高考物理大一轮复习第一章第三节运动图象追及相遇问题教学讲义.docx
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高考物理大一轮复习第一章第三节运动图象追及相遇问题教学讲义
第三节 运动图象 追及、相遇问题
[学生用书P7]
一、匀变速直线运动的图象
1．直线运动的x－t图象
（1）物理意义：
反映了物体做直线运动的位移随时间变化的规律．
（2）斜率的意义：
图线上某点切线的斜率大小表示物体速度的大小，斜率正负表示物体速度的方向．
2．直线运动的v－t图象
（1）物理意义：
反映了物体做直线运动的速度随时间变化的规律．
（2）斜率的意义：
图线上某点切线的斜率大小表示物体加速度的大小，斜率正负表示物体加速度的方向．
（3）“面积”的意义
①图线与时间轴围成的面积表示相应时间内的位移大小．
②若面积在时间轴的上方，表示位移方向为正方向；若面积在时间轴的下方，表示位移方向为负方向．
1.（多选）物体甲的位移与时间图象和物体乙的速度与时间图象分别如图甲、乙所示，则这两个物体的运动情况是（ ）
A．甲在整个t＝6s时间内有来回运动，它通过的总位移为零
B．甲在整个t＝6s时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为4m
C．乙在整个t＝6s时间内有来回运动，它通过的总位移为零
D．乙在整个t＝6s时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为6m
解析：
选BC.甲图象中的直线的斜率表示速度，速度方向不变，没有来回运动，只是相对于原点的位移，一开始为负，后来为正，选项B正确．乙图象中直线的斜率表示加速度，速度先是负向变小，后正向增大，有来回运动，C项正确．
二、追及和相遇问题
1．两类追及问题
（1）若后者能追上前者，追上时，两者处于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度．
（2）若追不上前者，则当后者速度与前者相等时，两者相距最近．
2．两类相遇问题
（1）同向运动的两物体追及即相遇．
（2）相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇．
2.（单选）（2015·河南六市一联）A、B两个物体在水平面上沿同一直线运动，它们的v－t图象如图所示．在t＝0时刻，B在A的前面，两物体相距7m，B物体做匀减速运动的加速度大小为2m/s2.则A物体追上B物体所用时间是（ ）
A．5s B．6.25s
C．7sD．8s
答案：
D
考点一 运动图象的理解及应用
1．对运动图象的理解
（1）无论是x－t图象还是v－t图象都只能描述直线运动．
（2）x－t图象和v－t图象都不表示物体运动的轨迹．
（3）x－t图象和v－t图象的形状由x与t、v与t的函数关系决定．
2．应用运动图象解题“六看”
x－t图象
v－t图象
轴
横轴为时间t，纵轴为位移x
横轴为时间t，纵轴为速度v
线
倾斜直线表示匀速直线运动
倾斜直线表示匀变速直线运动
斜率
表示速度
表示加速度
面积
无实际意义
图线和时间轴围成的面积表示位移
纵截距
表示初位置
表示初速度
特殊点
拐点表示从一种运动变为另一种运动，交点表示相遇
拐点表示从一种运动变为另一种运动，交点表示速度相等
（单选）（2014·高考新课标全国卷Ⅱ）甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶．在t＝0到t＝t1的时间内，它们的v－t图象如图所示．在这段时间内（ ）
A．汽车甲的平均速度比乙的大
B．汽车乙的平均速度等于
C．甲、乙两汽车的位移相同
D．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大
