初等数论完整资料整合.docx
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初等数论完整资料整合
第一章
考点
P八、、
1、会求最大公因数与最小公倍数
解法：
最大公因数用辗转相除法
最小公倍数为两个数的乘积除以两者的最大公约数，所以也是要先求出
两者的最大公约数
2、判别一个数是为质数还是合数
判别法：
用小于"X勺所有质数除此数，看能否被整除
3、证明整除（最好用同余证）
所以73|8n+2+92n+1
法二8n+2+92n+1=64X8n+9X81n^64X8n+9x8n
^73x8n^0（mod73）
所以73|8n+2+92n+1
已知17|2x+3y,证明17|9x+5y
解：
因为9x+5y=17（x+y）-4（2x+3y）且17|2x+3y
所以17|9x+5y
设k为正奇数，证：
1+2+3+….+9|1k+2k+3k+^+9k
kkk
证：
记S=1+2+3k+…+9
则2S=（1k+9k）+（2k+8k）+•••+（9k+1k）
=（1+9）qi（qi€Z）
所以10|2S
又因为2S=（0k+9k）+（1k+8k）+-+（9k+0k）
=（0+9）q2（q2€Z）
所以9|2S
又因为（9,10）=1
所以90|2S即45|S
从而1+2+3+….+9|1k+2k+3k+-+9k
4、证明某种类型的质数有无穷多个
例：
证明4n+1形的质数的个数为无穷。
（最后一节课讲的）
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第三章同余
考点：
1、同余的性质；（应用在同余解题中）P48
2、简化剩余系和欧拉函数；（求简化剩余系的个数）P58
3、欧拉定理和费马定理对循环小数的应用；（利用欧拉定理解题；判断是纯循环还是混循环，若是混循环，从第几位开始）P61
具体分析：
一、同余的性质
1、a三a（modm）
2、若a三b（modm）,贝Ub三a（modm）
3、若a三b（modm）b三c（modm）贝Ua三c（modm）
4、i.若ai三bi（modm）a2三b2（modm）贝Sai+a2三bi+b2（modm）
ii.a+b三c（modm）贝Ua三c-b（modm）
5、ai=bi（modm）a2三b2（modm）贝Ua侶2三bib?
（modm）
特别的，若a三b（modm）贝Sak三bk（modm）
6、若a三b（modm）且a=aidb=bid（d,m）=1贝Sai三bi（modm）
7、i.若a三b（modm）k>0贝Uak三bk（modmk
ii.若a三b（modm）d为a,b及m的任一正公因数，
贝卩a/d三b/d（modm/d）
8、若a三b（modm）i=1、2…k则a三b（modmm…m）例：
一个小于4000的四位数，被3、4、5、7、9除皆余2，求这个数。
解：
设这个数为x,贝由题意得：
x三2（mod3）x三2（mod4）x三2（mod5）
x三2（mod7）x三2（mod9）
则x三2（mod3、4、5、7、9）
即x三2（mod1260）
•••x=1260t+2
•/x<4000
•x=i260t+2（t=i、2、3）
x=i262、2526、3782
9、若a=b（modm）,d|m,d>0,贝Ua三b（modd）
10、若a三b（modm）,则（a,m）=（b,m）.从而d能整除m和a、b中的一个，必能整除a、b中的另一个。
二、简化剩余系和欧拉函数
满足简化剩余系的条件：
1、©（m）个
2、两两对模m不同余
3、每一个模与模m互质
其中利用欧拉函数计算简化剩余系的个数：
1、当m为质数时：
©（m）=m-1
2、m为合数时：
©（m）等于0、1、2…m-1中与m互质的数的个数。
三、欧拉定理与费马定理对循环小数的应用
欧拉定理：
设m>1,mEZ,（a,m）=1,则有a"（m）三1（modm）
例1、
同类型题见教材P64习题第1题。
例2、3729的个位数是几？
解：
第一种方法：
运用同余的性质
3土9三729三（72）14*7三（-1）14*7三7（mod10）
或三（-3）29三-329三-（32）14*3三-（-1）14*3三-3三7（mod
10）
第二种方法：
运用欧拉定理
•••（37,10）=1
