学年新教材高中数学442对数函数的图象和性质第1课时对数函数的图象和性质教学案人教A版必修一.docx

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学年新教材高中数学442对数函数的图象和性质第1课时对数函数的图象和性质教学案人教A版必修一

第1课时　对数函数的图象和性质

（教师独具内容）

课程标准：

能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．

教学重点：

对数函数的图象及性质．

教学难点：

底数a对图象的影响及对数函数性质的应用.

【知识导学】

知识点

一　　　对数函数的图象和性质

知识点

二　　　指数函数与对数函数的关系

【新知拓展】

底数对函数图象的影响

对数函数y＝log2x，y＝log3x，y＝log

x，y＝log

x的图象如图所示，可得如下规律：

①y＝logax与y＝log

x的图象关于x轴对称；

②当a＞1时，底数越大图象越靠近x轴；当0＜a＜1时，底数越小图象越靠近x轴．

1．判一判（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）对数函数的图象一定在y轴右侧．（　　）

（2）当0

（3）函数y＝logax的定义域和值域均为（0，＋∞）．（　　）

答案　

（1）√　

（2）×　（3）×

2．做一做（请把正确的答案写在横线上）

（1）函数y＝log3x（1≤x≤9）的值域为（　　）

A．[0，＋∞）B．R

C．（－∞，2]D．[0,2]

（2）若对数函数y＝log（1－2a）x，x∈（0，＋∞）是增函数，则a的取值范围为________．

（3）已知y＝ax在R上是增函数，则y＝logax在（0，＋∞）上是________函数．（填“增”或“减”）

答案　

（1）D　

（2）（－∞，0）　（3）增

题型一对数函数的图象和性质

例1　如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d,1,0的大小关系为________．

[解析]　由题图可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a>1，b>1，函数y＝logcx，y＝logdx的底数0

过点（0,1）作平行于x轴的直线l（图略），则直线l与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b>a>1>d>c>0.

[答案]　b>a>1>d>c>0

金版点睛

根据对数函数的图象判断底数大小的方法

作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．

　已知0

答案　D

解析　因为0

例2　若函数y＝loga（x＋b）＋c（a>0，且a≠1）的图象恒过定点（3,2），则实数b，c的值分别为_______．

[解析]　∵函数的图象恒过定点（3,2），∴将（3,2）代入y＝loga（x＋b）＋c，得2＝loga（3＋b）＋C．又当a>0，且a≠1时，loga1＝0恒成立，∴c＝2，由loga（3＋b）＝0，得3＋b＝1，∴b＝－2.故填－2,2.

[答案]　－2,2

金版点睛

画对数函数图象时要注意的问题

（1）明确对数函数图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．

（2）建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a>1，还是0

（3）牢记特殊点．对数函数y＝logax（a>0，且a≠1）的图象经过点：

（1,0），（a,1）和

.

　函数y＝loga（x＋1）－2（a>0，且a≠1）的图象恒过点________．

答案　（0，－2）

解析　因为函数y＝logax（a>0，且a≠1）的图象恒过点（1,0），则令x＋1＝1，得x＝0，此时y＝loga（x＋1）－2＝－2，所以函数y＝loga（x＋1）－2（a>0，且a≠1）的图象恒过点（0，－2）.

题型二对数式的大小比较

例3　比较下列各组中两个值的大小：

（1）log31.9，log32；

（2）log23，log0.32；

（3）logaπ，loga3.14（a>0，a≠1）．

[解]　

（1）因为y＝log3x在（0，＋∞）上是增函数，所以log31.9

（2）因为log23>log21＝0，log0.32log0.32.

（3）当a>1时，函数y＝logax在（0，＋∞）上是增函数，则有logaπ>loga3.14；

当0

综上所得，当a>1时，logaπ>loga3.14；当0

金版点睛

比较对数式大小的常用方法

（1）比较同底的两个对数式的大小，常利用对数函数的单调性．

（2）比较不同底数的两个对数式的大小，常用以下两种方法：

①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性比较大小；②在同一象限内利用对数函数图象的位置关系比较大小．

（3）比较底数与真数都不同的两个对数式的大小，常借助中间量（如1,0，－1等）．

（4）比较多个对数式的大小，则应先根据每个数的结构特征，以及它们与中间量“0”和“1”的大小情况进行分组，再比较各组内的对数式的大小即可．

（5）比较含参数的两个对数式的大小，要注意对底数是否大于1进行分类讨论，有时也要注意挖掘所给对数式的隐含条件．例如：

比较loga（b2－b＋1）与loga

的大小时，要注意隐含条件：

b2－b＋1＝

2＋

≥

>

.

　比较下列各组中两个值的大小：

（1）3log45,2log23；

（2）log30.2，log40.2；

（3）log3π，logπ3；

（4）log0.20.1,0.20.1.

解　

（1）∵3log45＝log4125,2log23＝log29＝log481，且函数y＝log4x在（0，＋∞）上是增函数，又125>81，∴3log45>2log23.

