人教版高中数学选修2324《正态分布》教学设计.docx
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人教版高中数学选修2324《正态分布》教学设计
2.4正态分布（李祖明）
一、教学目标
1．核心素养:
学习正态分布的过程中，更进一步的体会数形结合思想的作用.培养了学生们直观想象和数学建模的能力.
2．学习目标
（1）通过道尔顿板重复实验，画出正态分布密度曲线.
（2）随机变量取值的概率与面积的关系．
（3）3σ原则的探索
3．学习重点
正态分布曲线的定义及其曲线特点，利用标准正态分布表求得标准正态总体在某一区间内取值的概率.
4．学习难点
正态分布的概念及其实际应用.
二、教学设计
（一）课前设计
1．预习任务
任务1
阅读教材P70－P75，思考：
正态分布密度曲线的概念？
正态分布的概念？
任务2
思考正态分布密度曲线与
轴之间的面积为多少？
2．预习自测
1．若随机变量满足正态分布N（μ，σ2），则关于正态曲线性质的叙述正确的是（ ）
A．σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”
B．σ越大，曲线越“瘦高”，σ越小，曲线越“矮胖”
C．σ的大小，和曲线的“瘦高”、“矮胖”没有关系
D．曲线的“瘦高”、“矮胖”受到μ的影响
答案 A
2．已知随机变量ξ服从正态分布N（4，σ2），则P（ξ>4）＝（ ）
A. B.C.D.
答案 D
解析 由正态分布图像可知，μ＝4是该图像的对称轴，
∴P（ξ<4）＝P（ξ>4）＝.
3．设随机变量ξ服从正态分布N（0,1），若P（ξ>1）＝p，则P（－1<ξ<0）＝（ ）
A.＋pB.－pC．1－2pD．1－p
答案 B
解析 P（－1<ξ<0）＝P（－1<ξ<1）＝[1－2P（ξ>1）]＝－P（ξ>1）＝－p.
（二）课堂设计
1．知识回顾
（1）几何分布.
（2）频率分布直方图、折线图.
2．问题探究
问题探究一重复操作高尔顿板实验，探索正态分布密度曲线
●活动一通过道尔顿板重复实验，并画出小球在球槽内的分布曲线.
问题探究二随机变量取值的概率与面积的关系．★▲
●活动一探讨随机变量取值与面积的关系
如果随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），那么对于任意实数a、b（a（1）中的阴影部分的面积就是随机变量ξ在区间（a，b]上取值的概率．
一般地，当随机变量在区间（－∞，a）上取值时，其取值的概率是正态曲线在x＝a左侧以及x轴围成图形的面积，如图
（2）．随机变量在（a，＋∞）上取值的概率是正态曲线在x＝a右侧以及x轴围成图形的面积，如图（3）．
根据以上概率与面积的关系，在有关概率的计算中，可借助与面积的关系进行求解．
●活动二在实际例子中的应用
例题1若随机变量X～N（μ，σ2），则P（X≤μ）＝________.
【知识点：
正态分布；数学思想：
数形结合】
详解：
若X～N（μ，σ2），则其密度曲线关于X＝μ对称，则P（X≤μ）＝.
点拨：
随机变量取值的概率与面积的关系
问题探究三3σ原则★▲
●活动一3σ原则含义的理解
由于正态变量在（－∞，＋∞）内取值的概率是1，由上所述，容易推出，它在区间（μ－2σ，μ＋2σ）之外取值的概率是4.56%，在区间（μ－3σ，μ＋3σ）之外取值的概率是0.26%.于是，正态变量的取值几乎都在距x＝μ三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．
●活动二3σ原则的实际应用
设X～N（1,32），试求
（1）P（－2（2）P（4【知识点：
正态分布的3σ原则；数学思想：
数形结合】
详解：
因为X～N（1,32），所以μ＝1，σ＝3.
（1）P（－2＝P（μ－σ（2）因为P（4＝[P（1－6＝[P（μ－2σ＝（0.9544－0.6826）＝0.1359.
点拨：
正态分布的3σ原则的反复使用.
3．课堂总结
【知识梳理】
（1）正态分布与正态曲线：
如果随机变量ξ的概率密度为：
.（
为常数，且
），称ξ服从参数为
的正态分布，用
～
表示.
的表达式可简记为
，它的密度曲线简称为正态曲线.
（2）正态分布的期望与方差：
若
～
，则ξ的期望与方差分别为：
.
（3）标准正态分布：
如果随机变量ξ的概率函数为
，则称ξ服从标准正态分布.即
～
有
，
求出，而P（a＜
≤b）的计算则是
.
（4）正态分布与标准正态分布间的关系：
若
～
则ξ的分布函数通常用
表示，且有
.
（5）“3
”原则.
【重难点突破】
（1）正态分布求概率有时候转化为标准正态分布来解决.
（2）用“3
”原则解题时，有时需要数形结合来解决.
