景中去研究从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量可以把分散的条件联系起来隐含的条件显露出来或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式把复杂的计算和推证简化。
我们使用换元法时要遵循有利于运算、有利于标准化的原则换元后要注重新变量范围的选取一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围不能缩小也不能扩大。
你可以先观察算式你可以发现这种要换元法的算式中总是有相同的式子然后把他们用一个字母代替算出答案然后答案中如果有这个字母就把式子带进去计算就出来啦。
（2）配方法
配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成完全平方）的技巧通过配方找到已知和未知的联系从而化繁为简。
何时配方需要我们适当预测并且合理运用裂项与添项、配与凑的技巧从而完成配方。
有时也将其称为凑配法。
最常见的配方是进行恒等变形使数学式子出现完全平方。
它主要适用于：
已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2将这个公式灵活运用可得到各种基本配方形式
6.构造法与待定系数法
（1）构造法所谓构造性的方法就是数学中的概念和方法按固定的方式经有限个步骤能够定义的概念和能够实现的方法。
常见的有构造函数构造图形构造恒等式。
平面几何里面的添辅助线法就是常见的构造法。
构造法解题有：
直接构造、变更条件构造和变更结论构造等途径。
（2）待定系数法：
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式这样就得到一个恒等式。
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数或找出某些系数所满足的关系式这种解决问题的方法叫做待定系数法。
7.公式法与反证法
（1）公式法
利用公式解决问题的方法。
初中最常用的有一元二次方程求根时使用求根公式的方法;完全平方公式的方法等。
如下面一组题就是完全平方公式的应用：
（2）反证法是间接证明法一类即：
肯定题设而否定结论从而得出矛盾就可以肯定命题的结论的正确性从而使命题获得了证明。
三、中学数学新题型解题方法和技巧
1.数学探索题
所谓探索题就是从问题给定的题设条件中探究其相应的结论并加以证明或从给定的题目要求中探究相应的必需具备的条件、解决问题的途径。
条件探索题：
解答策略之一是将题设和结论视为已知同时推理在演绎的过程中寻找出相应所需的条件。
结论探索题：
通常指结论不确定不唯一或结论需通过类比、引申、推广或给出特例需通过归纳得出一般结论。
可以先猜测再去证明;也可以寻求具体情况下的结论再证明;或直接演绎推证。
规律探索题：
实际就是探索多种解决问题的途径制定多种解题的策略。
活动型探索题：
让学生参与一定的社会实践在课内和课外的活动中通过探究完成问题解决。
推广型探索题：
将一个简单的问题加以推广可产生新的结论在初中教学中常见。
如平行四边形的判定就可以产生许多新的推广一方面是自身的推广一方面可以延伸到菱形和正方形中。
探索是数学的生命线解探索题是一种富有创造性的思维活动一种数学形式的探索绝不是单一的思维方式的结果而是多种思维方式的联系和渗透这样可使学生在学习数学的过程中敢于质疑、提问、反思、推广。
通过探索去经历数学发现、数学探究、数学创造的过程体会创造带来的快乐。
2.数学情境题
情境题是以一段生活实际、故事、历史、游戏与数学问题、数学思维和方法于情境中。
这类问题往往生动有趣激发学生强烈的研究动机但同时数学情景题又有信息量大开放性强的特点因此需要学生能从场景中提炼出数学问题同时经历了借助数学知识研究实际问题的数学化过程。
如老师在讲有理数的混合运算时
3.数学开放题
数学开放题是相对于传统的封闭题而言的一种新题型其特征是题目的条件不充分或没有确定的结论也正因为这样所以开放题的解题策略往往也是多种多样的。
（1）数学开放题一般具有下列特征
①不确定性：