[解析] 根据v－t图象下方的面积表示位移，可以看出汽车甲的位移x甲大于汽车乙的位移x乙，选项C错误；根据v＝
得，汽车甲的平均速度v甲大于汽车乙的平均速度v乙，选项A正确；汽车乙的位移x乙小于初速度为v2、末速度为v1的匀减速直线运动的位移x，即汽车乙的平均速度小于
，选项B错误；根据v－t图象的斜率反映了加速度的大小，因此汽车甲、乙的加速度大小都逐渐减小，选项D错误．
[答案] A
[易错提醒] 对t＝0时两条v－t图线不相交，不少同学误认为两物体位置不同．位置是否相同应根据题干条件判定．如“突破训练1”中明确告知t＝0时两物体经过同一位置．
1.（多选）（2013·高考四川卷）甲、乙两物体在t＝0时刻经过同一位置沿x轴运动，其v－t图象如图所示，则（ ）
A．甲、乙在t＝0到t＝1s之间沿同一方向运动
B．乙在t＝0到t＝7s之间的位移为零
C．甲在t＝0到t＝4s之间做往复运动
D．甲、乙在t＝6s时的加速度方向相同
解析：
选BD.速度图象中坐标的正负表示物体的速度方向，即物体的运动方向，故A错误；速度图象与时间轴所围面积表示物体的位移，由题图知在0～7s内乙物体速度图线与时间轴所围总面积为零，故B正确；在0～4s内甲物体的速度始终为正，即这段时间内一直沿正方向运动，故C错误；速度图线的斜率表示加速度，即斜率绝对值表示加速度的大小，斜率的正负表示加速度的方向，由题图可知D正确．
考点二 追及与相遇问题
1．分析追及问题的方法技巧可概括为“一个临界条件”、“两个等量关系”．
（1）一个临界条件：
速度相等．它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点．
（2）两个等量关系：
时间关系和位移关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口．
2．能否追上的判断方法
（1）做匀速直线运动的物体B追赶从静止开始做匀加速直线运动的物体A：
开始时，两个物体相距x0.若vA＝vB时，xA＋x0xB，则不能追上．
（2）数学判别式法：
设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ＜0，说明追不上或不能相遇．
3．注意三类追及相遇情况
（1）若被追赶的物体做匀减速运动，一定要判断是运动中被追上还是停止运动后被追上．
（2）若追赶者先做加速运动后做匀速运动，一定要判断是在加速过程中追上还是匀速过程中追上．
（3）判断是否追尾，是比较后面减速运动的物体与前面物体的速度相等的位置关系，而不是比较减速到0时的位置关系．
在水平轨道上有两列火车A和B相距x，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同．要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件．
[解析] 法一：
临界条件法
设两车运动时间t速度相等
由v0－（2a）t＝at得，t＝
①
A车位移：
xA＝v0t－
（2a）t2
B车位移：
xB＝
at2
两车不相撞的条件：
xB＋x≥xA
即：
at2＋x≥v0t－at2②
联立①②得：
v0≤
.
法二：
二次函数极值法
设两车运动了时间t，则
xA＝v0t－at2
xB＝
at2
两车间不相撞须满足
Δx＝xB＋x－xA＝
at2－v0t＋x≥0
则Δxmin＝
≥0
解得v0≤
.
[答案] v0≤
[方法总结]
（1）解题思路
→
→
→
（2）解题技巧
①紧抓“一图三式”，即：
过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式．
②审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，它们往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件．
