新课标人教版小学五年级下册数学各单元知识点自己整理要用.docx
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新课标人教版小学五年级下册数学各单元知识点自己整理要用
人教版五年级数学下册知识点
第一单元观察物体
1、由几个大小相同的小正方体摆成的立体图形，从同一个方向观察，看到的图形可能是相同的，也可能是不同的。
根据一个方向看到的图形摆立体图形，有多种摆法。
2、从同一个方向观察物体最多只能看到三个面。
几何视图一般是根据三个方向观察到的形状进行绘制。
3、根据两个方向观察到的形状能确定所用小正方体的个数。
根据三个方向观察到的形状摆小正方体结果只有一种。
第二单元因数和倍数
1、如果a÷b表示两个数相除（a、b为整数，商是整数没有余数，b不能为0）则说a能被b整除，b能整除a。
也就是说a是b的倍数，b是a的因数。
如：
12÷6=2，则说12能被6整除，6能整除12，即2和6是12的因数。
12是2的倍数，也是6的倍数。
因数和倍数是相互的，不能单独存在。
不能说12是倍数，6是因数应该说12是6的倍数等。
谁是谁的因数，谁是谁的倍数。
（一般大数是小数的倍数，小数是大数的因数）
2、注意：
为了方便，在研究因数和倍数时候，我们所说的数指的是整数（一般不包括0）
3、找因数的方法：
①乘法②除法；找倍数：
逐次乘以自然数。
4、一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
一个数的最大因数和最小倍数是相等的都是它本身。
1是所有非0自然数的因数。
也是任一自然数（0除外）的最小因数。
一个数的因数至少有1个，这个数是1。
除1以外的任何整数都至少有两个因数（0除外）。
一个数的因数都小于等于他本身，一个数的倍数都大于等于他本身。
5、因数＜或=它本身、倍数＞或=它本身、最大的因数=最小的倍数=它本身。
一个数的倍数一定比它的因数大这种说法是错误的。
一个数越大它的因数个数就越多，一个数越小它的因数个数就越少。
这种说法是错误的。
6、2的倍数特征：
个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。
自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），也就是个位上是0、2、4、6、8的数。
不是2的倍数的数叫奇数。
也就是个位上是1、3、5、7、9的数。
7、5的倍数特征：
个位上是0或5的数，是5的倍数。
8、3的倍数的特征：
一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
个位上是3、6、9点数都是3的倍数是错误的说法。
9、2和5的倍数特征：
个位上是0的数，既是2的倍数，也是5的倍数。
（就是10的倍数）。
10、2和3的倍数特征：
个位上是0、2、4、6、8，而且各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数既是2的倍数，也是3的倍数。
（就是6的倍数）。
11、3和5的倍数特征：
个位上是0或者5，而且各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数既是5的倍数，也是3的倍数。
（就是15的倍数）。
12、2、3、5的倍数特征：
个位上是0，而且各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数同时是2、3、5的倍数。
（就是30的倍数）能同时被2、3、5整除的最小两位数是30，最大两位数是90，最小三位数是120.同时满足2.3.5的倍数，实际是求2×3×5=30的倍数。
一个数各位数上的和能被9整除，这个数就是9的倍数。
能被3整除的数不一定能被9整除；能被9整除的数一定能被3整除。
如果两个数是同一个数的倍数，那么这两个数的和与差也是这个数的倍数。
即：
a和b都是c的倍数，那么a－b和a＋b一定也是c的倍数。
如果a是c的倍数，那么a乘以一个数（0除外）后的积也是c的倍数
13、自然数按能否被2整除分成奇数和偶数。
所以我们说自然数不是奇数就是偶数。
最小的偶数是0，最小的奇数是1，没有最大的奇数和偶数，最小的自然数是0。
如果用n表示自然数，那么2n表示偶数，2n+1表示奇数。
相邻的两个自然数相差1；相邻两个奇数相差2；相邻两个偶数相差2。
14、奇数+、-偶数=奇数奇数+、-奇数=偶数偶数+、-偶数=偶数奇数×奇数=奇数质数×质数=合数
偶数×偶数=偶数、偶数×奇数=偶数、无论多少个偶数相加都是偶数、偶数个奇数相加是偶数、奇数个奇数相加是奇数。
任意一个整数乘以2都变成偶数。
15、一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数（至少3个因数）。
质数只有两个因数；而合数至少有三个因数。
1既不是质数，也不是合数。
自然数除了1外，不是质数就是合数。
两个质数相乘的积一定是合数。
16、最小的质数是2，最小的合数是4。
2是偶数中唯一的质数称为偶质数；也是质数中唯一的偶数。
