第五单元四边形四边形中的证明与计算解答题巩固集训试题.docx

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第五单元四边形四边形中的证明与计算解答题巩固集训试题

第五单元　四边形

四边形中的证明与计算解答题巩固集训

（建议答题时间：

50分钟）

1．（2017河池）

（1）如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点M，求证AE＝BF；

（2）如图②，将

（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB＝2，BC＝3，AE⊥BF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论．

第1题图

2．（2017呼和浩特改编）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC，点O是对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC交AD于E，交BC于F.

（1）求证：

DE＝BF；

（2）若∠B＝30°，四边形AFCE的面积为6，点M在AB上且BM∶AM＝1∶2，连接MF，求△BMF的面积．

第2题图

3．（2017台州模拟）已知：

如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF＝CD，连接BF交AD于点E.

（1）求证：

AE＝ED；

（2）若AB＝BC，求∠CAF的度数．

第3题图

4．已知：

如图，四边形ABCD是正方形，∠PAQ＝45°，将∠PAQ绕着正方形的顶点A旋转，使它与正方形ABCD的两个外角∠EBC和∠FDC的平分线分别交于点M和N，连接MN.

（1）求证：

△ABM∽△NDA；

（2）连接BD，当∠BAM的度数为多少时，四边形BMND为矩形，并加以证明．

第4题图

5．（2018原创）

（1）如图①，平行四边形ABCD中，AD＝5，S▱ABCD＝15.过点A作AE⊥BC于E，将三角形ABE沿射线BC方向平移，使得点B与点C重合，得到△DCE′.猜想四边形AEE′D的形状，并说明理由；

（2）如图②，若点F在EE′上，且EF＝4，将△AEF沿EE′方向平移，得到△DE′F′.

①求证：

四边形AFF′D是菱形；

②求AF′的长．

第5题图

6．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA，BC的平行线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE.

（1）求证：

四边形ADCE是菱形；

（2）若AC＝2DE，求sin∠CDB的值．

第6题图

7．（2017遵义）边长为2

的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（点P与A、C不重合）．连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP，QP与BC交于点E，QP延长线与AD（或AD延长线）交于点F.

（1）连接CQ，证明：

CQ＝AP；

（2）设AP＝x，CE＝y，试写出y关于x的函数关系式，并求当x为何值时，CE＝

BC；

（3）猜想PF与EQ的数量关系，并证明你的结论．

第7题图

答案

1．

（1）证明：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，

∴∠ABM＋∠CBF＝90°，

∵AE⊥BF，

∴∠BAM＋∠ABM＝90°，

∴∠BAE＝∠CBF，

∴△ABE≌△BCF（ASA），

∴AE＝BF；

（2）3AE＝2BF.

证明：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝∠C＝90°，

∴∠ABM＋∠CBF＝90°，

∵AE⊥BF，

∴∠ABM＋∠BAM＝90°，

∴∠BAE＝∠CBF，

∴△BAE∽△CBF，

∴

＝

＝

，

即3AE＝2BF.

2．

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，

∵O是AC的中点，

∴AO＝CO，

∴△AOE≌△COF（AAS），

∴AE＝CF，

∴DE＝BF；

（2）解：

∵AB＝AC，∠B＝30°，

∴∠ACB＝∠B＝30°，∠BAC＝120°，

∵EF⊥AC，AO＝CO，

∴AF＝FC，

∴∠FAC＝∠FCA＝30°，

∴∠BAF＝90°，

∴BF＝2AF＝2FC，

∴S△ABF＝2S△AFC，

由

（1）知AE＝CF，又AE∥CF，

∴四边形AFCE是平行四边形，

∴S▱AFCE＝2S△AFC＝6，

∴S△ABF＝6，

∵BM∶AM＝1∶2，

∴S△BMF＝

S△ABF＝2.

3．

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD，

∵点F在CD的延长线上，

∴AB∥DF，

∵DF＝CD，∴AB＝DF，

∴四边形ABDF是平行四边形，

∴AE＝DE；

（2）解：

∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，

∴四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∴∠COD＝90°，

∵四边形ABDF是平行四边形，

∴AF∥BD，

∴∠CAF＝∠COD＝90°.