2.
（单选）（2015·湖北黄冈模拟）近年来，我国大部分地区经常出现雾霾天气，给人们的正常生活造成了极大的影响．在一雾霾天，某人驾驶一辆小汽车以30m/s的速度行驶在高速公路上，突然发现正前方30m处有一辆大卡车以10m/s的速度同方向匀速行驶，小汽车紧急刹车，但刹车过程中刹车失灵．如图a、b分别为小汽车和大卡车的v－t图象，以下说法正确的是（ ）
A．因刹车失灵前小汽车已减速，不会追尾
B．在t＝5s时追尾
C．在t＝3s时追尾
D．由于初始距离太近，即使刹车不失灵也会追尾
解析：
选C.从图象可以看出，小汽车刹车失灵前的加速度a1＝－10m/s2，失灵后的加速度a2＝－2.5m/s2，假设能追尾，设追尾时间为t，则有小汽车刹车失灵前的位移：
x1＝
×（20＋30）×1m＝25m，小汽车刹车失灵后的位移：
x2＝20×（t－1）－
×2.5×（t－1）2，大卡车的位移：
x3＝10t，由x1＋x2＝30＋x3得t＝3s，则假设成立，所以A、B错误，C正确；如果刹车不失灵，则在t＝2s时两车速度相同，这时没有追尾，以后两车间距会越来越大，更不会追尾，D错．
[学生用书P9]
方法技巧——用图象法解决追及相遇问题
两辆完全相同的汽车，沿水平路面一前一后均以20m/s的速度前进．若前车突然以恒定的加速度刹车，在它刚停止时，后车以前车刹车时的加速度的2倍开始刹车．已知前车刹车的过程中所行驶的距离为100m，若要保证两车在上述情况下不相撞，则两车在匀速行驶时保持的最小距离是多少？
[审题点睛] 作两车运动的v－t图象时，应注意以下三点：
（1）明确两车的运动性质；
（2）前车停下来的时刻、后车开始刹车的时刻和后车停下来的时刻；
（3）两车的最小距离与图象“面积”的关系．
[解析] 设前、后两车的加速度分别为a1、a2，从刹车开始到停止所用的时间分别为t1、t2.由题意知，a2＝2a1，则t2＝
t1，根据题意作出两车从前车刹车开始的v－t图象．分别为AC和ABD.图中三角形AOC的面积为前车刹车后的位移，且x1＝100m，梯形ABDO为从前车刹车后后车的位移，由图象可知，矩形ABCO面积为三角形AOC面积的二倍，三角形BCD面积为三角形AOC面积的
，即梯形ABDO面积为三角形AOC的面积的2.5倍．由此得，后车从前车刹车开始到自己停止通过的距离为x2＝250m，因此为使两车不相撞，两车在匀速行驶时应保持的最小距离为：
Δx＝x2－x1＝150m.
[答案] 150m
[总结提升]
（1）两个做匀减速直线运动物体的追及相遇问题，过程较为复杂．如果两物体的加速度没有给出具体的数值，并且两个加速度的大小也不相同，如果用公式法，运算量比较大，且过程不够直观，若应用v－t图象进行讨论，则会使问题简化．
（2）根据物体在不同阶段的运动过程，利用图象的斜率、面积、交点等含义分别画出相应图象，以便直观地得到结论．
3.（单选）汽车A在红灯前停住，绿灯亮时启动，以0.4m/s2的加速度做匀加速运动，经过30s后以该时刻的速度做匀速直线运动．设在绿灯亮的同时，汽车B以8m/s的速度从A车旁边驶过，且一直以相同的速度做匀速直线运动，运动方向与A车相同，则从绿灯亮时开始（ ）
A．A车在加速过程中与B车相遇
B．A、B相遇时速度相同
C．相遇时A车做匀速运动
D．两车不可能相遇
解析：
选C.作出A、B两车运动的v－t图象如图所示，v－t图象所包围的“面积”表示位移，经过30s时，A车图象所围面积小于B车，所以在A车加速运动的过程中，两车并未相遇，所以选项A错误；30s后A车以12m/s的速度做匀速直线运动，随着图象所围“面积”越来越大，可以判断在30s后某时刻两车图象所围面积会相等，即两车会相遇，此时A车的速度要大于B车的速度，选项C正确，选项B、D错误．