17、100以内找质数、合数的技巧：
看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。
18、100以内的质数：
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
（51、81、57、87的因数除了1和本身，还有因数3；91的因数除了1和本身还有因数7和13。
所以它们是合数。
）（记忆规律：
2、5、8相同；3、6相同；4、7相似，7见7要让步；最后97）
19、自然数按因数的个数分可分为1、质数和合数。
除2以外所有的质数都是奇数。
除2以外任意两个质数的和都是偶数
自然数分类
按是否是2的倍数来分：
分为奇数和偶数两类；
按因数的个数来分：
分为质数、合数和1三类。
20、每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这就叫分解质因数。
用短除法分解质因数。
两个质数相乘一定得合数。
这个合数至少有3个因数。
如：
72=2×2×2×3×3。
90=2×3×3×5。
分解质因数应该从最小的质数开始试积，直到每个因数都是质数时为止。
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。
其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。
把9分解质因数可以写成9=3×3×1是错误的，因为1不是质数。
所有奇数都是质数，所有偶数都是合数是错误的；一个合数的因数个数比一个质数的因数个数多是对的。
第三单元长方体和正方体
一、长方体、正方体的认识：
长方体和正方体都是立体图形。
正方体也叫立方体。
1、长方体是由6个长方形（特殊情况只有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。
在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱平行且长度相等。
2、长方体有6个面。
有12条棱，相对（也可以说是平行）的4条棱的长度相等。
长方体有8个顶点。
长方体最多有8条棱的长度相等，最多有4个面完全相同。
3、相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。
（长、宽、高都各有4条，分别平行并且相等）
4、长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4
长方体的长=棱长总和÷4-宽-高；长方体的宽=棱长总和÷4-长-高；长方体的高=棱长总和÷4-长-宽
5、
（1）正方体的6个面是完全相同的正方形。
（2）正方体的12条棱长度都相等。
（3）有8个顶点。
6、正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体，或者叫立方体。
所以正方体是特殊的长方体。
相同点
不同点
面
棱
长方体
都有6个面，
12条棱，
8个顶点。
6个面都是长方形。
（有可能有两个相对的面是正方形）。
相对的面完全相同。
相对的棱的平行且长度都相等
正方体
6个面都是正方形。
面积都相等。
12条棱都相等。
7、正方体的棱长总和=棱长×12（如果告诉一条铁丝长60厘米做成一个长方体或正方体，60就是长方体或正方体的棱长总和）
8、用棱长1cm的小正方体摆成稍大一些的正方体,至少需要8个小正方体。
二、长方体和正方体的表面积
1、表面积：
长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积
2、长方体的表面积：
①长方体有“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”6个面。
上下面每个面的面积＝长×宽；前后面每个面的面积＝长×高；左右面每个面的面积＝宽×高；
②长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 用字母表示：
S=（ab＋ah＋bh）×2
③特殊长方体的表面积（有两个面是正方形）正方形的两个面完全相同，其余四个面完全相同。
3、正方体的表面积
正方体的表面积=棱长×棱长×6 用字母表示：
S=6a2
4、表面积的常用单位有：
平方米、平方分米、平方厘米
相邻两个面积单位之间的进率是1001m2=100dm2 1dm2=100cm2
5、生活实际
油箱、罐头盒等都是6个面；游泳池、鱼缸等都只有5个面；水管、烟囱等都只有4个面。
粉刷教室只有4个面。
6、长方体或正方体每截断一次会增加两个截面，这两个截面和它相对的面的面积相等，所以这时的两个物体的表面积大于原来物体的表面积。
长方体或正方体底面的面积叫做底面积（也叫占地面积）也就是正方体一个面的面积。
7、长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，表面积会扩大倍数的平方倍。
（如长、宽、高各扩大2倍，表面积就会扩大到原来的4倍；长、宽、高各扩大3倍，表面积就会扩大到原来的9倍）。