（2）∵0>log0.23>log0.24，∴

<

，

即log30.2

（3）∵函数y＝log3x在（0，＋∞）上是增函数，且π>3，∴log3π>log33＝1.

同理，1＝logππ>logπ3，所以log3π>logπ3.

（4）∵函数y＝log0.2x在（0，＋∞）上是减函数，且0.1<0.2，∴log0.20.1>log0.20.2＝1.

∵函数y＝0.2x在R上是减函数，且0<0.1，

∴0.20.1<0.20＝1.

∴log0.20.1>0.20.1.

题型三与对数有关的函数的值域问题

例4　求下列函数的值域：

（1）y＝log2（x2＋4）；

（2）y＝log

（3＋2x－x2）．

[解]　

（1）y＝log2（x2＋4）的定义域是R.

因为x2＋4≥4，所以log2（x2＋4）≥log24＝2.

所以y＝log2（x2＋4）的值域为[2，＋∞）．

（2）设u＝3＋2x－x2＝－（x－1）2＋4≤4.

因为u>0，所以0

又y＝log

u在（0,4]上为减函数，

所以log

u≥log

4＝－2，

所以y＝log

（3＋2x－x2）的值域为[－2，＋∞）．

金版点睛

1求与对数函数相关的复合函数的值域最值，关键是根据单调性求解，若需换元，需考虑新元的取值范围.

2对于形如y＝logafxa>0，且a≠1的复合函数，其值域的求解步骤如下：

①分解成y＝logau，u＝fx两个函数；

②求fx的定义域；

③求u的取值范围；

④利用y＝logau的单调性求解.

　函数y＝lg（1＋32－x2）的值域为（　　）

A．（－∞，1）B．（0,1]

C．[0，＋∞）D．（1，＋∞）

答案　B

解析　∵2－x2≤2，∴0<32－x2≤9，∴1<1＋32－x2≤10，∴0

题型四与对数函数有关的函数图象问题

例5　作出函数y＝|log2（x＋1）|＋2的图象．

[解]　第一步，作y＝log2x的图象，如图①所示．

第二步，将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2（x＋1）的图象，如图②所示．

第三步，将y＝log2（x＋1）在x轴下方的图象作关于x轴的对称变换，得y＝|log2（x＋1）|的图象，如图③所示．

第四步，将y＝|log2（x＋1）|的图象沿y轴方向向上平移2个单位长度，便得到所求函数的图象，如图④所示．

金版点睛

1一般地，函数y＝fx±a±ba，b为正数的图象可由函数y＝fx的图象变换得到.

将y＝fx的图象向左或向右平移a个单位长度可得到函数y＝fx±a的图象，再向上或向下平移b个单位长度可得到函数y＝fx±a±b的图象记忆口诀：

左加右减，上加下减.

2含有绝对值的函数的图象变换是一种对称变换，一般地，y＝f|x－a|的图象是关于x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|fx|的图象是将y＝fx的图象在x轴上方的部分保留，将在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换得到的.

3y＝fx的图象与y＝f－x的图象关于y轴对称，y＝fx的图象与y＝－fx的图象关于x轴对称.

　当x∈（1,2）时，不等式（x－1）2

A．（0,1）B．（1,2）

C．（1,2]D．

答案　C

解析　设f1（x）＝（x－1）2，f2（x）＝logax，要使当x∈（1,2）时，不等式（x－1）21时，如图所示，要使当x∈（1,2）时，f1（x）＝（x－1）2的图象在f2（x）＝logax的下方，只需f1

（2）≤f2

（2），即（2－1）2≤loga2，loga2≥1，所以1

1．函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值是（　　）

A．5B．

C．

D．

答案　A

解析　∵函数y＝logax的图象逐渐上升，

∴函数y＝logax为单调增函数，∴a>1，故选A．

2．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则（　　）

A．a>c>bB．b>c>a

C．c>b>aD．c>a>b

答案　D

解析　a＝log32log22＝1，由对数函数的性质可知log52

3．函数f（x）＝log3（x2＋1）的值域为（　　）

A．（0，＋∞）B．[0，＋∞）

C．（1，＋∞）D．[1，＋∞）

答案　B

解析　因为x2＋1≥1，且f（x）在[1，＋∞）上单调递增，所以log3（x2＋1）≥log31＝0，故该函数的值域为[0，＋∞）．

4．若函数f（x）＝－5loga（x－1）＋2（a>0，且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．

答案　（2,2）

解析　令x－1＝1，得x＝2，即f

（2）＝2，故P（2,2）．

5．若函数f（x）为定义在R上的奇函数，且x∈（0，＋∞）时，f（x）＝lg（x＋1），求f（x）的表达式，并画出大致图象．

解　∵f（x）为R上的奇函数，∴f（0）＝0.

又当x∈（－∞，0）时，－x∈（0，＋∞），

∴f（－x）＝lg（1－x）．

又f（－x）＝－f（x），

∴f（x）＝－lg（1－x），

∴f（x）的解析式为

f（x）＝

f（x）的大致图象如图所示．