1．（单选）（2015·黑龙江齐齐哈尔模拟）一物体运动的速度随时间变化的关系图象如图所示，根据图象可知（ ）
A．0～4s内，物体在做匀变速曲线运动
B．0～4s内，物体的速度一直在减小
C．物体的加速度方向在2.5s时改变
D．0～4s内，物体速度的变化量为－8m/s
解析：
选D.通过v－t图象可知，在0～2.5s内，物体沿正方向做加速度逐渐减小的减速直线运动，在2.5s时减为零；在2.5～4s内，物体沿负方向做加速度逐渐增大的加速直线运动；整个过程中物体的加速度始终沿负方向，故A、B、C错误．在0～4s内，速度变化量Δv＝（－3－5）m/s＝－8m/s，故D正确．
2．（多选）（2015·广东湛江一模）如图所示，一个物体的运动速度－时间图象如图所示，其中t1～t2时间段为曲线，其他时间段为直线，则有关物体的运动，下列说法正确的是（ ）
A．0＜t＜t1时间段各个时刻的加速度一定大于t1＜t＜t2时间段各个时刻的加速度
B．t2时刻物体的速度方向发生变化
C．t2时刻物体的位移开始减小
D．t2时刻物体的速度方向未发生变化
解析：
选AD.v－t图象中直线的斜率表示加速度，曲线上一点的切线的斜率表示加速度，比较斜率可知，0＜t＜t1时间段各个时刻的加速度一定大于t1＜t＜t2时间段各个时刻的加速度，A正确；v－t图象中与横轴的交点时刻速度方向发生变化，故t3时刻物体的速度方向发生变化，B错误，D正确；t3时刻物体反向运动，物体的位移开始减小，C错误．
3．（单选）（2015·安徽三校联考）如图所示为甲、乙两辆车从同一位置由静止开始沿同一方向运动的速度－时间图象．两图象在t0时刻相交，则下列判断正确的是（ ）
A．t0时刻甲、乙两质点相遇
B．两辆车再次相遇前，t0时刻两车相距最远
C．0～t0时间内，任意时刻乙质点运动的加速度大于甲质点的加速度
D．0～t0时间内，甲质点的平均速度大于乙质点的平均速度
解析：
选B.在v－t图象中，t0时刻甲、乙两质点速度相同，但不是相遇，而是相距最远，A错误，B正确；乙图线中各点的切线的斜率表示加速度，C错误；0～t0时间内，甲质点的位移小于乙质点的位移，故甲质点的平均速度小于乙质点的平均速度，D错误．
4．（单选）某同学欲估算飞机着陆时的速度，他假设飞机在平直跑道上做匀减速运动，飞机在跑道上滑行的距离为x，从着陆到停下来所用的时间为t，实际上，飞机的速度越大，所受的阻力越大，则飞机着陆时的速度应是（ ）
A．v＝
B．v＝
C．v＞
D.
＜v＜
解析：
选C.由题意知，当飞机的速度减小时，所受的阻力减小，因而它的加速度会逐渐变小，画出相应的v－t图象大致如图所示：
根据图象的意义可知，实线与坐标轴包围的面积为x，虚线（匀减速运动）下方的“面积”表示的位移为：
t.应有：
t＞x，所以v＞
，所以选项C正确．
5．（原创题）2014年5月20日至5月26日，中俄举行了“海上联合－2014”军事演习．假设在演习过程中，一艘鱼雷快艇以30m/s的速度追击前面同一直线上正在逃跑的敌舰．当两者相距L0＝2km时，鱼雷快艇以60m/s的速度发射一枚鱼雷，经过t1＝50s，艇长通过望远镜看到了鱼雷击中敌舰爆炸的火光，同时发现敌舰仍在继续逃跑，于是马上发出了第二次攻击的命令．第二枚鱼雷以同样速度发射后，又经t2＝30s，鱼雷再次击中敌舰并将其击沉．求被第一枚鱼雷击中前后，敌舰逃跑的速度v1、v2分别为多大．
解析：
设被第一枚鱼雷击中前，敌舰逃跑的速度为v1，当鱼雷快艇与敌舰相距L0＝2km时，发射第一枚鱼雷，经过t1＝50s击中敌舰，则有（v－v1）t1＝L0
代入数据解得v1＝20m/s
第一次击中敌舰时，鱼雷快艇与敌舰的距离为
L0－（30－v1）t1＝1500m
马上发射第二枚鱼雷，设第一枚鱼雷击中后敌舰的速度为v2，经t2＝30s，鱼雷再次击中敌舰，则有（v－v2）t2＝1500m
代入数据解得v2＝10m/s.