如果长方体的长、宽、高都扩大（或缩小）a倍，它的表面积就扩大（或缩小）（a2）倍，它的体积就扩大（或缩小）（a3）倍。
三、长方体和正方体的体积
1、体积：
物体所占空间的大小叫做物体的体积。
（就是看物体含有多少个体积单位）
2、常用的体积单位有：
立方米（m3）、立方分米（dm3 ）、立方厘米（cm3）
①棱长是1cm的正方体，体积是1cm3。
如手指头的大小。
②棱长是1dm的正方体，体积是1dm3。
如黑板擦和粉笔盒的大小。
③棱长是1m的正方体，体积是1m3。
相邻两个体积单位之间的进率是1000 1m3=1000dm3 1dm3=1000cm3
3、长方体的体积
长方体的体积=长×宽×高 用字母表示：
V=abh
4、正方体的体积
正方体的体积=棱长×棱长×棱长用字母表示：
V=a3（a·a·a也可以写作“a³”，读作“a的立方”，表示3个a相乘）
5、底面积：
长方体或正方体底面的面积叫做底面积。
（也叫占地面积）。
6、长方体和正方体的体积统一公式：
长方体或正方体的体积=底面积×高；用字母表示：
V=S底h（横截面积相当于底面积，长相当于高）。
÷进率
7、一个长方体的长、宽、高（或正方体的棱长）分别扩大a倍，它的表面积就扩大a2,长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍就是扩大a3倍。
（如长、宽、高各扩大2倍，体积就会扩大到原来的8倍）。
（例如：
一个长方体长、宽、高分别扩大3倍，它的表面积就扩大3×3=9倍，体积扩大3×3×3=27倍）
×进率
8、低级单位高级单位
1m=10dm1dm=10cm1m=100cm
1m²=100dm²1dm²=100cm²1m²=10000cm²
1m³=1000dm³1dm³=1000cm³1m³=1000000cm³
1L=1000ml1L=1dm³1mL=1cm³
1t=1000kg1kg=1000g长度、面积、体积不可以相互比较，所以不可能相等。
9、一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，但体积不一定相等，正方体体积大于长方体体积。
10、箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。
11、固体一般就用体积单位，计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫升，也可以写成L和ml。
13、把长方体或正方体截成若干个小长方体（或正方体）后，表面积增加了，体积不变。
用8个小正方体拼成的大正方体拿走一块小正方体，体积减少，表面积不变。
14、容积的计算：
长方体和正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同，但要从里面量长、宽、高。
（所以对于同一个物体体积大于它的容积）。
15、排水法：
（计算不规则物体的体积）形状不规则的物体可以用排水法求体积，形状规则的物体可以用公式直接求体积。
排水法的公式：
1容器的底面积×上升那部分水的高度。
计算方法
②放入物体后的体积—原来水的体积
被浸没物体的体积等于上升那部分水的体积
（1）装满水：
排出水的体积=不规则物体的体积。
（2）放入物体后的总体积—放入物体前水的体积=不规则物体的体积。
V物体=V现在－V原来（3）用装水的长方体（或正方体）的长×宽×物体放入后水面上升的高度=不规则物体的体积。
V物体=S底×（h现在-h原来）（4）因为放入物体前后底面积不会变。
所以不规则物体的体积=长方体底面积×水面上升的高度（放入物体后水面高度—放入前水的高度）。
V物体=S底×h升高。
16、物体的体积不会随着物体的位置和形状的变化而变化。
把一个正方体铁球熔铸成长方体，体积不变。
17.正方体的展开图
正方体的平面展开图一共有11种。
18、包装盒能否装下玻璃器皿，不仅要看体积，还要看物体的长、宽、高能否装下。
19、对于一个n×n×n的正方体，其涂色情况如下：
三面都涂色：
8个（只有位于正方体8个顶点的地方才三面都涂色）
两面涂色：
（n—2）×12个（两面涂色的位于正方体两个面的交界处，但又不在顶点处）
一面涂色：
（n—2）×（n—2）×6个（一面涂色的小正方体位于正方体每个面的中心部位）
各面都没有涂色=总块数-三面涂色的块数-两面涂色的块数-一面涂色的块数
第四单元分数的意义和性质
1、在进行测量、分物或计算时，往往不能正好得到整数的结果，这里常用分数来表示。
一个物体、一个计量单位或者一些物体都可以看作一个整体，也就是单位“1”。
单位“1”与自然数1不同。
单位“1”点量也较标准量，用来跟标准量比较的量叫做比较量。
单位“1”的找法：
“是”、“占”、“相当于”、“比”字后面的量，“的”字前面的量。
如果含有分数不带单位的那句话中一个关键字也没有，可以加进去再找。
2、把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数叫做分数。
（如：
表示把单位“1”平均分成8份，表示其中7份的数；还可以表示成：
把7平均分成8份，表示其中1份的数）（把一根8米长的铁丝平均分成5分，每段
米，每段占整根铁丝的
