线段BE1的中点,N1是线段AD1的中点,M1N仁卜工OM1是否成立?
若是,请证明;若不是,说明理由.
E]1图2
4.(2016广州中考)如图,点C为AABD的外接圆上的一动点(点C不在"厂上,且不
与点B,D重合),/ACB=/ABD=45°
(1)求证:
BD是该外接圆的直径;
(2)连结CD,求证:
「汨AC=BC+CD;
(3)若AABC关于直线AB的对称图形为△ABM,连接DM,试探究DM2,AM2,BM2三者之间满足的等量关系,并证明你的结论.
参考答案
一、选择题
1、C
考点:
相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;正方形的性质.
分析:
由四边形ABCD和四边形CEFG是正方形,根据正方形的性质,即可得BC=DC,
CG=CE,/BCD=/ECG=90。
,则可根据SAS证得①ABCG也JDCE;然后根据全等三
角形的对应角相等,求得/CDE+/DGH=90。
,则可得②BH丄DE.由△DGF与△DCE相似即可判定③错误,由△GOD与AFOE相似即可求得④.
解答:
证明:
①•••四边形ABCD和四边形CEFG是正方形,
•••BC=DC,CG=CE,/BCD=ZECG=90°,
•••ZBCG=/DCE,
在ABCG和ADCE中,
rBODC
"炎角儀丽上DCE,
tCG=CE
•••ZBCGBQCE(SAS),
2•「△BCG也△CE,「./CBG=ZCDE,又/CBG+/BGC=90°,
•••ZCDE+ZDGH=90°,.・.0HG=9O°,-BH丄DE;
3「•四边形GCEF是正方形,
•••GF//CE,
=丄,
4「DC//EF,「./GDO=ZOEF,「/GOD=/FOE,a^)GD^ZOFE,
Sadco
=
^AEFO
(a-b)2?
SAEFO=b2?
Szdgo.故应选
2
点评:
此题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定和性质,直角三角形的判定和性质.
二、填空题
2、①②③
考点:
三角形全等、三角形内角和、菱形
分析:
首先证明厶ADEB/GDE,再求出/AEF、/AFE、/GEF、/GFE的度数,推出AE=EG=FG=AF,由此可以——判断.
解答:
证明:
•••四边形ABCD是正方形,
•••AD=DC=BC=AB,/DAB=ZADC=/DCB=/ABC=90°,ADB=/BDC=ZCAD=/CAB=45°,
•••ZDHG是由△DBC旋转得到,
•••DG=DC=AD,/DGE=ZDCB=ZDAE=90°,
在RT^ADE和RTMDE中,
「DE二DE
〔DA二DG,
•••AED^/GED,故②正确,•/ADE=/EDG=22.5°,AE=EG,
•ZAED=/AFE=67.5°,-AE=AF,同理EG=GF,「.AE=EG=GF=FA,
•四边形AEGF是菱形,故①正确,
VZDFG=ZGFC+ZDFC=ZBAC+ZDAC+ZADF=112.5°,故③正确.
••AE=FG=EG=BG,BE=;\AE,^BE>AE,「・AEV二,「.CB+FGV1.5,故④错误
故答案为①②③.
点评:
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、等腰直角三
角形的性质等知识,解题的关键是通过计算发现角相等,学会这种证明角相等的方法,
属于中考常考题型.
三、解答题
3、
考点:
(1)三点共线
(2)中位线、全等三角形(手拉手性质)(3)同
(2)
分析:
(1)根据直径所对的圆周角为直角得到/BCA=90°,DCE是直角,即可得到/BCA+
ZDCE=90°90°=180°;
(2)连接BD,AE,ON,延长BD交AE于F,先证明RtABCD织t△ACE,得到BD=AE,
ZEBD=/CAE,则ZCAE+ZADF=ZCBD+ZBDC=90°,即BD丄AE,再利用三角形
丄丄
的中位线的性质得到ON=%d,OM=2ae,ON//BD,AE//OM,于是有ON=OM,
ON丄OM,即AONM为等腰直角三角形,即可得到结论;
(3)证明的方法和
(2)一样.
