版高中数学第一章三角函数导学案新人教A版必修4180.docx

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版高中数学第一章三角函数导学案新人教A版必修4180

第一章三角函数

　例说弧度制中的扇形问题

与扇形有关的问题是弧度制中的难点，我们可以应用弧长公式＝α和扇形面积公式＝α解决一些实际问题，这类问题既充分体现了弧度制在运算上的优越性，又能帮助我们加深对弧度制概念的理解.下面通过几例帮助同学们分析、归纳弧度制下的扇形问题.

例　已知扇形的圆心为°，所在圆的半径为，求扇形的弧长及扇形中该弧所在的弓形面积.

解　设弧长为，弓形面积为弓，则α＝°＝，＝，所以＝α＝，所以弓＝扇－△＝－α＝.

评注　本题利用扇形面积求弓形面积，解题时要根据具体问题进行分割，再求解.

例　扇形的半径为，其圆心角α（＜α≤π）为多大时，扇形内切圆面积最大，其最大值是多少？

解　如图，设内切圆半径为.

则（－）＝，所以＝，

则内切圆的面积＝π＝π＝π.

因为＝，且＜≤，

所以当＝，即α＝π时，＝.

评注　解决扇形问题要注意三角形一些性质的应用，建立相等关系，进而求解.

例　已知扇形的周长为，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？

最大面积是多少？

解　设扇形的圆心角为α，半径为，面积为，弧长为，则有＋＝，所以＝－，从而＝＝（－）·＝－＋＝－＋，所以当半径＝时，扇形面积最大，为.这时α＝＝.

评注　本题是利用扇形面积公式建立二次函数，进而求二次函数的最值.此题是扇形周长一定时，求扇形的面积的最大值，利用此法也可以求当扇形的面积一定其周长的最小值问题.

针对练习：

.扇形的周长一定时，它的圆心角θ取何值才能使扇形面积最大？

最大值是多少？

.在扇形中，∠＝°，弧的长为，求此扇形内切圆的面积.

.已知扇形的周长是，该扇形的中心角是弧度，求该扇形的面积.

答案　.θ＝时，扇形面积最大，最大值为.

＝π＝.

.

　任意角三角函数问题错解辨析

任意角三角函数是三角函数的基础，在学习这部分内容时，有的同学经常因为概念不清、考虑不周、观察代替推理等原因而错解题目，下面就解题中容易出现的错误进行分类讲解，供同学们参考.

一、概念不清

例　已知角α的终边在直线＝上，求α＋α的值.

错解　在角α的终边所在直线＝上取一点（，），

则＝＝.

所以α＋α＝＋＝＋＝.

剖析　错解未弄清直线与角的终边的区别，误认为在角α的终边所在直线上取一点与角α的终边上任取一点都可以确定角α的三角函数值，由任意角三角函数的定义知这是错误的.

正解　在直线＝的第一象限部分取一点（，），则＝＝.

所以α＋α＝＋＝＋＝.

在直线＝的第三象限部分取一点（－，－），

则＝＝.

所以α＋α＝＋＝＋＝－.

综上，α＋α的值为或－.

二、观察代替推理

例　当α∈（，）时，求证：

α<α.

错解　如图，设角α的始边与轴非负半轴重合，角α的终边与单位圆的交点为，过作垂直于轴，垂足为，过（，）作单位圆的切线与角α的终边交于点，则＝α.记的长为，则＝α·＝α，＝α.观察可得＜＜，

所以α＜α＜α.

剖析　证明过程中，通过观察得到的结论，缺乏理论根据，这是不允许的.

正解　设角α的始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆的交点为，过作垂直于轴，垂足为，过（，）作单位圆的切线与角α的终边交于点，则＝α.记的长为，则＝α·＝α，＝α.

因为△＜扇形＜△，

所以·＜·＜·.

所以＜＜，即α＜α＜α.

三、估算能力差

例　若θ∈，则θ＋θ的一个可能的值是（　　）

π

错解　因为θ∈，

所以＜θ＜，＜θ＜.

因此选.