）。
1米的
和3米的
一样大。
3分子：
表示有这样的几份。
分数线表示平均分
4分母：
表示把单位“1”平均分成的份数。
写分数时先写分数线，再写分母，最后写分子。
分数在带单位时表示数量，最后带什么单位就来分谁，分成几份就除以几；不带单位表示份数与数量无关。
3、把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份的数叫做分数单位。
（如：
1
的分数单位是
，它有16个这样的分数单位。
带分数有几个分数单位要先把带分数化成假分数，再看分子是多少）分数单位由分母决定，分母是几，分数单位就是几分之一。
分母同分数单位就相同；分母不同分数单位就不同。
最大的分数单位是
，没有最小的分数单位，分母越小分数单位越来越大。
4、分数与除法的关系：
（被除数相当于分数的分子；除数相当于分数的分母;除号相当于分数的分数线）
被除数÷除数==
=分子÷分母（除数不能为0，分母也不能够为0）。
a÷b=
5、求一个数是另一个数的几分之几用（除法）计算。
用“是”“占”前面的量除以他们后面的量。
也就是“一个数÷另一个数=几倍（或几分之几）”求鹅的只数是鸭的几分之几用（鹅的只数）÷（鸭的只数）=鹅的只数是鸭的几分之几。
6、分子比分母小的分数叫做真分数。
真分数小于1。
分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数。
假分数大于1或等于1。
带分数由整数（不包括0）和真分数组成的分数。
带分数大于1。
带分数是假分数的另外一种表现形式，所以分数只分为真分数和假分数。
真分数＜1≤假分数。
带分数的读法：
先读整数部分，再读分数部分，中间加个“又”字。
7、在
中（a为非0自然数），当a<9时，它是真分数；当a≥9时，它是假分数；当a是9的倍数时，它能化成整数。
8、假分数化成整数或带分数的方法是：
当分子一定是分母的整数倍时，假分数可以化成整数：
用分子除以分母。
如：
的分子是14，分母是7，14是7的倍数，所以
=14÷7=2。
当分子不是分母的整数倍时，能化成带分数，用分子除以分母，商是带分数的整数部分，余数是分数部分的分子，分母不变。
如：
=14÷3=4……2，分子除以分母商是4作带分数的整数部分，余数是2作分数部分的分子，分母是原来的分母3，所以
=14÷3=
。
带分数化成假分数的方法：
用带分数的整数部分乘以分母加分子作假分数的分子，分母不变。
任何整数都可以看成分母是1的分数。
当分子和分母相等时，分数值是1，它是最小的假分数，没有最大的假分数。
最大的真分数分子比分母小1。
整数都比分数大是错误的。
和
中间有无数个分数。
分子不变，分母扩大或缩小到原来的几倍（或几分之几），那么这个分数反而缩小或扩大到原来的几分之几（或几倍）；分母不变，分子扩大到原数的几倍（或几分之几），那么这个分数也扩大几倍（或缩小到原数的几分之几）；分子和分母同时扩大，分子扩大的倍数是分母的几倍，这个分数就扩大到原来的几倍。
9、分数的基本性质：
分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
这叫做分数的基本性质。
利用分数的基本性质可以把不同分母的分数化成同分母分数；也可以把一个分数化成指定分母的分数。
通分和约分的根据是分数的基本性质。
10、几个数公有的因数叫做它们的公因数。
其中最大的叫做它们的最大公因数。
几个数公有的倍数，叫做它们的公倍数。
其中最小的公倍数，叫做它们的最小公倍数。
公因数的个数是有限的；公倍数的个数是无限的。
两个数的公因数是最大公因数的因数；最大公因数是公因数的倍数。
两个数的公倍数是它们的最小公倍数的倍数；最小公倍数是公倍数的因数；最小公倍数的倍数也是这两个数的公倍数。
任意两个数的最大公因数和最小公倍数的乘积也是这两个数的乘积。
任意两个数的最小公倍数一定大于这两个数和最大公因数一定大于这两个数是错误的。
1是所有非0自然数的公因数。
11、求最大公因数和最小公倍数的方法：
（1）列举法：
就是把几个数的所有因数都写出来，通过对比、观察、找出最大公因数。
12的因数有：
1、2、3、4、6、12。
18的因数有：
1、2、3、6、9、18。
12和18的公因数有：
1、2、3、6。
12和18的最大公因数是6、最小公倍数36
（2）分解质因数法：
就是将几个数各自分解成质因数的形式，把公有的质因数相乘得到的就是最大公因数。
如：
12=2×2×318=2×3×3
12和18的最大公因数是2×3=6。
最小公倍数2×2×3×3=36（除了相同的还要乘以不同的数得到的就是最小公倍数）
（3）短除法：
除到两数互质时最大公因数是短除号前面的数相乘；最小公倍数除了短除号前面的还要乘以短除号下面的数。
三个数的最大公因数除到有互质的数就行，最小公倍数要除到任意两个数都互质为止。
如：
12和18
1218
12和18的最大公因数是2×3=6，最小公倍数是2×3×2×3=36
12、公因数只有1的两个数，叫做互质数。
相邻的两个自然数数一定互质。
两个连续奇数一定互质。
1和任何自然数一定互质，任何两个质数一定互质，但互质的两个数不一定是质数。
两个数分别除以他们的最大公因数，所得商互质。