所提的问题常常是不确定的和一般性的其背景情况也是用一般词语来描述的因此需收集其他必要的信息才能着手解的题目。
②探究性：
没有现成的解题模式有些答案可能易于直觉地被发现但是求解过程中往往需要从多个角度进行思考和探索。
③非完备性：
有些问题的答案是不确定的存在着多样的解答但重要的还不是答案本身的多样性而在于寻求解答的过程中学生的认知结构的重建。
④发散性：
在求解过程中往往可以引出新的问题或将问题加以推广找出更一般、更概括性的结论。
常常通过实际问题提出学生必须用数学语言将其数学化也就是建立数学模型。
⑤发展性：
能激起多数学生的好奇性全体学生都可以参与解答过程。
⑥创新性：
教师难以用注入式进行教学学生能自然地主动参与教师在解题过程中的地位是示范者、启发者、鼓励者、合作者。
（2）对数学开放题的分类
从构成数学题系统的四要素（条件、依据、方法、结论）出发定性地可分成四类;如果寻求的答案是数学题的条件则称为条件开放题;如果寻求的答案是依据或方法则称为策略开放题;如果寻求的答案是结论则称为结论开放题;如果数学题的条件、解题策略或结论都要求解题者在给定的情境中自行设定与寻找则称为综合开放题。
从学生的学习生活和熟悉的事物中收集材料设计成各种形式的数学开放性问题意在开放学生的思路开放学生潜在的学习能力开放性数学问题给不同层次的学生学好数学创设了机会多种解题策略的应用有力地发展了学生的创新思维培养了学生的创新技能提高了学生的创新能力。
（3）以数学开放题为载体的教学特征
①师生关系开放：
教师与学生成为问题解决的共同合作者和研究者
②教学内容开放：
开放题往往条件不完全、或结论不完全需要收集信息加以分析和研究给数学留下了创新的空间。
③教学过程的开放性：
由于研究的内容的开放性可以激起学生的好奇心、同时由于问题的开放性就没有现成的解题模式因此就会留下想象的空间使所有的学生都可参与想象和解答。
（4）开放题的教育价值
有利于培养学生良好的思维品质;
有助于学生主体意识的形成;
有利于全体学生的参与实现教学的民主性和合作性;
有利于学生体验成功、树立信心增强学习的兴趣;
有助于提高学生解决问题的能力。
4.数学建模题（初中数学建模题也可以看作是数学应用题）
数学新课程标准指出:
要学生会应用所学知识解决实际问题,能适应社会日常生活和生产劳动的基本需要。
初中数学的学习目的之一,就是培养学生解决实际问题的能力,要求学生会分析和解决生产、生活中的数学问题,形成善于应用数学的意识和能力。
从各省市的中考数学命题来看,也更关注学生灵活运用数学知识解决实际问题能力的考查,可以说培养学生解答应用题的能力是使学生能够运用所学数学知识解决实际问题的基本途径之一
初中数学应用问题的三种类型
（1）探求结论型数学应用问题
根据命题中所给出的条件要求找出一个或一个以上的正确结论
（2）跨学科的数学应用问题
①数学与物理
②数学与生化
以上两题是与生物和化学有关的问题体现了数学在生化学科的应用。
总之数学应用问题较好地考察了学生阅读理解能力与日常生活体验同时又考察了学生获取信息后的抽象概括与建模能力判断决策能力。
中考数学应用问题热点题型主要包括生活、统计、测量、设计、决策、销售、开放探索、跨学科等等中考在强化学生应用意识和应用能力方面发挥及其良好的导向功能。
这就要求我们在平时教学中善于挖掘课本例题、习题的潜在的应用功能。
巧妙地将课本中具有典型意义的数学问题回归生活、生产的原型创设一个实际背景改造成有深刻数学内涵的实际问题以增强应用意识发展数学建模能力。
四、掌握初中数学解题策略提来提高数学学习效率
（1）认真分析问题找解题准切入点
由于数学问题纷繁复杂学生容易受定势思维的影响这样就会响解题思路造成很大的影响。
为此这时教师要给予学生正确指导帮助学生进行思路的调整对题目进行重新认真的分析将切入点找准后问题就能游刃而解了。
例如：
已知：
AB=DCAC=DB。
求证:
A=D。
此题是一道比较经典的证明全等的题型主要是对学生对已知条件整合能力和观察识图能力的锻炼。
然而从图形的直观角度来证明AOC=DOB这样的思路只会落入题目所设下的陷阱。
为此在对此题的审题时教师要引导学生注意将题目已知的两个条件充分结合起来考虑提醒学生可以适当添加一定的辅助线。