解答:
(1)证明:
TAB是直径,
•••ZBCA=90°,
而等腰直角三角形DCE中/DCE是直角,
•••ZBCA+/DCE=90°90°180°,・B、C、E三点共线;
(2)连接BD,AE,ON,延长BD交AE于F,如图1,
••CB=CA,CD=CE,「.RtABCD织t△KCE,「.BD=AE,/EBD=/CAE,
•••ZCAE+ZADF=ZCBD+/BDC=90。
,即BF丄AE,
又TM是线段BE的中点,N是线段AD的中点,而O为AB的中点,
11
•ON二一BD,OM二一AE,ON//BD,AE//OM;22
•••ON=OM,ON丄OM,即AONM为等腰直角三角形,
•••MN=:
:
OM;
(3)成立.
理由如下:
女口图2,连接BD1,AE1,ON1,vzACB-/ACD1=ZD1CE1-/ACD1,
•••/BCD仁ZACE1,又•/CB=CA,CD1=CE1,a^BCD1也ACE1,
与
(2)同理可证BD1丄AE1,△ON1M1为等腰直角三角形,
从而有M1N仁k:
OM1.
團2圍】
点评:
本题考查主要三角形全等的判定和中位线的性质,熟练掌握手拉手模型,作为本题切入点,可以非常顺利的解决本题。
4、
考点:
圆的相关概念、等腰三角形、截长补短(旋转模型性质)、勾股定理分析:
(1)要证明BD是该外接圆的直径,只需要证明/BAD是直角即可,又因为/
ABD=45。
,所以需要证明/ADB=45
(2)在CD延长线上截取DE=BC,连接EA,只需要证明△EAF是等腰直角三角形即可得出结论;
(3)
过点M作MF丄MB于点M,过点A作AF丄MA于点A,MF与AF交于点F,证明△AMF是等腰三角形后,可得出AM=AF,MF=:
AM,然后再证明△ABF^ZADM可得出BF=DM,最后根据勾股定理即可得出DM2,AM2,BM2
(2)在CD的延长线上截取DE=BC,
VZADE+/ADC=180
ZABC+ZADC=180°,•ZABC=/ADE,
在ZABC与ZADE中,
Zabc=Zade
•••/ABC也ZDE(SAS),•••ZBAC=/DAE,
BC=EE
•••ZBAC+/CAD=ZDAE+/CAD,/./BAD=/CAE=90°,
・"=」L:
•••/\CD=ZABD=45°,•△)AE是等腰直角三角形,
•:
AC=CE,•:
AC=CD+DE=CD+BC;
(3)过点M作MF丄MB于点M,过点A作AF丄MA于点A,MF与AF交于点F,连接BF,
/•zFMA=45
•••念MF是等腰直角三角形,
••AM=AF,MF="AM,
•••JMAF+ZMAB=ZBAD+ZMAB,
•••zFAB=/MAD,
在AABF与AADM中,
点评:
本题考查圆的综合问题,涉及圆周角定理,等腰三角形的性质,全等三角形的性质与
判定,勾股定理等知识,熟练掌握旋转模型的特征和性质,作为本题切入点,构造出等腰直角三角形,方向明确,减小了本题的难度。
【模拟演练】一、选择题
1、(2014番禺华附一模)如图2,在矩形ABCD中,E为AD的中点,EF丄EC交边AB
于F,连FC,下列结论不止确.的是(D).
2、(2017十六中一模)如图,边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.有
直角ZMPN,使直角顶点P与点O重合,直角边PM、PN分别与OA、OB重合,然后逆
时针旋转/MPN,旋转角为B(0°<0<90°),PM、PN分别交AB、BC于E、F两点,连
接EF交OB于点G,则下列结论中正确的是(C).
二、填空题
3、(2016黄埔区一模)如图6,已知ABC和AED均为等边三角形,点D在BC边上,
DE与AB相交于点F,如果AC12,CD4,那么bF的长度为.
三、解答题
4、(2016荔湾区一模)如图,正三角形ABC内接于OO,P是弧BC上的一点(P不与点
B、C重合),且PBPC,PA交BC于E,点F是PC延长线上的点,CFPB,AB■13,
(1)求证ABP也ACF;
2
(2)求证ACPAAE;
(3)求PB和PC的长.
5、(2016海珠区一模)已知正方形ABCD和正方形CEFG,连接AF交BC于O点,点P是AF的中点,过点P作PH丄DG于H,CD=2,CG=1。
(1)如图1,点D、C、G在同一直线上,点E在BC边上,求PH得长;
(2)把正方形CEFG绕着点C逆时针旋转(0°1如图2,当点E落在AF上时,求CO的长;'
2如图3,当DG=-^】7时,求ph的长。
23
6、(2017二中一模)已知抛物线C1:
yaxbx—(a0)经过点A(1,0)和B(-3,2
0).