两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
13、最大公因数和最小公倍数的特殊求法：
当两个数成倍数关系时，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；当两个数互质时，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
如：
32是8的倍数，它们的最大公因数是8，最小公倍数是32。
（A÷B=6或A=6B说明A和B成倍数关系则最大公因数是较小数B，最小公倍数是较大数A）
14、分数的分子和分母只有公因数1，像这样的分数叫做最简分数。
15、把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。
约分和通分的根据是分数的基本性质。
15、分数大小比较：
分母相同的分数看分子，分子大的就大，分子小的就小；分子相同的分数看分母，分母小的反而大，分母大的反而小。
（1）约分可以一次性约分（用最大公因数分别去除分子、分母）也可以逐步约分（用公因数分别去除分子、分母）
（2）、分数比较大小的一般方法：
同分子比较；通分变成同分母比较；化成小数比较
16、把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
通分时要用分母的公倍数（最好是最小公倍数）做它们的公分母比较合适。
17、小数化成分数：
看小数的位数，小数表示是十分之几，百分之几，千分之几……的数，所以可以直接写成分母是10、100、1000……的分数，再约分化成最简分数。
18、分数化成小数的方法：
（1）当分母是10、100、1000﹒﹒﹒的分数可以直接写成一位小数、两位小数、三位小数等；分母是10、100、1000……的因数时，可以化成分母是10、100、1000……的分数，再写成小数。
（2）利用分数与除法的关系，用分子除以分母，除不尽时，要根据需要按“四舍五入”法保留几位小数。
一般保留两位小数。
常用分数和小数：
=0.5
=0.25
=0.75
=0.2
=0.4
=0.6
=0.8
=0.125
=0.375
=0.625
=0.875
=0.05
=0.04。
19、一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含其他的质因数，就能够化成有限小数。
如果分母中除了2和5以外，还含其他的质因数就不能够化成有限小数。
第五单元图形的运动（三）
1、轴对称图形：
把一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形可以完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的对称轴。
2、轴对称的基本性质：
对应点到对称轴的距离相等，对应点之间的连线垂直于对称轴，对称轴两边的图形大小形状完全相同。
3、等腰三角形有1条对称轴，等边三角形有3条对称轴，长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，等腰梯形有1条对称轴，圆有无数条对称轴。
任意梯形和平行四边形不是轴对称图形。
4、旋转要明确旋转中心，旋转角度和旋转方向。
5、图形变换的基本方式是平移、对称和旋转。
旋转的三要素：
旋转中心（固定点），旋转角度和旋转方向。
旋转只改变物体的位置，不改变物体的形状、大小。
旋转点O点位置不变。
6、钟表上共有12小格，每一格为300。
8、画旋转图的方法：
①找到旋转中心、旋转方向、旋转角度，旋转点不能动。
②找到连接旋转点的两条线段，画出相应的对应点（朝哪边转三角尺就压住对应线段直角顶点对着旋转中心）。
③连接各点标出符号。
旋转的性质：
图形绕某一点旋转一定的度数，图形中的对应点，对应线段都旋转相应的度数，对应点到旋转点的距离相等。
第六单元、分数的加法和减法
1、同分母分数的加减法：
同分母分数相加、减，分母不变，只把分子相加减作分子。
2、异分母分数的加减法：
异分母分数相加、减，先通分，再按照同分母分数加减法的方法进行计算。
异分母分数不能直接相加减是因为他们的分数单位不同。
结果要约成最简分数。
3、分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的顺序相同。
在一个算式中，如果含有括号，应先算括号里面的，再算括号外面的；如果只含有同一级运算，应从左到右依次计算。
整数加法的交换律、结合律对于分数加法同样适用。
4、四则混合运算的意义
加法：
把两个数合并成一个数的运算
减法：
已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算
乘法：
求几个相同加数的和的简便运算，小数乘整数的意义与整数乘法意义相同
一个数乘纯小数就是求这个数的十分之几，百分之几……分数乘整数的意义与整数乘法意义相同
一个数乘分数就是求这个数的几分之几
除法：
已知两个因数的积与其中一个
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