答案：
见解析
一、单项选择题
1．（2015·内蒙古包头测评）某同学在学习了动力学知识后，绘出了一个沿直线运动的物体，其加速度a、速度v、位移x随时间变化的图象如图所示，若该物体在t＝0时刻，初速度为零，则A、B、C、D四个选项中表示该物体沿单一方向运动的图象的是（ ）
解析：
选C.物体沿单一方向运动是指运动的速度方向不发生改变．A为位移－时间图象，由图象可知，物体做往复运动，运动方向发生改变，则A错误；B为速度－时间图象，由图象可判断，速度的大小和方向都发生改变，则B错误；C为加速度－时间图象，由图象可知，0～1s内物体正向匀加速运动，1～2s内物体正向匀减速运动，2s末速度减为0,2～3s内物体又正向匀加速运动，依次变化运动下去，运动方向始终不变，则C正确；D为加速度－时间图象，由图象可知，0～1s内物体正向匀加速运动，1～2s内物体正向匀减速运动，2s末速度减为0,2～3s内物体反向匀加速运动，物体的运动方向发生改变，则D错误.
2．（2014·高考大纲全国卷）一质点沿x轴做直线运动，其v－t图象如图所示．质点在t＝0时位于x＝5m处，开始沿x轴正向运动．当t＝8s时，质点在x轴上的位置为（ ）
A．x＝3m B．x＝8m
C．x＝9mD．x＝14m
解析：
选B.质点前4s内沿x轴正方向运动，其位移可由v－t图象中的“面积”数值表示，则对应位移x1＝
m＝6m．同理可得5s～8s内的位移（沿x轴负方向运动）x2＝－
m＝－3m．又知初位移x0＝5m．则当t＝8s时，质点在x轴上的位置为x＝x0＋x1＋x2＝8m，选项B正确．
3．两辆游戏赛车a、b在两条平行的直车道上行驶．t＝0时两车都在同一计时线处，此时比赛开始，它们在四次比赛中的v－t图象如图所示，则下列图象对应的比赛中，有一辆赛车能够追上另一辆的是（ ）
解析：
选C.v－t图线与横轴所围的面积表示该段时间内的位移大小，图A中a赛车的位移一直大于b赛车的位移，A错误；图B和图D中a赛车的位移一直小于b赛车的位移，B、D错误；图C中b赛车在20s时追上a赛车，C正确．
4．（2014·高考天津卷）质点做直线运动的速度－时间图象如图所示，该质点（ ）
A．在第1秒末速度方向发生了改变
B．在第2秒末加速度方向发生了改变
C．在前2秒内发生的位移为零
D．第3秒末和第5秒末的位置相同
解析：
选D.本题应从图象入手，分析质点的运动．
A．在第1秒末质点的加速度方向发生改变，速度方向未改变，A错误．
B．在第2秒末质点的速度方向发生改变，加速度方向未改变，B错误．
C．在前2秒内质点一直沿正方向运动，位移不为零，C错误．
D．从第3秒末到第5秒末质点的位移为零，故两时刻位置相同，D正确．
5．（2013·高考海南卷）一物体做直线运动，其加速度随时间变化的a－t图象如图所示．下列v－t图象中，可能正确描述此物体运动的是（ ）
解析：
选D.由题图可知，在0～
时间内a＝a0＞0，若v0≥0，物体做匀加速运动；若v0＜0，物体做匀减速运动，故B、C皆错误．由于在T～2T时间内a＝－a0，故物体做匀减速运动且图线斜率的绝对值与0～
时间内相同，故A错误D正确．
6.如图，A、B分别是甲、乙两小球从同一地点沿同一直线运动的v－t图象，根据图象可以判断（ ）
A．甲、乙两球做初速度方向相反的匀减速直线运动，加速度大小相等、方向相反
B．两球在t＝8s时相距最远
C．两球运动过程中不会相遇
D．两球在t＝2s时速率相等
解析：
选D.由题图可知，甲、乙都是先减速再反向加速，选项A错误；两球在速度相同的时刻相距最远，选项B错误；在t＝8s时，两球均回到出发点，两球相遇，选项C错误；两球在t＝2s时，速率均为20m/s，选项D正确．
二、多项选择题
7．（2013·高考新课标全国卷Ⅰ）如图，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位置—时间（x－t）图线．由图可知（ ）