4．随堂检测
1．正态总体N（0，），数值落在（－∞，－2）∪（2，＋∞）的概率为（ ）
A．0.46 B．0.9974C．0.03D．0.0026
【知识点：
正态分布；数学思想：
数形结合】
答案 D
解：
P（－2<ξ≤2）＝P（0－3×<ξ≤0＋3×）＝P（μ－3σ<ξ≤μ＋3σ）＝0.9974，
∴数值落在（－∞，2）∪（2，＋∞）的概率为1－0.9974＝0.0026.
2．若随机变量η服从标准正态分布N（0,1），则η在区间（－3,3]上取值的概率等于（ ）
A．0.6826B．0.9544C．0.9974D．0.3174
【知识点：
正态分布；数学思想：
数形结合】
答案 C
解：
μ＝0，σ＝1，∴（－3,3]内概率就是（μ－3σ，μ＋3σ）内的概率0.9974.
4．若随机变量ξ～N（2,100），若ξ落在区间（－∞，k）和（k，＋∞）内的概率是相等的，则k等于（ ）
A．2B．10C.D．可以是任意实数
【知识点：
正态分布；数学思想：
数形结合】
答案 A
5．已知正态分布落在区间（0.2，＋∞）上的概率为0.5，那么相应的正态曲线f（x）在x＝________时，达到最高点．
【知识点：
正态分布；数学思想：
数形结合】
答案 0.2
解：
由于正态曲线关于直线x＝μ对称和其落在区间（0.2，＋∞）上的概率为0.5，得μ＝0.2.
6．已知X～N（2.5,0.12），求X落在区间（2.4,2.6]中的概率．
【知识点：
正态分布；数学思想：
数形结合】
解：
∵X～N（2.5,0.12），∴μ＝2.5，σ＝0.1.
∴X落在区间（2.4,2.6]中的概率为
P（2.5－0.1（三）课后作业
基础型自主突破
1．ξ的概率密度函数f（x）＝e，下列错误的是（ ）
A．P（ξ<1）＝P（ξ>1）B．P（－1≤ξ≤1）＝P（－1<ξ<1）
C．f（x）的渐近线是x＝0D．η＝ξ－1～N（0,1）
答案 C
2．正态曲线φμ，σ（x）＝e，x∈R，其中μ<0的图像是（ ）
【知识点：
正态分布；数学思想：
数形结合】
答案 A
解析 因为μ<0，所以对称轴x＝μ位于y轴左侧．
3．下列说法不正确的是（ ）
A．若X～N（0,9），则其正态曲线的对称轴为y轴
B．正态分布N（μ，σ2）的图像位于x轴上方
C．所有的随机现象都服从或近似服从正态分布
D．函数f（x）＝e（x∈R）的图像是一条两头低、中间高、关于y轴对称的曲线
答案 C
解析 并不是所有的随机现象都服从或近似服从正态分布，还有些其他分布．
4．如下图是正态分布N1（μ，σ），N2（μ，σ），N3（μ，σ）相应的曲线，则有（ ）
A．σ1>σ2>σ3 B．σ3>σ2>σ1C．σ1>σ3>σ2D．σ2>σ1>σ3
【知识点：
正态分布；数学思想：
数形结合】
答案 A
解析 σ反映了随机变量取值的离散程度，σ越小，波动越小，取值越集中，图像越“瘦高”．
5．正态曲线关于y轴对称，当且仅当它所对应的正态总体的均值为（ ）
A．1B．－1C．0D．与标准差有关
答案 C
6．设随机变量ξ～N（2,4），则D（ξ）的值等于（ ）
A．1B．2C.D．4
【知识点：
正态分布】
答案 A
解析 ∵ξ～N（2,4），∴D（ξ）＝4.
∴D（ξ）＝D（ξ）＝×4＝1.
能力型师生共研
7．在正态分布总体服从N（μ，σ2）中，其参数μ，σ分别是这个总体的（ ）
A．方差与标准差
B．期望与方差
C．平均数与标准差
D．标准差与期望
答案 C
解析 由正态分布概念可知C正确．
8．若随机变量ξ的密度函数为f（x）＝e，ξ在（－2，－1）和（1,2）内取值的概率分别为P1，P2，则P1，P2的关系为（ ）
A．P1>P2B．P1【知识点：
正态分布；数学思想：
数形结合】
答案 C
解析 由题意知，μ＝0，σ＝1，所以曲线关于x＝0对称，根据正态曲线的对称性，可知P1＝P2.
9．设随机变量ξ～N（μ，σ2），且P（ξ≤C）＝P（ξ>C）＝P，则P的值为（ ）
A．0B．1C.D．不确定与σ无关
答案 C
解析 ∵P（ξ≤C）＝P（ξ>C）＝P，∴C＝μ，且P＝.
10．已知随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），若P（ξ>2）＝0.023，则P（－2≤ξ≤2）＝（ ）
A．0.477B．0.628C．0.954D．0.977
答案 C
解析 因为随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），所以正态曲线关于直线x＝0对称，又P（ξ>2）＝0.023，所以P（ξ<－2）＝0.023，所以P（－2≤ξ≤2）＝1－P（ξ>2）－P（ξ<－2）＝1－2×0.023＝0.954，故选C.