4．

（1）证明：

如解图①，∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DAB＝∠ADC＝∠ABC＝90°，AB＝AD，

∵∠PAQ＝45°，

∴∠1＋∠2＝45°，

∵ND平分∠FDC，MB平分∠EBC，

∴∠EBM＝∠FDN＝45°，

∴∠ABM＝∠ADN＝135°，

∴∠2＋∠3＝45°，

∴∠1＝∠3，

∴△ABM∽△NDA；

（2）当∠BAM＝22.5°时，四边形BMND为矩形．

理由：

如解图②，连接BD，

∵∠1＝22.5°，∠EBM＝45°，

∴∠4＝22.5°，

∴∠1＝∠4，∴AB＝BM，

同理AD＝DN，

∵AB＝AD，∴BM＝DN，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABD＝∠ADB＝45°，

∴∠BDN＝∠DBM＝90°，

∴∠BDN＋∠DBM＝180°，

∴BM∥DN，

∴四边形BMND为矩形．

图①

图②

第4题解图

5．

（1）解：

矩形；

理由：

∵△ABE平移得到△DCE′，∴△ABE≌△DCE′，∴BE＝CE′，∴BE＋EC＝EC＋CE′，即BC＝EE′.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝EE′，即ADEE′，∴四边形AEE′D是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠EAD＝∠AEC＝90°，∴四边形AEE′D是矩形；

（2）①证明：

∵AF=DF′，

∴四边形AFF′D是平行四边形，

由

（1）易得，AE＝3，又EF＝4，∠E＝90°，∴AF＝5，

又∵AD＝5，

∴AD＝AF，

∴四边形AFF′D是菱形；

②解：

如解图，连接AF′、DF，

在Rt△AEF′中，AE＝3，EF′＝EE′＋E′F′＝AD＋EF＝9，

∴AF′＝

＝3

.

第5题解图

6．

（1）证明：

∵DE∥BC，CE∥AB，

∴四边形DBCE是平行四边形，

∴CE＝BD，

又∵CD是边AB上的中线，

∴BD＝AD，

∴CE＝DA，

又∵CE∥DA，

∴四边形ADCE是平行四边形，

∵∠BCA＝90°，CD是斜边AB上的中线，

∴AD＝CD，

∴四边形ADCE是菱形；

（2）解：

如解图，过点C做CF⊥AB于点F，

由

（1）可知，BC＝DE，

设BC＝x，则AC＝2x，

在Rt△ABC中，AB＝

＝

x，

∵

AB·CF＝

AC·BC，

∴CF＝

＝

x，

∵CD＝

AB＝

x，

∴sin∠CDB＝

＝

.

第6题解图

7．

（1）证明：

由题意知BP＝BQ，∠PBQ＝90°，

在正方形ABCD中，AB＝CB，∠ABC＝90°，

∴∠ABC＝∠PBQ，

∴∠ABC－∠PBC＝∠PBQ－∠PBC，即∠ABP＝∠CBQ，

在△ABP和△CBQ中，

，

∴△ABP≌△CBQ（SAS），

∴CQ＝AP；

（2）解：

在正方形ABCD中，AC为对角线，

∴∠BAP＝∠PCE＝45°，

由旋转可知△PBQ为等腰直角三角形，

∴∠BPQ＝∠PQB＝45°，

在△ABP中，∠BPC＝∠BAP＋∠ABP＝45°＋∠ABP，

又∠BPC＝∠BPQ＋∠CPE＝45°＋∠CPE，

∴45°＋∠ABP＝45°＋∠CPE，即∠ABP＝∠CPE，

又∠BAP＝∠PCE，

∴△BAP∽△PCE，

∴

＝

，

在等腰Rt△ABC中，AB＝2

，

∴AC＝4，

又AP＝x，CE＝y，

∴CP＝4－x，

∴

＝

，即y＝－

x2＋

x，

当CE＝

BC时，即CE＝y＝

×2

＝

，

∴

＝－

x2＋

x，解得x1＝1，x2＝3；

（3）猜想：

PF＝EQ，

证明：

①当点F在线段AD上时，如解图①

在CE上取一点H，使HQ＝EQ，则∠QEH＝∠QHE，

在正方形ABCD中，∵AD∥BC，

∴∠DFE＝∠QEH，

∴∠DFE＝∠QHE，

∴180°－∠DFE＝180°－∠QHE，即∠AFP＝∠CHQ，

由

（1）知△ABP≌△CBQ，AP＝CQ，∠BAP＝∠BCQ＝45°，

∴∠FAP＝∠BAP＝∠BCQ＝45°，

在△AFP和△CHQ中，

，

∴△AFP≌△CHQ（AAS），

∴FP＝HQ，

又HQ＝EQ，

∴FP＝EQ；

②当点F在线段AD延长线上时，如解图②

在BE上取一点H，使HQ＝EQ，

同理可证△AFP≌△CHQ（AAS），得FP＝EQ.

第7题解图