(1)求抛物线C1的解析式,并写出其顶点C的坐标;
(2)如图1,把抛物线C1沿着直线AC方向平移到某处时得到抛物线C2,此时点A,C分别平移到点D,E处.设点F在抛物线C1上且在x轴的上方,若△DEF是以EF为底的等腰直角三角形,求点F的坐标;
(3)如图2,在
(2)的条件下,设点M是线段BC上一动点,EN丄EM交直线BF于点N,点P为线段MN的中点,当点M从点B向点C运动时:
①tanZENM的值如何变化?
请说
明理由;②点M到达点C时,直接写出点P经过的路线长.
参考答案
1、D
考点:
相似三角形、三角形内角和(一线三直角)
分析:
利用等角的余角相等得到/AFE=/DEC,则根据有两组角对应相等的两个三角形相似
得到Rt△KEFsRtQCE,由相似的性质得CD:
AE=DE:
AF,而CD=AB,DE=AE,贝UAB:
AE=AE:
AF,即AE2=AB?
AF,禾U用AFAE;再禾U用RtAAEFsRtQCE得到EF:
EC=AF:
DE,把DE=AE代入得到EF:
EC=AF:
AE,根据比例
性质得EF:
AF=EC:
AE,加上/A=/FEC=90。
,则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似得到△AEFs/ECF;由ZEFC^90°可判断ZAEFs/BFC相似不成立,而当/AFE=ZBFC时,可判断厶AEFs/BCF.
解答:
•••/AEF+ZDEC=90°,'/ZAEF+ZAFE=90°,/-ZAFE=/DEC,
•••Rt△AEFSRt△DCE;「.CD:
AE=DE:
AF,:
E为矩形ABCD的边AD的中点,
•••CD=AB,DE=AE,「.AB:
AE=AE:
AF,即AE2=AB?
AF,
而AF?
AB,「.AB?
AE;
•••Rt△AEFSRt△DCE,AEF:
EC=AF:
DE,而DE=AE,
•••EF:
EC=AF:
AE,即EF:
AF=EC:
AE,vZA=ZFEC=90°,•ZAEFs^CF;
•••/EFC須0°.'./AEFs/BFC相似不成立,
但当/AFE=ZBFC时,A\EF^ZBCF.故选D.
点评:
此题为非常明显的考查相似三角形知识点,根据一线三等角模型特征快速得出答案。
2、C
考点:
正方形的性质,全等三角形的判定与性质,旋转的性质,相似三角形的判定与性质
分析:
①由四边形ABCD是正方形,直角/MPN,易证得厶BOE也zCOF(ASA),则可证得
结论;
则可证得结论;
3首先设AE=x,贝UBE=CF=1-x,BF=x,继而表示出△BEF与ACOF的面积之和,然后利用二次函数的最值问题,求得答案;
4易证得厶OEGs^)BE,然后由相似三角形的对应边成比例,证得OG?
OB=OE2,
再利用OB与BD的关系,OE与EF的关系,即可证得结论.
解答:
①•••四边形ABCD是正方形,
•••OB=OC,ZOBE=/OCF=45°,/BOC=90°,/-ZBOF+ZCOF=90°,
•••左OF=90°,•••/BOF+ZCOE=90°,•/BOE=ZCOF,
在ABOE和ACOF中,/BOE=ZCOF,OB=OC
ZOBE=ZOCF,.・.A3OE也AOF(ASA),「.OE=OF,BE=CF,
•••EF=22OE做正确;
====1
边边OEBF=S△BOE+S△BOE=SABOE+S△COF=S^BOC=一S正方形ABCD
4
•S四边边OEBF:
S正方形ABCD=1:
4;故正确;
O作OH丄BC,VBC=1,.・.OH=12BC=12
设AE=x,贝UBE=CF=1-x,BF=x,
11111129
■^Sabef+Szcof=—BE?
BF+—CF?
OH=—x(1-x)+—(1-x)X=—(x-14)+—
22222232
'•°a=-12<0,
当x=14时,Sabef+SacOF最大;
即在旋转过程中,当ABEF与ACOF的面积之和最大时,AE=14;故错误;
4•/EOG=/BOE,ZOEG=ZOBE=45°
•A)EGsA)be,
OE:
OB=OG:
OE,
OG?
OB=
=OE2,OB=1BD,OE=22EF,
2
OG?