剖析　由于方法不当，估算能力差，没有正确估算出θ＋θ的范围，造成错误。

正解　如图所示，设（，）是角θ终边上任意一点，且＝，则θ＋θ＝＋＝.

因为θ∈，

所以＞，＞，且＋＞.

故θ＋θ＞.

而四个选项中只有符合要求.

故选.

以上列举了三种常见的错误，并给出正确解法.同学们在解题时要认真审题，缜密思考，避免犯类似的错误.

　同角三角函数关系巧应用

同角三角函数的用途主要体现在三角函数的求值和恒等变形中各函数间的相互转化，下面结合常见的应用类型举例分析，体会其转化作用，展现同角三角函数关系巧应用.

一、知一求二型

例　已知α＝，≤α≤π，则α＝.

解析　由α＝，

且α＋α＝得α＝±，

因为≤α≤π，可得α＝－，

所以α＝＝－.

答案　－

点评　已知某角的弦函数值求其他三角函数值时，先利用平方关系求另一弦函数值，再求切函数值，需要注意的是利用平方关系时，若没有角度的限制，要注意分类讨论.

二、妙用“”

例证明：

＝.

证明　因为＋＝，

所以＝（＋），＝（＋），

所以

＝

＝

＝＝.

即原命题得证.

点评　本题在证明过程中，充分利用了三角函数的平方关系，对“”进行了巧妙的代换，使问题迎刃而解.

三、齐次式型求值

例已知α＝，求值：

（）＝；

（）α－α＝.

解析　（）因为α≠，分子分母同除以α，

得＝＝＝－.

（）α－α＝，

因为α≠，分子分母同除以α，

得＝＝＝.

答案　（）－　（）

点评　这是一组在已知α＝的条件下，求关于α、α的齐次式值的问题.解这类问题需注意以下几点：

（）一定是关于α、α的齐次式（或能化为齐次式）的三角函数式；（）因为α≠，所以分子、分母可同时除以α（∈*）.这样可以将所求式化为关于α的表达式，整体代入α＝的值求解.

　单调不“单调”，应用很“奇妙”

三角函数的单调性是三角函数的重要性质之一，也是高考常考的内容.利用其可以方便地进行比较值的大小、求单调区间、求解最值和解不等式等.下面举例归纳该性质在解题中的具体应用，希望能对同学们的学习有所帮助.

一、信心体验——比较大小

例比较，，－的大小.

解　因为＝（－）＝，－＝

，又<<<<，而＝在[，π]上是减函数，所以>>，

即－>>.

点评　比较三角函数值的大小关键是利用三角函数某区间的单调性，一般按下列步骤进行：

①将不同名的三角函数化为同名三角函数；②用诱导公式将角化到同一单调区间，并比较角的大小；③由单调性得出各值的大小关系.

二、重拳出击——求解最值

例　已知（）＝（－），∈.求函数（）在区间[，]上的最小值和最大值.

解　因为当π－≤－≤π＋（∈），

即π－≤≤π＋（∈）时，

函数（）＝（－）单调递增；

当π＋≤－≤π＋（∈），

即π＋≤≤π＋（∈）时，函数单调递减，

所以（）＝（－）在区间[，]上为增函数，在区间[，]上为减函数.

又（）＝，（）＝，（）＝－.

故函数（）在区间[，]上的最大值为，最小值为－.

点评　求三角函数的最值是一类重要的三角问题，也是高考中经常出现的考点，解题过程中要注意将ω＋φ看作一个整体.利用三角函数的单调性求最值是三角函数基础知识的综合运用.

三、触类旁通——解不等式

例若≤α<π，α>α，求α的取值范围.

解　当α＝时，不等式成立，当α＝时，不等式不成立.当α∈[，）∪（，π]时，α>，则原不等式可化为α>，根据正切函数的单调性得，<α<；同理可得，当α∈（，）时，<α<.综上，α的取值范围是（，）.

点评　利用三角函数的单调性解不等式，首先将三角函数化成某角的同一三角函数，然后利用单调性求解.