探究型多维突破
13．随机变量X～N（μ，σ2），则Y＝aX＋b服从（ ）
A．N（aμ，σ2）B．N（0,1）
C．N（，）D．N（aμ＋b，a2σ2）
【知识点：
正态分布】
答案 D
14．某中学共有210名学生，从中取60名学生成绩如下：
成绩
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
人数
0
0
0
6
15
21
12
3
3
0
若总体分布服从正态分布，求正态分布的概率密度函数式．
【知识点：
正态分布】
解析 因为＝（4×6＋5×15＋6×21＋7×12＋8×3＋9×3）＝6，
s2＝[6×（4－6）2＋15×（5－6）2＋21×（6－6）2＋12×（7－6）2＋3×（8－6）2＋3×（9－6）2]＝1.5，
以＝6，s≈1.22作为总体预计平均成绩和标准差的估计值，即μ＝6，σ＝1.22，
则总体服从正态分布N（6,1.222），
所以，正态分布的概率密度函数式：
μμ，σ（x）＝e.
自助餐
1．若ξ～N（1，），η＝6ξ，则E（η）等于（ ）
A．1 B.C．6D．36
答案 C
解析 ∵ξ～N（1，），∴E（ξ）＝1，∴E（η）＝6E（ξ）＝6.
2．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），P（ξ≤4）＝0.84，则P（ξ≤0）＝（ ）
A．0.16B．0.32C．0.68D．0.84
【知识点：
正态分布；数学思想：
数形结合】
答案 A
解析 利用正态分布图像的对称性，P（ξ≤0）＝1－P（ξ≤4）＝1－0.84＝0.16.
3．已知随机变量X服从正态分布N（3,1），且P（2≤X≤4）＝0.6826，则P（X>4）＝（ ）
A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585
【知识点：
正态分布；数学思想：
数形结合】
答案 B
解析 由正态密度函数的对称性知P（X>4）＝＝＝0.1587，故选B.
4．若随机变量ξ～N（0,1），则P（|ξ|>3）等于（ ）
A．0.9974B．0.4987C．0.9744D．0.0026
【知识点：
正态分布；数学思想：
数形结合】
答案 D
5．已知ξ～N（0,62），且P（－2≤ξ≤0）＝0.4，则P（ξ>2）等于（ ）
A．0.1B．0.2C．0.6D．0.8
【知识点：
正态分布；数学思想：
数形结合】
答案 A
6．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N（110,52），据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？
（ ）
A．（90,110]B．（95,125]C．（100,120]D．（105,115]
【知识点：
正态分布；数学思想：
数形结合】
答案 C
解析 由于X～N（110,52），所以μ＝110，σ＝5，因此考试成绩在区间（105,115]，（100,120]，（95,125]上的概率分别应是0.6826,0.9544,0.9974，由于一共有60人参加考试，∴成绩位于上述三个区间的人数分别是：
60×0.6826＝41人，60×0.9544＝57人，60×0.9974＝60人．
7．设离散型随机变量ξ～N（0,1），则P（ξ≤0）＝________；P（－2<ξ<2）＝________.
【知识点：
正态分布；数学思想：
数形结合】
答案 ，0.9544
解析 因为标准正态曲线的对称轴为x＝0，所以P（ξ≤0）＝P（ξ>0）＝.而P（－2<ξ<2）＝P（－2σ<ξ<2σ）＝0.9544.
8．某种零件的尺寸X（cm）服从正态分布N（3,1），则不属于区间（1,5）这个尺寸范围的零件约占总数的________．
【知识点：
正态分布；数学思想：
数形结合】
答案 4.56%
解析 属于区间（μ－2σ，μ＋2σ）即区间（1,5）的取值概率约为95.44%，故不属于区间（1,5）这个尺寸范围的零件数约占总数的1－95.44%＝4.56%.
9．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ>0），若ξ在（0,1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0,2）内取值的概率为________．
【知识点：
正态分布；数学思想：
数形结合】
答案 0.8
10．设随机变量ξ～N（3,4），若P（ξ>c＋2）＝P（ξ【知识点：
正态分布；数学思想：
数形结合】
解析 由ξ～N（3,4）可知，密度函数关于直线x＝3对称（如下图所示），
又P（ξ>c＋2）＝P（ξ3－（c－2）＝（c＋2）－3，∴c＝3.
11．若在一次数学考试中，某班学生的分数为X，且X～N（110,202），满分为150分，这个班的学生共有54人，求这个班在这次数学考试中及格（不小于90分）的人数和130分以上（不包括130分）的人数．
【知识点：
正态分布；数学思想：
数形结合】
解析 ∵X～N（110,202），∴μ＝110，σ＝20.
∴P（110－20∴X>130的概率为×（1－0.6826）＝0.1587.
∴X≥90的概率为0.6826＋0.1587＝0.8413.
∴及格的人数为54×0.8413≈45（人），
130分以上的人数为54×0.1587≈9（人）．
12．设随机变量X服从正态分布X～N（8,1），求P（5【知识点：
正态分布；数学思想：
数形结合】
解析 由已知得μ＝8，σ＝1，
∵P（6∴P（5如图，由正态曲线分布的对称性，得P（5
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