BD:
=ef2,
••在伯ef中,ef2=be2+bf2,
•EF2=AE2+CF2,
OG?
BD=AE2+CF2.故正确。
C.
点评:
从图形上看是一个比较复杂的题,但是实际题目难度并不是很大,利用对角互补旋转
模型结论再结合个够定理就能解决此题。
3
考点:
相似三角形的判定与性质,等边三角形的性质
分析:
先利用等边三角形的性质得到/C=ZADE=/B=60°,AB=BC=AC=12,再利用三角形外角性质证明/BDF=/CAD,则可判断△DBF^△KCD,然后利用相似比计算BF的长.
解答:
•••/C=/ADE=ZB=60°,AB=BC=AC=12,
•/ZADB=ZDAC+ZC,
而/ADB=ZADE+ZBDF,
•••ZBDF=/CAD,
•••/DBFs^cd,
•••BF:
CD=BD:
AC,
8
即BF:
4=8:
12,解得BF=.
3
8
故答案为-.
3
点评:
此题利用对角互补旋转模型推导过程得到对应结论,再利用相似解决第
(2)(3)问
4、
考点:
圆周角定理,等边三角形的性质,等边三角形的判定,圆内接四边形的任何一个外角
都等于它的内对角
分析:
对于
(1),先根据等边三角形的性质得到AB=AC,再利用圆的内接四边形的性质得
/ACF=ZABP,根据“SAS”即可得证;
对于
(2),先根据等边三角形的性质得到/ABC=JCB=60。
,再根据圆周角定理得
/APC=/ABB=60°,加上/CAE=ZPAC,于是可判断△ACEs公pc,然后利用相似比即可得到结论;
133
2
对于(3),先利用AC=PA?
AE计算出aE=4,则PE=AP-AE=4,再证△APF
为等边三角形,得到PF=PA=4,则有PC+PB=4,接着证明△ABPs^CEP,得到
2
PBPC=PEAP=3,然后根据根与系数的关系,可把PB和PC看作方程X-4x+3=0的两实数解,再解此方程即可得到PB和PC的长.
解答:
(1)证明:
•••正三角形ABC内接于OO,
•••AB=AC.
•••四边形ABPC为圆的内接四边形,
•ZACF=ZABP.
在△ABP和△ACF中,
AB=AC
/ABP=/ACF
BP=CF
•ZABP^zACF.
(2)证明:
•••正三角形ABC内接于O0,
•ZABC=ZACE=60°,
•ZAPC=ZABC=60°,
•ZACE=ZAPC
vzCAE=ZPAC
•ZACEs^\PC
•••AE:
AC=AC:
AP
2
•AC=PA?
AE.
2
(3)TAC=PA?
AE,AB=AC,
13
•AE=AB?
AP=,
4
133
•PE=AP-AE=4——二,
44
•/ZABP^zACF,
•ZAPB=/F=60°
而/APC=60°,
•ZAPF为等边三角形,
/•PF=PA=4,
•••PC+CF=PC+PB=4.
VZBAP=/PCE,/APB=ZAPC,
•ZABPs©EP,
•••PB:
PE=AP:
PC,
3
「•PBPC=PEAP=X4=3.
4
VPB+PC=4,
2
•••PB和PC可看作方程x4x30的两实数解,解此方程得为1,X23.
•/PBvPC,
•••PB=1,PC=3.
点评:
此题为标准手拉手模型,所以除了相似三角形得出答案,还能利用手拉手模型性质解
决。
考点:
梯形中位线、相似三角形、勾股定理、全等三角形(一线三直角)分析:
先判断出四边形APGF是梯形,再判断出PH是梯形的中位线,
1
PH=-(FG+AD)
得到2;
(2)①先判断出△COEs/AOB,得到AO是CO的2倍,设出CO,表示出BO,
AO,再用勾股定理计算,②先找出辅助线,再判断出△ARD也△SC,ACSG^zGTF,
求出AR+FT,最后用梯形中位线即可.
解答:
(1)PH丄CD,AD丄CD,
•••PH//AD//FG,
•••点P是AF的中点,
•••PH是梯形APGF的中位线,
13
•PH=—(FG+AD)二,
22
(2)①vZCEO=ZB=90°ZCOE=ZAOB,
z.ZCOEs/aob,
•••COAO=CEAB,
•••COAO=12,
设CO=x,
•••AO=2x,BO=2-x,
22