A．在时刻t1，a车追上b车
B．在时刻t2，a、b两车运动方向相反
C．在t1到t2这段时间内，b车的速率先减少后增加
D．在t1到t2这段时间内，b车的速率一直比a车的大
解析：
选BC.由题图可知，t1时刻，b车追上a车，故A错误．x－t图象的斜率表示速度，由于t2时刻a、b两图线的斜率一正、一负，故两车运动方向相反，B正确；由b图线的斜率的变化可以看出t1到t2这段时间b车的速率先减小后反向增大，C正确．如图所示，在t3时刻b图线的斜率与a图线的相等，此时两车的速率相等，故D错误．
8．（2015·南昌模拟）小张和小王分别驾车沿平直公路同向行驶，在某段时间内两车的v－t图象如图所示，初始时，小张在小王前方x0处（ ）
A．若x0＝18m，两车相遇1次
B．若x0<18m，两车相遇2次
C．若x0＝36m，两车相遇1次
D．若x0＝54m，两车相遇1次
解析：
选AB.从图中可知速度相等时小王比小张多行驶的“面积”为18m，故可知若x0＝18m，二者恰好相遇，则A正确；若x0<18m，则在速度相等时小王已超过小张，速度相等后，小张的速度比小王大，故还会再相遇，故B正确；同理可知C、D错误．
9．（2015·黄冈调考）物体在x轴上做直线运动，则上下两图对应关系正确的是（图中F表示物体所受的合外力，a表示物体的加速度，x表示物体的位移，C、D图中曲线为抛物线）（ ）
解析：
选BD.根据a＝
可知，加速度与合外力成正比，故A图描述错误；由匀加速直线运动的速度公式v＝at可知a恒定，v∝t，故B正确；由位移公式x＝v0t＋
at2可知，位移时间图线为抛物线，且开口向上时为匀加速运动，开口向下时为匀减速运动，故C错误，D正确．
10．一个物体沿直线运动，从t＝0时刻开始，物体的
－t的图象如图所示，图线与纵横坐标轴的交点分别为0.5m/s和－1s，由此可知（ ）
A．物体做匀加速直线运动
B．物体做变加速直线运动
C．物体的初速度大小为0.5m/s
D．物体的初速度大小为1m/s
解析：
选AC.图线的斜率为0.5m/s2、纵截距为0.5m/s.由位移公式x＝v0t＋
at2两边除以对应运动时间t为
＝v0＋
at，可得纵截距的物理意义为物体运动的初速度，斜率的物理意义为物体加速度的一半
.所以物体做初速度为v0＝0.5m/s，加速度大小为a＝1m/s2的匀加速直线运动．
三、非选择题
11．（2015·江西八校联考）在公路的十字路口，红灯拦停了很多汽车，拦停的汽车排成笔直的一列，最前面的一辆汽车的前端刚好与路口停车线相齐，相邻两车的前端之间的距离均为l＝6.0m，若汽车启动时都以a＝2.5m/s2的加速度做匀加速运动．加速到v＝10.0m/s后做匀速运动通过路口．该路口亮绿灯时间t＝40.0s，而且有按倒计时显示的时间显示灯（无黄灯）．另外交通规则规定：
原在绿灯时通行的汽车，红灯亮起时，车头已越过停车线的汽车允许通过．请回答下列问题：
（1）若绿灯亮起瞬时，所有司机同时启动汽车，问有多少辆汽车能通过路口？
（2）第
（1）问中，不能通过路口的第一辆汽车司机，在时间显示灯刚亮出“3”时开始刹车做匀减速运动，结果车的前端与停车线相齐时刚好停下，求刹车后汽车经多长时间停下？
解析：
（1）汽车加速时间t1＝
＝4.0s
40．0s时间内汽车能行驶的位移
x＝
at
＋v（t－t1）＝380m
n＝
＝63.3
则知能有64辆汽车通过路口．
（2）记t0＝3.0s，当时间显示灯刚亮出“3”时，第65辆汽车行驶的位移
x1＝
at
＋v（t－t1－t0）＝350m
此时汽车距停车线的距离：
x2＝64l－x1＝34m
第65辆车从刹车到停下来的时间t＝
＝6.8s.
答案：
（1）64辆
（2）6.8s
☆12.甲、乙两辆车在同一直轨道上向右匀速行驶，甲
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