　善用数学思想——巧解题

一、数形结合思想

例在（，π）内，使>成立的的取值范围是.

解析　在同一坐标系中画出＝，＝，∈（，π）的图象如图.

由图知，∈（，）.

答案　（，）

点评　求解三角函数的方程、不等式时，通常利用函数的图象使问题变得更简单.

二、分类讨论思想

例证明：

＝（－）α，∈.

证明　当为偶数时，令＝，∈，

左边＝

＝＝＝α.

右边＝（－）α＝α，

∴左边＝右边.

当为奇数时，令＝－，∈，

左边＝

＝

＝

＝＝－α.

右边＝（－）－α＝－α，

∴左边＝右边.

综上所述，＝（－）α，∈成立.

点评　解答此类题目的关键在于正确应用诱导公式化简，如果被化简式子中的角是π±α（∈）的形式，往往对参数进行讨论.常见的一些关于参数的结论有（π＋α）＝（－）α（∈）；（π＋α）＝（－）α（∈）；（π－α）＝（－）＋α（∈）；（π－α）＝（－）α（∈）等.

三、函数与方程的思想

例函数（）＝－（≤≤）的最大值是.

解析　（）＝－＝＋－

＝（＋）－，

设＝，因为≤≤，所以由余弦函数的单调性可知，≤≤，即≤≤，又函数（）＝（＋）－在[，]上单调递增，故（）＝（）＝，所以（）的最大值为.

答案　

点评　遇平方关系，可想到构造二次函数，再利用二次函数求解最大值.

四、转化与化归思想

例比较（－）与（－）的大小.

解　（－）＝－，（－）＝－.

因为<<<，且＝在（，）内单调递增，所以<.所以－>－，

即（－）>（－）.

点评　三角函数值比较大小问题一般将其转化到某一三角函数的一个单调区间内，然后利用三角函数的单调性比较大小.另外诱导公式的使用也充分体现了将未知化为已知的转化与化归思想.

　三角函数的性质总盘点

三角函数的性质是高考考查的重点和热点内容之一，应用“巧而活”.要能够灵活地运用性质，必须在脑海中能及时地浮现出三角函数的图象.下面通过典型例题对三角函数的性质进行盘点，请同学们用心体会.

一、定义域

例函数＝的定义域为.

解析　由题意得≥，

所以π－≤≤π＋，∈.

即函数的定义域是[π－，π＋]，∈.

答案　[π－，π＋]，∈

点评　解本题的关键是先列出保证函数式有意义的三角不等式，然后利用三角函数的图象或者单位圆中三角函数线求解.

二、值域与最值

例函数＝（＋），∈（，]的值域是.

解析　因为<≤，所以<＋≤π，

由（）＝的图象如图可知：

π≤（＋）<，即－≤<.

故函数的值域是[－，）.

答案　[－，）

点评　解本题的关键是从的范围入手，先求得ω＋φ的范围，再结合余弦函数的图象对应得出（ω＋φ）的范围，从而可得函数的值域或者最值.

三、单调性

例已知函数（）＝（－），求：

（）函数（）的单调递减区间；

（）函数（）在[－π，]上的单调递减区间.

解　由（）＝（－）可化为（）＝－（－），所以原函数的递减区间即为函数＝（－）的递增区间.

（）令π－≤－≤π＋，∈，

解得π－≤≤π＋，∈.

所以（）＝（－）的递减区间为

[π－，π＋]，∈.

（）在减区间[π－，π＋]，∈中，

令＝－，，可以得到当∈[－π，]时，（）＝（－）的递减区间为[－π，－]，[－，].

点评　解本题的关键是先把函数化为标准形式＝（ω＋φ），ω>，然后把ω＋φ看做一个整体，根据＝的单调性列出不等式，求得递减区间的通解；如果要求某一个区间上的单调区间，再对通解中的进行取值，便可求得函数在这个区间上的单调区间.