...37°（10）三374三1（mod10）且29=4q+1q=7
二3729三（344）q*37三1q*37三37三7（mod10）
费马定理：
若p为素数（质数），则才三a（modm）
1、有理数a/b（02、无限小数：
①纯循环：
（从小数点后第一位开始循环）分母不含2
和5中任何一个因子，即分母与10互质。
②混循环：
分母除了2、5外还有其他因子，从2、5
中指数大的那个之后开始循环。
例：
67/60
60=22*51*q（q€Z）
则从第二位之后开始循环，即从第三位之后开始循环
第四章同余式
考点：
一次同余式P74
孙子定理P76
高次同余式P80
质数模的同余式P84
同余式的概念：
若用f（x）表示多项式anx"+an-ix"1+…+a。
其中a是整数，设m是一个正整数
f（x）三O（modm）,表示模m的同余式P74
一次同余式：
ax三b（modm）,a不同余m
注：
有解的充分与必要条件是（a,m）|b即ax-my=b有解,且有解时d=（a,m）个解
一次同余式解的过程：
ax/d三bx/d（modm/d）
ax/d-my/d=b/d即x=x0+mt/d,y=y0+at/d
二原同余式的解为x三xo+mk/d（modr）
例题14x三10（mod6
1°首先判断有无解d=（4,6）=2,2|10,有解
2°化简为2x三5（mod3,2x-3y=5
3°找一组特解x0=1,y0=-1即x=1+3t,t=0,+-1...
二原方程的解为x三1+3t（mod6,t=0,1（取t=0,1…d-1）即x三
1,4（mod6
例题2（完整格式）3x三2（mod4
•••（3,4）=1,1|2•••原方程有一个解
将3x三2（mod4转化为3x-4y=2，解得x=2+4t,t=0,+-1
二原方程的解为X2（mod4
课后习题：
第一题P75答案自行XX
孙子定理
x三b（modrr）mi（i=1,...k）两两互质
x三b2（modmm=（mi,...mJ,m=mM
x=bk（modm
Mi=m...mk,Mi'M」1（modm）
例题x三2（mod3）
x三3（mod4
x三4（mod5
解:
m
bi
m
M
M'
答数
3
2
3x4x5=60
20
2
3
?
2?
?
?
?
?
?
1
4
3
15
3
5
4
12
3
二原同余式组的解为x三59（mod60
课后习题：
第一题P79
高次同余式
定理1若m,m2,...,mk是k个两两互质的正整数，m=nm…mk,则同余式
f（x）三0（modr）
（1）
与同余式组
f（x）三0（modin）,i=1,2...k
（2）
有相同的解，且若用T表示f（x）三0（modn）（i=1...k）的解数，则
（1）的解数T=TT2…Tk
例1x2+3x+2三0（mod12解：
原方程等价于x2+3x+2三0（mod3
（1）
2+3x+2三0（mod4
（2）
解
（1）得x三1,2（mod3
（2）得x三2,3（mod4
故同余式f（x）有2X2=4个解
x三bi（mod3,bi=1,2
x三b2（mod4,b2=2,3
由孙子定理
m
bi
m
M
M'
答数
1
3
2
3x4x5=60
20
2
x=
4b1+9b2（mod12）
2
4
3
15
3
二方程的解为x三4bi+9b（mod12
将其代入，从而2,7,10,11（modi?
定理2f（xj+ptf'（xj=0（mod|2）（由泰勒公式推导）
例2x4+7x+4三0（mod27
解：
先解x4+7x+4三0（mod3
将x三1（mod3即x=1+3t1,t1=0,-+1
将x=1+3t1代入x4+7x+4三0（mod9
得：
f
（1）+3t1f'
（1）三0（mod9即:
12+3t1.11三0（mod94+11怡三0（mod3,得t1=1+3t2,t2=0,+-1...
又将11=1+3t2代入x=1+3t1,得4+9t2,t2=0,+-1…
又将x=4+9t2代入f'（x）三0（mod27得
f（4）+f'（4）9t2三0（mod27即288+263.9t2三0（mod27
32+263t2三0（mod3即2t2-1三0（mod3,解得：
12=2（mod3即
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