（2）发挥想象力借助面积出奇制胜
面积问题是数学中常出现的问题在面积定义及相关规律中蕴含着深刻的数学思维如果学生能充分了解其中的韵味能够熟练的掌握其中的数学论证思维就有可能在其他数学问题中借助面积出奇制胜顺利实现解题。
由于几何图形的面积与线段、角、弧等有密切的联系所以用面积法不但可证各种几何图形面积的等量关系还可证某些线段相等、线段不等、角的相等以及比例式等多种类型的几何题。
例1、若E、F分别是矩形ABCD边AB、CD的中点且矩形EFDA与矩形ABCD相似则矩形ABCD的宽与长之比为（）（A）1∶2（B）2∶1（C）1∶2（D）2∶1
由上题已知信息可知矩形ABCD的宽AD与AB的比就是矩形EFDA与矩形ABCD的相似比。
解：
设矩形EFDA与矩形ABCD的相似比为k。
因为E、F分别是矩形ABCD的中点所以S矩形ABCD=2S矩形EFDA。
所以S矩形EFDA∶S矩形ABCD=k2。
所以k=1∶2。
即矩形ABCD的宽与长之比为1∶2;故选（C）。
此题利用了相似多边形面积的比等于相似比平方这一性质巧妙解决相似矩形中的长与宽比的问题。
事实上借助面积形成解题思路的过程就是学生思维转换的过程。
（3）巧取特殊值以简代繁
初中数学虽然是基础数学但是这并不意味着就没有难度特别是在素质教育下从培养学生综合素质能力的角度出发初中数学越来越重视数学思维的培养因此在很多数学问题的设置上都进行了相当难度的调整使得数学问题显得较为繁杂单一的思维或者解题方式在有些题目面前会显得较为艰难。
如有些数学问题是在一定的范围内研究它的性质如果从所有的值去逐一考虑那么问题将不胜其繁甚至陷入困境。
在这种情况下避开常规解法跳出既定数学思维就成了解题的关键。
例2、分解因式：
_2+2_y-8y2+2_+14y-3。
思路分析：
本题是二元多项式从常规思路进行解题也未尝不可但是从锻炼学生思维能力的角度出发教师可以在立足常规解法的基础上引导学生进行其他方面解题思路的探索。
如从巧取特值的角度出发把其中的一个未知数设为0则可以暂时隐去这个未知数而就另一个未知数的式子来分解因式达到化二元为一元的目的。
解：
令y=0得_[sup]2[/sup]+2_-3=（_+3）（_-1）;令_=0,得:
-8y2+14y-3=（-2y+3）（4y-1）。
当把两次分解的一次项的系数1、1;-2、4。
可知14+（-2）1正好等于原式中_y项的系数。
因此综合起来有：
_2+2_y-8y2+2_+14y-3=（_-2y+3）（_+4y-1）。
其实用特殊值法也叫取零法。
这种方法在因式分解中可以发挥很大的作用帮助学生找到其他的解题思路。
一般来说其步骤是：
A、把多项式中的一个字母设为0所得的结果分解因式B、把多项中的另一个字母设为0所得的结果分解因式C、把上两步分解的结果综合起来得出原多项式的分解结果。
但要注意：
两次分解的一次因式的常数项必须相等如本题中_+3的3和-2y+3的3相等_-1的-1和4y-1的-1相等。
否则在综合这两步的结果时就无所适从了。
（4）巧妙转换过渡求解法
在解数学题时即要对已知的条件进行全面分析还要善于将题目中的隐性条件挖掘出来将数学中各知识之间的联系巧妙的运用起来用全面、全新的视角来解决问题。
例如：
已知：
AB为半圆的直径其长度为30cm点C、D是该半圆的三等分点求弦AC、AD与弧CD所围成的图形的面积。
本题需要解出的是一个不规则图形的面积可能大多数同学的思维就是将CD连结起来将其转变为一个角形和弓形两者面积之和就为该题需要解决的问题。
这时教师就要引导学生学会对半径这一已知条件加以利用帮助其将另外两条OC、OD辅助线连结起来将题目要求解的不规则图形的面积转化成求扇形OCD的面积这样该题的解题思维就能一目了然了。
综上所述初中数学解题存在很强的灵活性。
有的数学题不只一种解法而有多种解法有的数学题用常规方法解决不了要用特殊方法。
因此解数学题要注意它的灵活性和技巧性。
解题技巧在升学考试中至关重要不能忽视。
初中数学教师要注意对解题技巧的钻研并鼓励学生发散思维寻找解题技巧提高解题效率增强学习数学的能力。
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