四、周期性与对称性

例已知函数（）＝（ω－）（ω>）的最小正周期为π，则函数（）的图象的一条对称轴方程是（　　）

＝＝＝＝

解析　由＝π＝得ω＝，所以（）＝（－），

由－＝＋π，∈，

解得（）的对称轴方程为＝＋，∈，

所以＝为（）的一条对称轴，故选.

答案　

点评　解本题的关键是先由周期公式求得ω的值，再解决对称轴问题，求解对称轴有两种方法：

一种是直接求得函数的对称轴；另一种是根据对称轴的特征——对应的函数值为函数的最值解决.同样地，求解对称中心也有两种方法.

五、奇偶性

例若函数（）＝（φ∈[，π））是偶函数，则φ等于（　　）

解析　因为函数是偶函数，所以函数关于＝对称；

由＝＋π可得函数的对称轴方程是＝＋π－φ，∈，令＋π－φ＝，解得φ＝＋π，∈，

又φ∈[，π），故φ＝.

答案　

点评　解本题的关键是把奇偶性转化为对称性解决：

偶函数⇔函数图象关于轴对称；奇函数⇔函数图象关于原点对称.

　数形结合百般好，形象直观烦琐少

——构建正弦、余弦函数图象解题

正弦、余弦函数的图象是本章的重点，也是高考的一个热点，它不仅能直观反映三角函数的性质，而且它还有着广泛的应用，若能根据问题的题设特点灵活构造图象，往往能直观、准确、快速解题.

一、确定函数的值域

例　定义运算※为※＝例如，※＝，则函数（）＝※的值域为（　　）

.[－，]

解析　根据题设中的新定义，得（）＝作出函数（）

在一个周期内的图象，如图可知函数（）的值域为.

答案　

点评　有关三角函数的值域的确定，常常作出函数的图象，借助于图象直观、准确求解.

二、确定零点个数

例　函数（）＝－在区间[，π]上的零点个数为.

解析　在同一直角坐标系内，画出＝及＝的图象，由图象可观察出交点个数为.

答案　

点评　有关三角函数的交点个数的确定，常常作出函数的图象，借助于图象直观、准确求解.

三、确定参数的值

例　已知（）＝（ω＋）（ω>），＝，且（）在区间上有最小值，无最大值，则ω＝.

解析　∵（）＝（ω>）且＝，

又（）在区间内只有最小值、无最大值，

画出函数大致图象，如图所示，

∴（）在＝处取得最小值.

∴ω＋＝π－（∈）.

∴ω＝－（∈）.

∵ω>，∴当＝时，ω＝－＝；

当＝时，ω＝－＝，此时在区间内已存在最大值.故ω＝.

答案　

点评　本题考查对＝（ω＋φ）的图象及性质的理解与应用，求解本题应注意两点：

一是（）在处取得最小值；二是在区间内只有最小值而无最大值，求解时作出其草图可以帮助解题.

四、判断函数单调性

例　设函数（）＝（∈），则（）（　　）

.在区间上是增函数

.在区间上是增函数

.在区间上是减函数

.在区间上是减函数

解析　作出函数＝的图象如图所示.

由图象可知正确.

答案　

点评　形如（）＝（ω＋φ）＋（≠，ω≠）的函数性质，可作出其图象，利用数形结合思想求解.

五、确定参数范围

例　当≤≤时，不等式≥恒成立，则实数的取值范围是.

解析　作出函数＝，＝的函数图象，如图所示.

当≤时，显然成立；

当<≤时，由图象可知：

≥在∈[，]上成立.

综上所述，≤.

答案　（－∞，]

点评　数形结合时，函数图象要根据题目需要作得精确可信，必要时应结合计算判断.本题讨论＝与＝的图象关系时，不要忘记≤的情况.

六、研究方程的实根

例　已知方程（＋）－＝，∈[－，]有两解，求的取值范围.

规范解答　构造函数＝（＋）及＝＋，

用五点作图法作出函数＝（＋）在[－，]上的图象如图所示.

显然要使＝＋与图象有两个交点，

只须－＜＋＜或＋＝，

解得－＜＜－或＝，即的取值范围为{－＜＜－或＝}.